Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Критерий оптимальности – некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, который является формализацией цели управления и выражается в виде целевой функции через факторы модели

Критерий оптимальности – это смысловое содержание целевой функции.

Система ограничений определяет пределы, которые ограничивают область допустимых решений и фиксируют основные внешние и внутренние свойства объекта. Ограничения определяют область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта.

Математическая формализация системы ограничений – уравнение связи представляется в виде системы уравнений и неравенств:

где - целевая функция; x_j – управляемые переменные, ; g_i – формализованное представление системы ограничений, ; b_i – некоторые действительные числа (ограничения по плану, ресурсам и др.).

Решение экономико-математической модели – это совокупность значений переменных, которая удовлетворяет системе ограничений (уравнениям связи). Оптимальным решением является такое, при котором функция цели достигает своего экстремального значения (min или max)

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей.

Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений. Различия методу линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер. По соотношению экзогенных (формируемых во внешней среде) и эндогенных (получаемых при моделировании системы) переменных, включаемых в модели, они могут подразделяться не открытые и закрытые.

По масштабу моделируемой системы различают модели производственно-экономических систем, модели региональных комплексов, отраслевые модели, модели народного хозяйства.

Так, примером народнохозяйственной модели может служить межотраслевой баланс народного хозяйства. К отраслевым относятся модели производства, потребления и распределения продукции отрасли. Региональными моделями являются межпродуктовые балансы отдельных экономических районов.

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы или не включают, различают модели пространственные и точечные.

В соответствии с общей классификацией предмета моделирования модели подразделяются на функциональные и структурные, а также включают структурно-функциональные формы. В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании. Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, инфляцию, занятость, ценообразование, процентную ставку, количество денег и пр.

Создание крупномасштабных математических моделей больших и очень больших (макроэкономических) систем: промышленных регионов, различных отраслей и экономики страны в целом, представляет собой сложную научную проблему, решение которой под силу лишь крупному научно-исследовательскому учреждению.

Модели, отображающие отдельные звенья или процессы экономики, называются микроэкономическими. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих в экономике, либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм с использованием методов оптимизации, теории игр и т.п.

По периодам планирования различают модели перспективного (или стратегического) планирования, текущего и оперативно-календарного планирования.

Модели перспективного планирования разрабатываются на 5 лет и более, модели текущего планирования – на 1 – 2 года, модели оперативно-календарного планирования – на месяц или квартал.

По характеру используемых математических соотношений модели подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных моделях все ограничения и функция цели описываются линейными соотношениями. В нелинейных – все или часть ограничений или функция цели – это нелинейные соотношения.

По степени достоверности и характеру отражения причинно-следственных связей модели делятся на детерминированные и стохастические. Детерминированные – это модели, в которых все ограничения и функция цели описываются с помощью детерминированных, т.е. неслучайных величин. Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели. Стохастические (вероятностные) – это модели, в которых учитывается случайный характер протекающих экономических процессов. В стохастических моделях для описания случайных воздействий на исследуемые показатели используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики. В таких моделях имеется неопределенность. В них целевая функция является числовой характеристикой случайной величины (например, математическим ожиданием).

В зависимости от постоянства или изменчивости процессов и способам отражения фактора времени различают статические и динамические модели. В статических моделях описывается состояние производственно-экономической системы, зафиксированное на конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике. В динамических моделях системы рассматриваются в своем развитии в течение нескольких периодов.

В статических моделях обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, – например, капитальных ресурсов, цен и т.п. динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

Для анализа сложных производственно-экономических систем используют имитационные исследования. Цель имитационного моделирования – воспроизведение поведения системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами и описания их с помощью логико-математических соотношений. В результате использования таких моделей можно получить необходимую информацию о поведении системы в различных условиях, не обращаясь к натурным опытам, а путем экспериментов с моделью системы на ЭВМ.

Имитационное моделирование используется при решении практических задач организационного управления, возникающих в производственно-экономических системах, таких, как, например, совершенствование работы систем массового обслуживания, прогнозирование экономических процессов, управление запасами и т.п.

В отличие от имитационных моделей, которые представляют собой алгоритм, чаще всего реализуемый на ЭВМ, и отображающий действия объекта исследования в динамике, аналитические модели содержат расчетные формулы, системы уравнений, или функции для которых необходимо найти экстремальное значение.

Дескриптивные модели. Слово “дескриптивный” происходит от английского слова “description”, что означает “описание”. Экономико-математические модели, относящиеся к этому классу, предназначены для описания различных производственно-экономических процессов. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: “Как это происходит?” или “Как это может дальше развиваться?”, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты, используются для анализа пропорций прошлого периода или дают прогнозные оценки при экстраполяции полученных данных.

