Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

функция, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy . В этом случае из геометрических соображений (рис. 3.10) получим формулу

Если f (x) – нечетная функция, следовательно, ее график симметричен

относительно начала координат. Из геометрических соображений (рис. 3.11) ясно, что

О

Решение. Так как отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, а подынтегральная функция нечетная, то, пользуясь (3.24) получим

π

∫2 sin3xdx = 0 .

−π2

111

3.2.10.Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

Пусть требуется найти объем некоторого тела Т, у которого известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной к оси Ox (рис. 3.12). Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от х: S = S (x), где х – точка оси ОХ через которую проведено

сечение.

Т

S = S (xi )

xi

Рис. 3.12. Тело Т с известными площадями поперечных сечений

Для вычисления объема такого тела разобьем его на n слоев плоскостями x = x0 = a , x = x1, x = x2 ,…, x = xn = b . Каждый слой (тело, ограниченное двумя

параллельными плоскостями) можно считать практически цилиндрическим, если толщина его мала. Так как для цилиндрического тела объем равен

V = SOCH h ,

Будем неограниченно увеличивать число разбиений ( n → ∞), считая, что d = max xi →0 . Если при этом полученная сумма будет стремиться к пределу,

112

то его считают равным объему данного тела

Формула (3.27) называется формулой вычисления объема тела по пло-

щадям параллельных сечений.

3.2.11. Вычисление объема тела вращения

Пусть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x), осью Ox и прямыми x = a и x = b (рис. 3.13).

у

y = f (x)

Рис. 3.13. Тело вращения

Тело, полученное от вращения этой фигуры, называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox , проведенной

через произвольную точку х оси Ox (x [a;b]), есть круг с радиусом R = y = f (x). Следовательно, площадь поперечного сечения будет равна

S (x)=πR2 =π f 2 (x).

Применив формулу (3.27) для вычисления объема тела по площадям па-

раллельных сечений, получим формулу для вычисления объема тела враще-

ния

113

В случае если вокруг оси Ox вращается фигура, ограниченная прямыми x = a и x = b и графиками функций y = f1 (x) и y = f2 (x), где f2 (x)≥ f1 (x)≥ 0 на [a;b] (рис. 3.14) формула (3.28) принимает вид

у

y2 = f2 (x)

y1 = f1 (x)

Рис. 3.14. Вращение плоской фигуры вокруг оси Ox

Пример 3.12. Вычислить объем шара.

Решение.

114

3.2.12. Вычисление длины дуги плоской кривой

Под длиной плоской кривой понимают предел вписанной в нее ломаной, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает при неограниченном уменьшении длины каждого звена.

Пусть на плоскости задана кривая y = f (x). Найдем длину дуги AB этой

кривой. Для этого возьмем на дуге AB точки M0 , M1, M2 ,…, Mn (где M0 – это

точка А, а Mn – это точка В) с абсциссами x0 = a , x1, x2 ,…, xn =b и проведем хорды M0M1 , M1M2 ,…, Mn−1Mn , длины которых обозначим соответственно

M0

В результате получим ломаную M0M1M2 …Mn−1Mn , вписанную в дугу AB . Длина этой ломаной равна

n

Ln = L1 + L2 +…+ Ln = ∑ Li .

i=1

115