Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Длину отдельной хорды (звена ломаной) можно найти по теореме Пифа-

гора из треугольника с катетами

xi и

 

yi

(см. рис. 3.16)

 

2

Li =

 

Mi−1Mi

 

= (

xi )

2

+(

yi )

2

=

 

xi

 

yi

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

Таким образом, длина всей ломаной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

yi

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln = ∑ Li = ∑ 1+

 

x

xi .

 

 

 

 

 

 

i=1

i=1

 

 

i

 

 

 

 

 

Будем неограниченно увеличивать число звеньев ломаной так, чтобы каждый участок равномерно уменьшался (т.е. максимальная длина звена приближалась к нулю (при этом d = max xi →0 )). В этом случае длина L всей кривой

AB будет равна пределу суммы длин всех звеньев

L = lim Ln =

lim

n

Li = lim

n

 

2

∑

∑

1+

yi

xi .

d →0

d →0

i=1

d →0

i=1

 

xi

 

(n→∞)

(n→∞)

 

(n→∞)

 

 

 

 

 

 

 

n

 

yi

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно показать, что сумма ∑

1 +

x

xi является интегральной

 

 

 

i=1

 

i

 

 

 

 

для функции 1+(y′(x))2 , поэтому ее предел при d = max

xi →0 равен опре-

деленному интегралу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

y′(x) 2 dx

 

 

 

L =

∫

1+

.

(3.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.13. Вычислить длину окружности.

Решение.

116

у

R2 − x2

R y =

R

х

Как известно, длина окружности равна 2πR . Такой же результат можно получить использовав формулу для нахо-

ждения длины дуги (3.30).

Так как окружность симметрична относительно осей координат, то можно найти часть ее длины, например, от точ-

Рис. 3.17. Чертеж к примеру 3.13.

ки

(0; R) до точки (R;0),

 

т.е. 1

 

ее дли-

ны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как уравнение окружности в этой четверти имеет вид y =

R2 − x2 ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

R

 

 

 

 

R2

− x2

′ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

−2x

 

2

 

 

R

 

 

 

x2

 

 

 

L

=

∫

1

+

 

 

dx =

∫

1+

 

 

 

 

 

 

dx =

∫

1+

 

 

 

dx =

4

 

 

 

 

 

 

 

R2 − x2

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 R

2

− x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

R

 

R2 − x2 + x2

 

R

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

R

 

1

 

 

 

 

R

1

 

 

= ∫

 

 

 

 

 

 

 

dx = ∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = R∫

 

 

 

 

 

 

dx = R∫

 

 

 

 

dx =

 

 

R

2

− x

2

 

R

2

 

 

− x

2

 

 

R2 − x2

 

 

R2 − x2

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= R arcsin

x

 

 

R = R(arcsin1 −arcsin0)= R

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 L = R π

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

, то L = 2πR .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 3.2. Если менять правый конец В дуги AB и обозначить абс-

циссу точки В через х, то длина L дуги AB будет функцией от х:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(x)

= x

1+

y′(x) 2 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

Используя восьмое свойство определенного интеграла, получим:

x

1

 

 

 

 

′

= 1

+ y′(x) 2

L′(x)=

+ y′(x) 2 d x

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL

 

 

 

2

 

 

 

 

=

1

+

dy

.

 

(3.31)

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

117

Из (3.31) следует

 

 

 

2

 

dL =

1+

dy

 

dx .

(3.32)

 

 

dx

 

 

Формула (3.32) называется формулой дифференциала дуги.

3.2.13. Вычисление площади поверхности тела вращения

Если нам дана поверхность тела вращения (см. рис. 3.13), то площадь этой поверхности можно найти по формуле

S = 2πb

f (x)

1+ f ′(x)

2

dx

.

(3.33)

∫

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.14. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение. Так как поверхность шара образована вращением полуокруж-

ности y =

R2 − x2

(−R ≤ x ≤ R) вокруг оси Ox (см. рис. 3.15), то по формуле

(3.33) вычисляем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R2 − x2

 

 

 

 

R2 − x2 ′

 

2

R

R2

− x2

 

 

x

2

 

S = 2π

∫

 

1+

 

 

dx = 2π

∫

 

1+

 

dx =

 

R2 − x2

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

−R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−R

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R2 − x2 + x2

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

= 2π ∫ R2 − x2

 

 

 

 

 

 

dx = 2π ∫ R2 − x2 + x2 dx = 2πR ∫ dx =

 

R

2

− x

2

 

−R

 

 

 

 

 

 

 

−R

 

 

 

 

 

 

−R

 

= 2πR x −RR = 2πR(R −(−R))= 4πR2 .

118

4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1.Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию у и ее производные, т.е. уравнение вида

F (x, y, y′,..., y(n))= 0 ,

(4.1)

где x – независимая переменная, y = y(x) – искомая функция, а y′, y′′,…, y(n) –

ее производные.

Отметим, что неизвестным в дифференциальном уравнении является не число у, а функция y = y(x) .

Далее мы будем для краткости заменять слова «дифференциальное уравнение» на ДУ.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производ-

ных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Решением ДУ называется функция y =ϕ(x), которая при подстановке

ее вместо у в исходное ДУ обращает его в тождество.

Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ, а

график решения ДУ – интегральной кривой.

Простейшим примером дифференциального уравнения может служить уравнение y′ = f (x). В этом уравнении ищется функция, производная которой

совпадает с заданной функцией f (x). Из темы интегрирование нам известен

инструмент, который решает такую задачу. Это неопределенный интеграл. Таким образом решением будет любая функция вида y = ∫ f (x)dx = F (x)+C , где

F (x) – первообразная функции f (x), а С – произвольная постоянная. Например, решениями уравнения y′(x) =sin x являются функции

y = −cos x +C − первообразные для функции y =sin x .

Наивысшей порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком

ДУ.

Например, уравнение 3y′′′− y′′arcsin x = 0 есть обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение y′− y′′ x = (y)2 - ДУ второго порядка.

119

4.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения часто возникают при решении геометрических и физических задач. Так, например, с ДУ приходится иметь дело при решении задач на движение, ибо скорость это первая производная пути по времени, а ускорение – это вторая производная пути по времени.

1. Рассмотрим задачу о колебании груза, подвешенного на вертикальной пружине.

Пусть груз массой m , подвешенный на пружине, движется по вертикальной прямой. Если пружину с грузом оттянуть или сжать, то груз начнет совершать колебания около положения равновесия. Установим закон движения груза, т.е. найдем формулу, выражающую отклонение груза от положения равновесия в любой момент времени t .

Совместим начало координат с положением равновесия груза, а ось Oy направим вертикально вверх. Обозначим через l0 расстояние от конца нерастя-

нутой пружины без груза до положения равновесия груза, а через у - отклонение груза от положения равновесия в момент времени t (рис. 4.1).

Согласно второму закону Ньютона имеем

ma(t ) = ∑Fi (t ),

i

где a(t ) – ускорение груза в момент времени t, ∑Fi (t ) – сумма всех сил дейст-

i

вующих на груз в момент времени t.

Так как скорость υ(t ) = y′(t ), а ускорение a(t ) =υ′(t ) = y′′(t ) мы получа-

ем

my′′(t ) = ∑Fi (t ).

i

Рассмотрим все силы, которые могут действовать на груз. Итак, на груз действуют следующие четыре силы:

● сила тяжести груза mg , направленная вниз;

● сила сопротивления среды, направленная в сторону, противоположную движению груза, и по величине пропорциональная скорости движения груза, т.е. равная μ y′(t ), где μ – коэффициент сопротивления;

● упругая сила пружины, направленная вверх (т.е. в положительном направлении оси Oy ), величина которой, по закону Гука, пропорциональна де-

формации, т.е. равна k (l0 − y(t )), где k – коэффициент упругости пружины (масса пружины не учитывается);

120

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:

ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"