Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ln

 

P

 

= ln

 

x

 

+ ln

 

C1

 

 

 

или

ln

 

P

 

= ln

 

xC1

 

. Теперь выразим

из общего

интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функцию P(x): eln

 

P

 

= eln

 

xC1

 

и P = xC .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Вспоминая,

 

 

 

что

 

 

y′ = P(x) возвращаемся к

исходной

функции

y′= P = xC1 . Как говорилось выше, в этом ДУ переменные разделяются:

ddxy = xC1 и d y = xC1dx . Интегрируем ∫d y = C1∫xdx и получаем общее решение

исходного ДУ: y =C1 x2 +C2 . 2

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной

 

Рассмотрим уравнение

 

y′′ = f (y, y′) ,

(4.31)

которое не содержит явно независимую переменную х.

Для понижения порядка уравнения (4.31) введем новую функцию P = P(y), зависящую от переменной у. Обозначим y′ = P(y) и продифферен-

цируем это равенство по х, учитывая, что P = P(y(x)):

y′′ =

d(y′)

=

dP(y)

=

dP(y)

 

dy

=

dP(y)

P .

dx

dx

dy

dx

dy

Итак, ДУ вида (4.31) можно решить с помощью замены

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(4.32)

 

 

 

 

y′ = P,

y′′ = P′ P

 

 

После подстановки (4.32) из уравнения (4.31) получим ДУ первого поряд-

ка

 

 

 

P′ P = f (y, P),

 

 

(4.33)

 

 

 

 

 

 

из которого будем искать функцию P = P(y).

Пусть P =ϕ(y,C1 ) является общим решением ДУ (4.33). Заменяя функцию P(y) на у', снова получаем дифференциальное уравнение первого порядка y′ =ϕ(y,C1 ) – с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим об-

щий интеграл уравнения (4.31):

136

∫

dy

= ∫dx или ∫

dy

= x +C2 .

ϕ(y,C )

ϕ(y,C )

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

( y′)

2

=1,

Пример 4.5. Решить задачу Коши 2 yy′′−

 

 

 

y(0)=

1, y′(0)= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Это уравнение не содержит явно независимую переменную х. Произведя замену y′ = P(y), y′′ = P′(y) P , получим уравнение 2 yP′P − P2 =1.

Определим тип, полученного ДУ первого порядка. Для этого выразим из него

P′:

′

1+ P2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

= P

2 y .

(4.34)

P

Видим, что ДУ (4.34) является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его

dP

=

1 + P2

 

1

,

 

PdP

=

dy

, ∫

PdP

=

1

∫dy .

dy

P

2 y

2

2 y

2

2

 

 

 

1 + P

 

 

1+ P

 

y

Интегрируя, найдем общее решение:

1 ln

 

P2 +1

 

= 1 ln

 

y

 

 

1 ln

 

C

 

или ln

 

P2

 

 

 

y

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+1

= ln

 

 

+ ln

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим P(y):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

P2 +1

 

= ln

 

yC

 

, P2

+1 = yC , P = ± yC −1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как P(y)= y′(x), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = ± yC1 −1 .

 

(4.35)

Найдем константу C1 . Из начальных условий

y(0)=1, y′(0)= 0 видно,

что y′= 0 когда y =1. Подставив эти значения в (4.35), получим

0 = ± 1 C1 −1 , 0 =1 C1 −1 C1 =1 .

137

Следовательно, y′ = ± y −1 . В этом уравнении переменные разделяются:

dy

= ±

y −1 и

 

dy

 

= ±dx . Интегрируя

∫

dy

= ±∫dx , получаем

dx

 

y −

1

y −1

 

 

 

 

 

 

2

y −1

= ±x +C2 . Теперь определим константу C2

из условия y(0)=1:

2

1−1 = ±0 +C2

C2 = 0 и найдем частный интеграл исходного уравнения

2

y −1

= ±x или y =

x2

+1.

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Многие задачи математики, механики, физики и различных технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным,

если оно имеет вид

(x)y′+ a (x)y = f (x),

 

 

 

y′′+ a

(4.36)

 

 

1

2

 

где a1 (x),a2 (x), f (x) – заданные функции.