Дескриптивные модели только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятностный прогноз. Применение дескриптивных моделей производственно-экономических систем и процессов объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, количественного анализа взаимодействия различных факторов, установления статистических закономерностей, изучения вероятных путей развития производственно-экономических процессов при различных условиях.

Равновесные модели описывают такие состояния рыночной экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. Это предположение основывается на том, что экономическая система, являясь самоорганизующейся, всегда стремится попасть в стационарное состояние. Любые отклонения (в таких моделях они предполагаются малыми), вызванные флуктуациями параметров внешних факторов, со временем стабилизируются и поэтому считаются несущественными и не учитываются.

Примерами дескриптивных моделей являются некоторые виды производственных функций, функции потребительского спроса, модель межотраслевого баланса. Дескриптивные модели нужны для исследования результатов воздействия человека на различные системы и процессы. Проводя множество экспериментов на таких моделях, исследователь может выбрать наиболее приемлемый вариант построения системы или организации изучаемого процесса. Но для принятия оптимальных решений при управлении системой или процессом таких моделей может оказаться недостаточно. В этом случае используют оптимизационные модели. Они отвечают на вопрос: “Как это должно быть?”, т.е. предполагают целенаправленную деятельность.

Оптимизационные (нормативные) модели, представляющие нормативный подход в моделировании, связаны в основном с микроуровнем (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмы), на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия. Нормативные модели это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Они предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Оптимизационные модели разделяются на два класса.

1. Задачи нахождения безусловного экстремума. Функция цели имеет вид: Необходимым (но не достаточным) условием существования экстремума непрерывной функции является равенство нулю всех ее частных первых производных

где х – управляемые переменные, а – неуправляемые факторы модели.

2. Задачи нахождения условного экстремума с ограничениями на область допустимых значений переменных управления Постановка задачи имеет вид:

где i - число ограничений, ; j – число переменных, ; m < n.

Численный метод поиска оптимального решения включает ряд повторяющихся этапов – итераций:

1) выбор начального значения переменных, соответствующих условиям – ограничениям модели и расчет функции цели;

2) выбор направления изменения переменных и шага приращения (или убывания);

3) определение нового значения переменных и функции цели;

4) сравнение полученного значения функции цели с предыдущим, и если при нахождении максимума полученное значение меньше предыдущего, то направление изменения приращения и шага переменных меняется. Оптимальное значение переменных считается найденным, если при любом направлении изменения переменных происходит ухудшение значения функции цели.

К оптимизационным задачам относятся задачи линейного программирования, которые позволяют, например, определить какую продукцию выгоднее всего выпускать из различных видов ресурсов, имеющихся в ограниченном количестве; как рациональным способом раскроить имеющийся запас материального сырья; как прикрепить потребителей к поставщикам; как разместить предприятия относительно сырьевых баз и потребителей; задачи сетевого планирования и управления, теории массового обслуживания, управления запасами, оперативного календарного планирования, задачи нелинейного и динамического программирования.

Такие модели имеют единственную целевую функцию. Но если преследуется сразу несколько целей, используют многокритериальные модели.

В случаях, когда теоретически возможно получение оптимального решения, но это требует больших вычислений и затрат времени, используют эвристические методы. Они основаны на интуитивных или эмпирически (из накопленного опыта) выбираемых правилах, которые позволяют получить приближенное решение поставленной задачи. Пример эвристического моделирования – использование экспертных методов в экономике. При отсутствии достаточно полной информации и надежных методов определения соответствия модели реальным системам, часто единственным методом решения производственно-экономических задач являются экспертные оценки.

Под информационной моделью понимается схема потоков информации, используемой в процессе управления, отображающая различные процедуры выполнения функций управления предприятием (организацией) и показывающая по каждой задаче связь входных и выходных документов и показателей.

Графические модели целесообразно использовать, если требуется обеспечить наглядное изображение исследуемого объекта или процесса. Различают следующие виды графических моделей:

1) графики, выражающие структуру и связи исследуемых систем (классификационные схемы, схемы организационных структур, схемы потоков информации, схемы рабочих процессов);

2) графики, выражающие расположение объектов и явлений во времени и в пространстве (контрольно-планировочные графики, маршрутные графики, хронограммы, планы расположения рабочих мест);

3) графики, выражающие количественные отношения, - диаграммы;

4) графики расчетного характера (номограммы, шкалограммы).

