Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

5.КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

5.1.Определение кривизны

Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является степень ее искривленности.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет касательную в каждой точке. Проведем касательные к кривой в каких-нибудь двух ее точках А и В и обозначим через α угол, образованный этими касательными

(рис. 5.1).

Рис. 5.1. Острый угол смежности

Углом смежности дуги AB называется угол α , на который поворачивается касательная при переходе от точки А к точке В.

У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности α больше (рис. 5.1 и 5.2). Если длины двух кривых

не равны, то угол смежности α не может служить мерой кривизны. Поэто-

му для кривых разной длины вводят понятие средней кривизны.

Средней кривизной Kcp дуги AB называется отношение ее угла смежности α к длине дуги L , т.е.

Kcp =	α	.	(5.1)
	L

146

Рис. 5.2. Тупой угол смежности

В то же время, изогнутость разных частей дуги AB может быть различ-

ной. Поэтому вводят понятие кривизны линии в каждой точке.

Кривизной K линии в точке А называется предел средней кривизны дуги

AB , когда точка В приближается по дуге к точке А, при этом длина					L этой
дуги стремится к нулю

	K = lim Kcp = lim		α	.	(5.2)
	B→A	L→0	L

Найдем кривизну прямой и окружности.

1. Касательная в каждой точке прямой совпадает с самой прямой. Поэтому α ≡ 0 , а следовательно, Kcp = K = 0 . Таким образом, прямая есть линия

нулевой кривизны.

2. Длина L дуги AB окружности (рис. 5.3) будет равна

L = AB = α R . 147

Рис. 5.3. Определение кривизны окружности

Таким образом, средняя кривизна Kcp у окружности

Kcp = α =	α	=	1		= const ,
	α R		R
L
а кривизна К окружности в точке А
K = lim Kcp = lim				1	=	1	.

B→A	B	→A R				R

Следовательно, кривизна окружности в каждой точке есть величина постоянная и равная величине, обратной радиусу.

5.2. Вычисление кривизны графика функции

Рассмотрим график функции y = f (x), и некоторую произвольную точку M (x; y) на этом графике. Вычислим кривизну график функции в точке М. Предположим, что существует вторая производная f ′′(x) в точке х и в ее окре-

стности функция дифференцируема. Чтобы использовать определение кривизны линии в точке рассмотрим на кривой еще одну точку M1 с абсциссой

x +	x .
	Проведем касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и
x +	x и обозначим через α и α + α углы наклона этих касательных к оси Ох
	148

(рис. 5.4).

Длину дуги M0M , отсчитываемую от некоторой фиксированной точки M0 , обозначим через L ; тогда L = M0M1 − M0M , а L = MM1 .

Из рис. 5.4 видно, что угол смежности, соответствующий дуге MM1 , равен абсолютной величине разности углов α и α + α , т.е. равен α .

y = f (x)	M1	α
y = f (x)	M1
M (x; y)
M0
α	α + α
α
O	x + x	x
x	x + x	x

Рис. 5.4. Вывод формулы (5.4)

По определению средней кривизны дуги MM1 имеем

Kcp =		α	=	α	.



	MM1			L

Чтобы вычислить кривизну в точке M (x; y), нужно найти предел полученного выражения при условии, что точка M1 стремиться по кривой к точке

М, т.е.

K = lim	α	.
L→0	L

Очевидно, что из L →0 следует, что и x →0 , поэтому

149

	α		α
			α
K = lim		= lim	x	.	(5.3)
			x
	L		L
x→0	L	x→0	L
			x

Из геометрического смысла производной имеем tgα = y′. Следовательно α = arctg y′, поэтому

lim

dα

(arctg y′)′

y′′

1+(y′)2

x→0

Кроме того,

lim L = dL = 1+(y′)2 ≠ 0 (см. формулу (3.31)). x→0 x dx

Таким образом, равенства (5.3) можно записать в виде

lim

y′′

′

)

lim

x→0

1+(y

x→0

lim

1+(y′)2

x→0

И, окончательно, получим формулу для вычисления кривизны кривой

y = f (x) в любой ее точке M

(x; y)

y′′

K = 3 . (5.4)

1 +(y′)2 2

Таким образом, в любой точке кривой, где существует вторая производная y′′, можно вычислить кривизну.

Приведем здесь без вывода формулы кривизны кривой, заданной параметрически и в полярных координатах. Если линия задана параметрическими уравнениями x = x(t ) и y = y(t ), то

150

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"