Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Если после размещения логически обоснованного числа маркеров в исходных позициях их движение по сети Петри в соответствии с выше сформулированными правилами срабатывания переходов осуществляется по всем позициям и завершается возвращением в исходные позиции, значит, модель, представленная этой сетью, не содержит внутренних логических противоречий.

Если такой процесс движения маркеров не завершается (все маркеры или их часть собираются в каком-либо тупике сети, либо возникает циклическое движение по внутренней петле без дальнейшего выхода), то значит, данная сеть Петри моделирует неработоспособный процесс. Верификация с помощью данного метода выявляет отсутствие внутренних логических противоречий в изображаемом данной сетью Петри описании производственного процесса, но не обнаруживает технологически ошибочных, хотя и логически допустимых управленческих решений. Принятие технологически правильных решений остается творческим актом разработчика проекта управления.

Сеть Петри определяется как двудольный граф, т.е. все вершины графа относятся к одному из двух классов - позициям и переходам. Вершина в виде круга, называется позицией (местом или состоянием), а вершина в виде прямой черты (барьера или планки), называется переходом (или событием). Дуги в сетях Петри - направленные (ориентированные) и изображаются стрелками. Причем каждая дуга связывает вершины только разных классов.

Либо начало дуги совпадает с позицией и тогда конец этой дуги совпадает с переходом, либо наоборот.

На рис.45 приведен пример, соответствующий этому ограничению, на рис. 46 - недопустимые примеры.

Рис.45. Графическое изображение фрагмента сети Петри

Рис.46. Недопустимые связи для сетей Петри

Еще одним понятием теории сетей Петри является «метка» («маркер» или «фишка»). Метки изображаются точками, расположенными внутри позиций. Каждой позиции сети ставится в соответствие натуральное число, указывающее количество меток в данной позиции. Это число называют разметкой позиции, а совокупность таких чисел для всех позиций сети называют разметкой сети. Позиция может и не содержать меток, т.е. иметь нулевую разметку. Пример сети с разметкой приведен на рис.47.

Рис. 47. Сеть Петри с разметкой

Функционирование сети Петри связано с понятием “срабатывание” переходов.

Входными позициями некоторого конкретного перехода называются те позиции, из которых исходят дуги, входящие в данный переход. Выходными позициями являются такие позиции, в которые входят дуги, исходящие из данного перехода.

Например, на рис. 47 для перехода t₁ входная позиция - p₁, выходная - p₃.

Условие срабатывания перехода. Если количество меток в каждой входной позиции перехода не меньше количества дуг, соединяющих эту позицию с переходом, тогда этот переход становится активным (возбужденным). Активный переход может сработать.

Срабатывание перехода сопровождается изъятием меток из каждой входной позиции и помещением (добавлением) их в каждую выходную позицию. Причем, количество меток, изымаемых из конкретной позиции, или помещаемых в конкретную позицию равно количеству дуг, соединяющих срабатывающий переход с данной конкретной позицией. Метка, находящаяся в какой-либо позиции, может быть использована при срабатывании только одного перехода.

Например, при срабатывании перехода t₁ на рис. 47 из позиции p₁ изымается одна метка и увеличивается количество меток в позиции p₃ на одну.

Для перехода t₂ изымается одна метка из позиции p₁ и помещается в позицию p₂ две метки.

Переход t₃ на рис. 47. не может сработать, поскольку в позиции p₃ находится только одна метка, а дуг, связывающих p₃ и t₃ - две.

Понятие «срабатывание» перехода - дает возможность рассматривать функционирование сети, моделирующей производственно-экономические процессы, связанные между собой причинно-следственной связью.

Так, на рис. 47 изображена сеть, в которой переход t₃ не может сработать. Но если сработает переход t₁, то количество меток в позиции p₃ - увеличится и после этого t₃ - сработает.

Разметку сети до срабатывания любого перехода называют начальной или стартовой разметкой. Затем срабатывает тот или иной переход. При этом разметка сети меняется. Возможно, что в результате этого изменения некоторый переход потеряет возможность срабатывать, или наоборот - приобретет ее. Последовательное срабатывание переходов и соответствующее изменение разметки сети называют процессом функционирования сети. Завершение процесса функционирования приводит сеть к разметке, называемой конечной.

