Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

z

c d

Рис.1. Гомоморфное отображение

Считается, что вторая система (как совокупность элементов и отношений) представляет собой гомоморфный образ (отображение), модель первой системы, называемой оригиналом (прообразом). Сходство модели с оригиналом всегда неполное. Модель лишь приближенно отражает некоторые свойства оригинала (рис.1). Причем для реальной системы могут создаваться различные гомоморфные ей модели. Таким образом, понятие гомоморфизма является фундаментальным теоретическим обоснованием моделирования, в том числе и экономико-математического.

Изоморфизм – соотношение между двумя любыми объектами тождественной структуры. Между элементами изоморфных объектов существует взаимно однозначное отношение: каждому элементу (и отношению между ними) одного объекта точно соответствует один элемент (и отношение) другого объекта, и наоборот. Это означает, что одна система может служить моделью другой, но и вторая может рассматриваться как модель первой (рис. 2).

x y

O – оригинал отображение – О^/ a^/ b^/

y^/=g(y)

h

x^/=f(x)

с

d

Рис. 2. Изоморфное отображение

Различие между изоморфизмом и гомоморфизмом видно на следующем примере: чертеж здания заводского цеха на листе бумаги, на доске и на экране компьютера – изоморфные по отношению друг к другу объекты. Но тот же чертеж является гомоморфной моделью по отношению к самому зданию цеха (мы видим его на плоскости, а здание – объемное, трехмерное; чертеж не дает все детали, так на нем не видно отдельных кирпичей и т.д.). Изоморфная модель могла бы точнее отображать реальность, но на практике все экономико-математические модели гомоморфные, т.к. они упрощенно отражают производственно-экономические системы и процессы.

Поскольку модель – это объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала, то отсюда можно сделать следующие выводы:

1) любая модель субъективна, она несет на себе печать индивидуальности исследователя;

2) любая модель гомоморфна, т.е. в ней отражаются не все, а только существенные свойства объекта-оригинала;

3) возможно существование множества моделей одного и того же объекта-оригинала, отличающихся целями исследования и степенью адекватности.

Модель считается адекватной объекту-оригиналу, если она с достаточной степенью приближения, на уровне понимания моделируемого процесса исследователем, отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

Применение метода математического моделирования в экономике имеет следующие особенности.

Большинство объектов может быть охарактеризовано понятием “сложная система”. Сложность системы определяется: количеством входящих в нее элементов; связями между ними; взаимоотношениями между системой и средой. Экономика обладает признаками очень сложных систем. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами.

Сложность экономики иногда рассматривается как обоснование невозможности ее моделирования. Но моделировать можно объект любой природы и любой сложности, И как раз в случае сложных объектов моделирование может дать результаты, которые нельзя получить какими-нибудь другими способами исследования.

Основополагающим математического моделирования в экономике является наполнение моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации во многом определяют выбор типов прикладных математических моделей.

Исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение и может быть разделена на две категории:

- о прошлом развитии и современном состоянии объектов (экономические наблюдения и их последующая обработка);

- о будущем развитии объектов (прогнозы).

Методы экономических наблюдений и использование их результатов разрабатываются экономической статистикой. Так как в экономике многие процессы являются массовыми, то моделирование должно опираться на массовые наблюдения. Экономические процессы являются динамическими. Поэтому такие экономические процессы следует постоянно держать под наблюдением.

Познание количественных отношений экономических процессов и явлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов, Экономические процессы обязательно включают случайные (стохастические) компоненты. Непредвидимые случайности могут быть вызваны:

- природными явлениями;

- изменениями в международной обстановке;

- научно-техническими открытиями;

- различными субъективными факторами.

Для методологии планирования важное значение имеет понятие неопределенности экономического развития. Различают два типе неопределенности:

- “истинную”, обусловленную свойствами экономических процессов;

- “информационную”, связанную с неполнотой имеющейся информации об этих процессах.

Сложность экономических процессов и явлений и другие особенности экономических систем затрудняют не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности.

1.2. Классификация и назначение моделей

В зависимости от целей и предмета моделирования различают теоретические и прикладные модели.

Теоретические модели отображают общие свойства экономики и ее компонентов с помощью метода дедукции, позволяющего делать выводы из формальных предпосылок. Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономи-ческих объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.

По форме представления объектов и в зависимости от используемых средств моделирования все модели делятся на материальные и идеальные (абстрактные).

Материальные модели воспроизводят основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. К материальным моделям относятся физические и аналоговые модели.

Физическая модель представляет собой некоторую реальную (“физическую”) систему. Эта система может являться частью моделируемой системы или отличаться от моделируемой системы размерами и другими параметрами, но при этом сохранять важные для исследователя свойства системы. В физических моделях обеспечивается аналогия физической природы оригинала и модели.