Экономико-математические модели. Долгое время задачи принятия решений в различных областях производственно-экономической деятельности во многом решались благодаря интуиции и опыту, т.е. искусству менеджера. Усложнение задач принятия решений и расширение круга лиц, принимающих ответственные решения привело к необходимости овладения принципами и методологией науки принятия решений. Научный подход к использованию задач принятия решений основан на следующем.

Необходимым условием является наличие достаточно мощной вычислительной техники, способной в короткое время перерабатывать значительные массивы информации. Причем решение задачи может осуществляться в машине, если задача будет точно сформулирована в понятных для машин терминах, по заранее отработанным методам, введенным в машину в форме программ. Поэтому умение составлять формализованные описания задач и наличие достаточно эффективных математических методов их численного анализа является другим необходимым условием научного подхода к проблемам принятия решений.

Математическая модель задачи представляет собой формальное описание основного содержания задачи. Процесс ее составления требует изучения сущности моделируемой проблемы, познаний в области математического аппарата, который предлагается использовать при численном анализе модели, а также возможностей вычислительной техники.

Общая схема составления моделей задач принятия решений состоит в следующем. Прежде всего, необходимо выделить набор параметров, которые описывают процесс принятия решения.

Далее следует на основании предварительного анализа моделируемого объекта выделить и четко сформулировать цель, ради достижения которой принимается то или иное решение. Как правило, целевую установку процесса принятия решения представляют в виде некоторой функции, зависящей от параметров управления, значения которой дают оценку качества принятого решения. Функцию эту принято называть целевой функцией или показателем качества ее решения.

Лицо, принимающее решение (ЛПР), стремится выбрать такой набор параметров управления, при котором целевая функция в зависимости от ее физического смысла примет либо как можно меньшее, либо как можно большее значение. Если, например, целевая функция выражает затраты, связанные с реализацией какого-либо проекта, то ее значение должно быть как можно меньшим, т.е. целевая функция будет минимизироваться. Если же целевая функция – это объем прибыли от реализации продукции, то такая функция будет максимизироваться. Значение целевой функции дает возможность сравнивать различные варианты решений и выбрать из них оптимальное решение.

Как правило, в задачах принятия решений не любой набор параметров управления может быть практически реализован. Так, если ЛПР стремится максимизировать выпуск некоторой продукции, то обычно, он бывает ограничен наличным запасом тех или иных ресурсов, необходимых для производства. Решение – набор параметров управления, при реализации которого каких-то ресурсов требуется больше наличного их запаса, не может быть осуществлено (предполагается, что пополнение ресурсных запасов исключено). Аналогичное положение возникает, если некоторые значения параметров управления несовместимы с их физическим смыслом. Например, параметр управления, характеризующий время течения некоторого процесса, нельзя полагать равным отрицательному числу – ведь время движется только вперед. Поэтому выбирать лучшее решение необходимо среди практически реализуемых, т.е. возможных решений. Выделение среди всех решений множества возможных решений производится с помощью выражения по возможности всех ограничительных факторов через параметры управления и требования, чтобы значения полученных функций – ограничений – находились в заранее заданных пределах.

Пример составления математической модели задачи планирования производства. Постановка задачи: допустим, что некоторое гипотетическое предприятие производит конечную продукцию одного вида. Для производства конечной продукции необходимы затраты ряда исходных ресурсов – трудовых, материальных, энергетических, временных, запасы которых ограничены. Производство осуществляется с помощью одного из технологических способов. Каждый из технологических способов производства характеризуется количеством конечной продукции, выпускаемой в единицу времени, и всех расходуемых при этом ресурсов. Задача состоит в определении такого плана использования различных технологических способов, при котором предприятие выпускало бы максимально возможное количество конечной продукции в пределах имеющихся запасов исходных ресурсов.

Формализация условия задачи – построение математической модели. Рассмотрим произвольный технологический способ производства, имеющий номер j. Количество конечной продукции, производимой по j-му технологическому способу в течение единицы времени, обозначим через C_j. Обозначим число j-х технологических способов производства через n . Обозначим число исходных i-х ресурсов, необходимых для производства конечной продукции через m . Пусть b_i – величина запаса i-го исходного ресурса, которым располагает предприятие. Обозначим через a_ij расход i-го исходного ресурса за единицу времени использования j-го технологического способа производства.

В качестве параметров управления в данной задаче примем время функционирования каждого из технологических способов производства. Положим X_j равным времени, в течение которого предприятие выпускает продукцию, используя j-й технологический способ производства.