Предметом теоретического исследования сетей Петри является процесс их функционирования, т.е. возможные последовательности срабатывания переходов и свойства получаемых при этом разметок сети.

Пример функционирования сети Петри приведен на рис. 48.

Рис. 48. Графическое изображение сети Петри

В сети Петри, представленной на рис. 48 в стартовом состоянии маркер (показан черной точкой) имеется только в позиции р₁. Работа сети (или процесса) тогда описывается последовательным срабатыванием переходов. Поскольку единственная входная позиция для перехода t₁ содержит маркер, то этот переход становится активным и срабатывает. Вслед за срабатыванием t₁ активизируются и срабатывают переходы t₂ и t₃. Далее становятся активными переходы t₄ и t₅, но срабатывает только один из этих переходов (но не оба вместе). Это приводит сеть к стартовому состоянию, и процесс может повториться сначала.

В каждую позицию или переход может входить несколько дуг. Это относится и к выходным дугам. Маркер, находящийся в позиции, из которой выходит несколько дуг, ведущих к разным переходам, может быть использован для срабатывания только одного перехода. Порядок срабатывания переходов определяется соответствующими правилами.

Сети Петри могут использоваться и для моделирования одновременных событий. Если в позиции может находиться несколько маркеров, можно создать их резерв для параллельного запуска переходов.

Конечные разметки сети. Одна из основных проблем в теории сетей Петри - задача о конечности функционирования сети (о достижении тупиковой разметки, «смертельные объятия» и т.д.).

Суть проблемы состоит в ответе на вопрос для данной конкретной сети - существует ли такая последовательность срабатывания переходов, которая приводит сеть к тупиковой разметке (т.е. разметке, при которой ни один переход не может сработать)?

Для сети Петри на рис. 47 последовательность t₂ , t₂ , t₂ , t₂ (т.е. четыре подряд срабатывания перехода t₂) делает дальнейшее срабатывание любого перехода в данной сети невозможным. Возможны и другие последовательности срабатывания переходов, приводящих к такому результату.

Анализ сети позволяет утверждать, что эта сеть всегда приходит к тупиковой разметке. И хотя рассматриваемая сеть обязательно останавливается, т.е. достигает тупиковой разметки, сами эти тупиковые разметки могут быть различны.

Например, утверждение: «сеть на рис. 47 всегда останавливается, когда все маркеры собраны в позиции p₂» - справедливо.

А похожее утверждение: «сеть на рис. 47 всегда останавливается, причем все маркеры собраны в позиции p₂» - не верно.

Свойство достижения конечной разметки присуще далеко не всем сетям. Например, на рис. 49 (А) приведен фрагмент сети всегда приходящей к тупиковой разметке, на рис. 49 (Б) - сеть никогда не «попадает в тупик», на рис. 50 - сеть, которая в зависимости от порядка срабатывания переходов, может остановиться, а может и продолжать функционировать бесконечно.

Р ис. 49. Тупиковая разметка

Рис. 50. Остановка или бесконечность

Кроме графического представления, для описания сетей Петри используют и алгебраическую форму. При этом используются правила, каждое из которых соответствует единственному переходу и содержит наименования его входных и выходных позиций. Например, переход t₄ (на рис. 48) может быть записан как р₄ , р₅ → р₁.

Состояние сети в любой момент времени определяется множеством входных позиций. Только позиции, имеющие маркеры, включаются в описание состояния, и каждая входная позиция здесь появляется столько раз, сколько маркеров она имеет. Любое из представленных правил является активным, и, следовательно, оно может вызвать срабатывание. При этом маркеры переместятся из своих входных позиций в свои выходные позиции. Таким образом, из описания текущего состояния убираются входные позиции и добавляются к текущему состоянию выходные позиции. На рис. 48 маркер имеется только в позиции р₁, и, следовательно запустить срабатывание может только правило р₁ → р₂,р₃. После этого могут срабатывать правила р₂ → р₄ и р₃ → р₅, таким образом маркеры продвигаются через сеть.

Рассмотрим пример модели функционирования элементов автоматизированной производственной системы (рис. 51).