 

Функции

a1 (x),a2 (x) называются коэффициентами уравнения (4.36), а

функция f (x)

– его правой частью.

 

Если

f (x)≡ 0 , то ДУ (4.36) называется линейным однородным уравне-

нием; если

f (x)≠ 0 , то ДУ (4.36) называется неоднородным.

 

Частным случаем ДУ (4.36) являются линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y′′+ py′+ qy = 0

,

(4.37)

где р и q – действительные числа.

Решение уравнения (4.37) будем искать в виде

138

 

y = ekx ,

(4.38)

где k = const .

 

Дифференцируя эту функцию два раза

 

y′= kekx , y′′= k2ekx

 

и подставляя выражения для у, у' и у" в ЛОДУ (4.38),

получим:

k2ekx + pkekx + qekx = 0 или ekx (k2 + pk + q)= 0 . Так как ekx ≠ 0 , то

 

 

 

 

 

 

k2 + pk + q = 0

.

(4.39)

Уравнение (4.39) называется характеристическим уравнением ЛОДУ

(4.37). Если k будет являться решением уравнения (4.39), то ekx будет решением ЛОДУ (4.37). Следовательно, чтобы проинтегрировать ЛОДУ (4.37) необходимо решить его характеристическое уравнение, которое является квадратным уравнением. Как известно, квадратное уравнение всегда имеет два корня: обозначим их k1 и k2 . Тогда

k = −

p

+

p2

−q и k

2

= −

p

−

p2

− q .

 

 

 

 

1

2

 

4

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Для составления характеристического уравнения достаточно в уравнении (4.37) заменить у", у' и у соответственно на k2 , k и 1.

При решении характеристического уравнения (4.37) возможны три слу-

чая.

1. Корни k1 и k2 характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 различ-

ные действительные числа. В этом случае общее решение уравнения (4.37) имеет вид

 

 

 

 

y =C ek1x +C ek2 x

.

(4.40)

 

 

 

 

1

2

 

 

2. Корни k

и k

2

характеристического уравнения k2

+ pk + q = 0 равные

1

 

 

 

 

 

 

действительные числа. В этом случае общее решение уравнения (4.37) имеет вид

 

 

 

 

y = ek1x (C + xC

2

)

.

(4.41)

 

 

 

 

1

 

 

 

3. Корни k

и k

2

характеристического уравнения

k2 + pk + q = 0 ком-

1

 

 

 

 

 

 

 

плексные числа: k1 =α +iβ и k2 =α −iβ . Общее решение уравнения (4.37) мо-

139

жет быть найдено по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = eαx (C cos βx +C

2

sin βx)

.

(4.42)

 

1

 

 

 

Пример 4.6. Найти общее решение ЛОДУ y′′+3y′− 4 y = 0 . Решение. Составляем характеристическое уравнение:

k2 +3k − 4 = 0 .

 

Решаем его:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =

 

−3 + 32 − 4 (−4)

=

−3 + 25

=1, k

2

=

−3 − 32

− 4 (−4)

=

−3 − 25

= −4 .

 

 

 

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни характеристического уравнения получились различные действительные числа. Поэтому, записываем общее решение данного уравнения, пользуясь формулой (4.40):

y =C1ex +C2e−4x .

Пример 4.7. Найти общее решение ЛОДУ y′′−8y′+16 y = 0 . Решение. Составляем характеристическое уравнение:

Решаем его:

k2 −8k +16 = 0 .

 

 

k =

8 ± (−8)2 − 4 16

= 8 ± 0 = 4 .

 

1,2

2

2

 

Так как корни характеристического уравнения получились равные действительные числа, то, используя формулу (4.41), запишем общее решение исходного ЛОДУ в виде

y = e4x (C1 + xC2 ).

Пример 4.8. Найти общее решение ЛОДУ y′′− 2 y′+ 2 y = 0 . Решение. Записываем характеристическое уравнение

k2 − 2k + 2 = 0 .

Решаем его:

140

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:

ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"