Примеры физических моделей:

1) Система, состоящая из модели самолета, воспроизводящей его форму, и аэродинамической трубы, которая воспроизводит свойства воздушного потока, обтекающего самолет. С помощью такой модели можно измерять аэродинамическую силу, действующую на самолет в разных условиях полета – соответствующие датчики показывают величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции. При этом на основе теории подобия основные выявленные характеристики переносятся на настоящий летательный аппарат.

2) Макет городского квартала, размещающийся на столе, позволяет проверить архитектурные качества проекта, внешний вид зданий, особенности освещенности домов в разное время суток и т.п.

3) Лабораторная установка для получения некоторого продукта может рассматриваться как модель промышленного производства этого продукта. Эксперименты с такой моделью позволяют создать проект технологии получения продукта в промышленных условиях.

4) Отдельное предприятие или отдельный район, поставленный в особые экономические условия, можно рассматривать как модель, служащую для проверки каких-либо предложений в области планирования и управления.

Действия исследователя с физической моделью состоят в наблюдении за процессами в модели, в регистрации и измерении тех ее параметров, которые можно использовать для выводов относительно свойств реальных объектов и процессов. Без исследования модели самолета в трубе, большие напряжения в крыльях могут привести к разрушению самолета. Без предварительных экспериментов с моделью здание может оказаться не достаточно красивым, не гармонировать с окружающей средой.

Структура физической модели, т.е. набор элементов, из которых она состоит, и схема их взаимодействия, часто повторяет структуру моделируемой системы. Поэтому физическое моделирование дает надежные и наглядные результаты. Недостаток физического моделирования состоит в сложности, уникальности и дороговизне моделей.

Аналоговые модели основываются на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами и т.п.). Например, изучение механических колебаний с помощью электрической схемы колебательного контура (в обоих случаях процесс описывается теми же дифференциальными уравнениями).

В обоих типах материального моделирования модели являются материальными отражениями исходных объектов и связаны с ними своими геометрическими, физическими и другими характеристиками, причем процесс исследования тесно связан с материальными воздействиями на модели, т.е. состоит в натурном экспериментировании с ними.

От предметного моделирования принципиально отличается абстрактное (идеальное) моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Различают следующие типы идеального моделирования: интуитивное (мысленное) и знаковое (семиотическое).

Под интуитивным понимают моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации, либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной моделью окружающего мира. Такое моделирование часто встречается в тех областях, где познавательный процесс находится еще на начальной стадии.

Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.д., а также включающее совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами. Знаковые модели делятся на логические, геометрические и математические.

В символических моделях параметры реального объекта и отношения между ними представлены символами: семантическими (словами), логическими, математическими. К такими моделям относятся: словесные описания функционирования объектов – сценарии; схематические модели – чертежи, графики, блок-схемы, алгоритмы программ, таблицы, эвристические и математические модели, т.е. математическое описание изучаемого объекта.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики, и использованием тех или иных математических методов. Математика есть наука, позволяющая осуществлять построение и изучение абстрактных количественных моделей.

Средства математики позволяют создавать теории, охватывающие важнейшие физические, технические, биологические, экономические и другие процессы. Эти теории приводят к математическим схемам, которые можно рассматривать как математические модели этих процессов. Если физическое моделирование состоит в сопоставлении реальных объектов и процессов с их аналогами, имеющими сходную физическую структуру, то математическое моделирование сопоставляет реальные объекты и процессы с математическими объектами: переменными, векторами, матрицами, функциями, уравнениями и т.д. Математические модели можно разделить на аналитические, алгоритмические и комбинированные.

Для аналитического моделирования характерно то, что для описания процессов функционирования системы используются системы алгебраических, дифференциальных, интегральных или конечно-разностных уравнений.

Желая использовать аналитический метод, часто идут на существенные упрощения первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Аналитические модели бывают детерминированные и стохастические. Численный метод проведения аналитических расчетов с помощью датчиков случайных чисел получил название метода статистических испытаний, или метода Монте-Карло.

При алгоритмическом моделировании описывается процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационные (алгоритмические) модели также могут быть детерминированными и стохастическими. В последнем случае в модели с помощью датчиков случайных чисел имитируется действие неопределенных и случайных факторов. Такой метод моделирования получил название метода статистического моделирования. В настоящее время этот метод считается наиболее эффективным методом исследования сложных систем, а часто и единственным практически доступным методом получения информации о поведении гипотетической системы на этапе ее проектирования.

Комбинированное моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и алгоритмического моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования модели на составляющие подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных процессов строятся алгоритмические модели.

Экономико-математическая модель – это выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулами, уравнениями, неравенствами, логическими условиями) величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл.