Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
● внешняя вынуждающая сила, направленная вертикально (вдоль оси Oy ), величина которой Ψ(t ) зависит от времени t.
Рис. 4.1. Груз, подвешенный на вертикальной пружине
Таким образом, по второму закону Ньютона имеем
my′′(t ) = k (l0 − y(t ))− mg − μy′(t )+ Ψ(t )
или
my′′(t ) = kl0 − k y(t )− mg − μy′(t )+ Ψ(t ).
Так как в положении равновесия ( y(t) = 0 ) вес груза mg уравновешивается упругой силой пружины, то kl0 = mg . Поэтому
my′′(t )= −k y(t )− μy′(t )+ Ψ(t ) или my′′(t )+ μy′(t )+ k y(t )= Ψ(t ),
121
или, разделив последнее уравнение на m > 0 , получим |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′(t )+ 2λy′(t )+ω2 y(t )=ψ (t ) |
, |
(4.2) |
||||
где 2λ = |
μ |
, ψ (t )= |
Ψ(t ) |
, ω2 = |
k |
, а ω = |
k |
– собственная частота колебаний. |
|||
|
m |
|
m |
|
|
m |
m |
|
|||
Уравнение (4.2) называется дифференциальным уравнением вынужден-
ных колебаний груза, подвешенного на пружине.
Если внешняя вынуждающая сила отсутствует, т.е. Ψ(t )= 0 , то уравнение (4.2) принимает вид
y′′(t )+ 2λy′(t )+ω2 y(t )= 0 |
, |
(4.3) |
и называется дифференциальным уравнением свободных колебаний груза,
подвешенного на пружине.
Решение y = y(t ) уравнения (4.2) описывает все возможные колебания
груза, подвешенного на пружине. Чтобы выделить то единственное решение y(t ), которое будет описывать истинное движение конкретного груза надо до-
полнить ДУ (4.2) начальными условиями: задать начальное положение груза y(0)= y0 и его начальную скорость y′(0)=υ0 . Также можно доказать, что су-
ществует только одна функция y =ϕ(t ), удовлетворяющая ДУ (4.2) и началь-
ным условиям, которая и описывает закон движения груза при заданных начальных условиях.
2. Найдем кривую, проходящую через точку M (x; y), отрезок любой ка-
сательной к которой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
Изобразим условие задачи на чертеже. Пусть M (x; y) – произвольная точка кривой y = f (x), и y = f (x) расположена в первой четверти (рис. 4.2).
Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: y′ = tgα .
Из MBC (рис.4.2) видно, что tg( MBC )= MCBC . Здесь MC = y . Опреде-
лим BC . По условию задачи AM = MB , следовательно, OC =CB = x . Таким образом,
122
y
y = f (x)
A
M (x; y)
y
x
α
O C B x
Рис. 4.2. Составление дифференциального уравнения (4.6)
tg( MBC )= xy .
С другой стороны
tg( MBC )= tg(180° −α)= −tgα .
Приравнивая (4.4) и (4.5), получим
|
y |
или y |
′ |
|
y |
|
|
−tgα = x |
= − x . |
||||||
|
|||||||
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Легко проверить, что решением полученного дифференциального урав-
нения (4.6) является функция y = Cx , где С – произвольная постоянная. Уравне-
ние y = Cx описывает семейство гипербол.
Мы видим, что дифференциальное уравнение (4.6), имеет не одно, а бесчисленное множество решений, как и в предыдущей задаче о колебаниях груза. Если дополнить ДУ (4.6) начальным условием: задать координаты точки M0 (x0; y0 ), через которую проходит кривая, то мы сможем выделить единст-
венное решение y(x), которое описывает кривую, проходящую через эту конкретную точку.
123
4.3.Дифференциальные уравнения первого порядка
4.3.1.Основные определения
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
F (x, y, y′) = 0 . |
(4.7) |
Уравнение (4.7) связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную y′. Если из уравнения (4.7) можно выразить y′ через х
и у, то ДУ принимает вид
y′ = f (x, y), |
(4.8) |
и называется ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.
Также ДУ, может быть записано через дифференциалы в следующем ви-
де: |
|
P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 , |
(4.9) |
где P(x, y) и Q(x, y) - известные функции.
Отметим, что часто от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.
Так, разделив обе части ДУ (4.9) на dx и заменив ddyx на y′ мы снова приходим к ДУ первого порядка вида (4.7) или (4.8)
P(x, y)+Q(x, y)y′ = 0 y′ = − |
P(x, y) |
= f (x, y) |
|
Q(x, y) |
|||
|
|
Задача «о кривой», рассмотренная в п. 4.2., показывает, что ДУ первого порядка имеет не одно, а бесчисленное множество решений, зависящих от произвольной постоянной С.
Чтобы выделить одно решение, ДУ дополняют начальным условием.
Начальное условие для ДУ первого порядка задается следующим обра-
зом: |
|
|
||
y(x0 )= y0 или y |
|
x=x0 |
= y0 . |
(4.10) |
|
||||
|
|
|||
Условие (4.10) означает, что при x = x0 |
искомая функция у должна быть |
|||
равна заданному числу y0 . |
|
|
||
Задача отыскания решения ДУ первого порядка (4.8), удовлетворяющего
124
заданному начальному условию (4.10), называется задачей Коши.
Иными словами задача Коши имеет вид
y′ = f (x, y),
y(x0 )= y0.
При этом точка (x0 , y0 ) должна принадлежать области D определения функции f (x, y), так как в противном случае задача Коши становится противоречивой.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назы-
вается функция y =ϕ(x,C ), содержащая одну произвольную постоянную и
удовлетворяющая условиям:
1). Функция y =ϕ(x,C ) является решением ДУ при каждом фиксирован-
номзначении С; 2). Каково бы ни было начальное условие (4.10), можно найти такое зна-
чение постоянной C =C0 , что функция y =ϕ(x,C0 ) удовлетворяет данному начальному условию (4.10).
Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y =ϕ(x,C0 ), полученная из общего решения y =ϕ(x,C ) при конкретном значе-
нии постоянной C =C0 .
Найти решение ДУ в виде y =ϕ(x,C ) (явно) удается не всегда. Иногда при нахождении y = y(x) удается перейти от дифференциального уравнения к эквивалентному недифференциальному уравнению Φ(x, y,C )= 0 – т.е. задать у
неявно. В этом случае считается, что ДУ решено и общее решение найдено в неявном виде Φ(x, y,C )= 0. Уравнение Φ(x, y,C )= 0 называется общим ин-
тегралом ДУ, а уравнение Φ(x, y,C0 )= 0 называется частным интегралом
дифференциального уравнения.
С геометрической точки зрения формула y =ϕ(x,C ) общего решения
ДУ определяет семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Частное решение ДУ y =ϕ(x,C0 ), удовлетворяющее начальному условию (4.10) за-
дает (определяет) ту кривую из этого семейства, которая проходит через точку
(x0 , y0 ).
125