Рис. 51. Сеть Петри при моделировании фрагмента

производственной системы

Здесь позиции р₁, р₂, р₃ представляют состояния станка (станок свободен, установка детали, станок обрабатывает деталь), позиции р₄, р₅, р₆, р₇ представляют состояния промышленного робота (перенос детали, установка детали, движение к складу заготовок, взятие детали со склада), позиции р₈, р₉ представляют состояния погрузчика на автоматизированном складе (устройство свободно, погрузка детали).

При заданном начальном состоянии сети система запуска управляет передвижением маркеров внутри сети. При этом переходы изменяют свои состояния между ожиданием, разрешением (активизацией) и запуском.

Режим ожидание. Если одна или несколько входных позиций к заданному переходу не имеют маркеров, тогда переход находится в состоянии ожидания. Режим ожидание заканчивается, когда все входные позиции для перехода получают маркеры; в этот момент времени переход попадает в состояние активный. В соответствии с правилами запуска активный переход может быть запущен. После срабатывания перехода он может попасть в режим ожидания (если все или некоторые входные позиции не имеют маркеров) или в режим активный.

Рис. 52. Состояния переходов

Все входные позиции для переходов t₁ и t₂ имеют маркеры, поэтому переходы t₁ и t₂ являются активными одновременно. Правило запуска, которое определяет, какой из переходов сработает, основывается на критерии, который может быть детерминированным или вероятностным. Если срабатывает t₁, то убираются маркеры из р₁ и р₂ и один маркер помещается в р₅. В результате переходы t₁ и t₂ попадают в режим ожидания. Переход t₃ становится активным и срабатывает, что ведет к срабатыванию t₄. В результате переходы t₁ и t₂ снова станут активными. Предположим, что следующим будет запущен t₂. Тогда маркеры убираются из р₂, р₃ и р₄ и один маркер попадает в р₆. В результате переходы t₁ и t₂ находятся в состоянии ожидания. Какой из переходов будет запущен следующим, определяется из правил запуска.

Заключение

В учебном пособии излагаются теоретические и методологические основы моделирования производственных систем, определяются практические подходы к процессу построения аналитических моделей, имитационных моделей и эмпирических подходов в моделировании. Рассматриваются вопросы необходимости и потребности моделирования производственных процессов в деятельности предприятия. Раскрыты условия и предпосылки применения моделей, представлены современные методы моделирования.

Пособие содержит методические указания по изучению дисциплины «Моделирование производственных систем», выполнению самостоятельных индивидуальных и контрольных работ для студентов, обучающихся по направлению 38.03.01 (080100.62) «Экономика» и 38.03.02 (080200.62) «Менеджмент» всех форм обучения.

Библиографический список

1. Советов Б.Я. Моделирование систем [Текст]: учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. - М.: Высш. шк., 2014. - 319 с.

2. Варфоломеев В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем [Текст]: Практикум. учеб. пособие / В.И. Варфоломеев. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 208 с.

3. Калянов Г.Н. Моделирование, анализ, реорганизация и автоматизация бизнес-процессов [Текст]: учеб пособие / Г.Н. Калянов. – М.: Финансы и статистика, 2007. - 240 с.

4. Колобов А.А. Менеджмент высоких технологий. Интегрированные производственно-корпоративные структуры: организация, экономика, управление, проектирование, эффективность, устойчивость [Текст]: учеб. пособие для вузов / А.А. Колобов, И.Н. Омельченко, А.И. Орлов. – М.: Экзамен, 2008. - 621 с.

5. Ширяев В.И. Управление предприятием: Моделирование, анализ, управление [Текст]: Учеб. пособие / В.И. Ширяев. – М.: Книжный дом «Либроком», 2010. - 272 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Методические указания

по выполнению самостоятельной работы и индивидуальных контрольных заданий по дисциплине "Моделирование производственных систем" для студентов, обучающихся по направлению 38.03.01 (080100.62) "Экономика" и 38.03.02 (080200.62) «Менеджмент» всех форм обучения

Общие методические указания

Студенты должны ознакомиться с программой и содержанием основных вопросов по дисциплине “Моделирование производственных систем”, внимательно изучить соответствующие методические указания и решение типовых задач.

В процессе изучения дисциплины студенты письменно отвечают на вопросы. Выполняя индивиду0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000альные задания, студенты должны показать ход решения, подробно изложить расчеты, расшифровать все используемые формулы, сделать краткие выводы.