Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Составление плана производства эквивалентно выбору (нахождению) конкретных значений для каждого из неизвестных пока параметров управления X_j . Целевой функцией в рассматриваемой задаче является выражение количества конечной продукции через параметры управления X_j , т.е. тот план производства считается лучше, при котором выпуск конечной продукции больше. Если C_j*X_j - это объем конечного продукта, произведенного j-м технологическим способом, то общий объем конечного продукта, выпущенного предприятием, который должен быть максимизирован, представляем в виде следующего выражения

. (1)

Определим множество допустимых планов функционирования предприятия. Для этого определим количество ресурсов, необходимых предприятию для выполнения плана. В течении X_j единиц времени предприятие работает, используя j-й технологический способ производства и, следовательно, расходует при этом a_ij*X_j единиц i-го ресурса. Полный расход всех i-х ресурсов, используемых при всех j-х технологических способах производства, определяется из выражения

. (2)

Поскольку запас i-го ресурса, которым располагает предприятие, равен b_i , то полный расход этого ресурса не превосходит величину его запасов.

Учитывая физическую сущность параметров управления (время исполнения технологических способов не может быть отрицательным), математическая постановка задачи должна быть дополнена условиями, не допускающими отрицательные значения параметров управления X_j

. (3)

Система неравенств (2) и (3), состоящая из m + n неравенств, является полной системой ограничений задачи и определяет множество допустимых планов.

Математическая модель рассматриваемой задачи планирования работы предприятия определяется соотношениями (1), (2), (3) и состоит в максимизации целевой функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).

Целевая функция модели и левые части ее ограничений – неравенств линейно зависят от параметров управления. Такие модели называются задачами линейного программирования, а математические методы решения подобных задач – линейным программированием (одной из основных дисциплин, составляющих математический аппарат экономики).

Опыт создания моделей фирм в США, обобщенный Т.Нейлором, показывает, что разработка математических моделей даже для систем такого масштаба, как фирма, представляет сложную научно-исследовательскую проблему.

Во-первых, это проблема получения достоверной информации. Модель должна строиться на прочной эмпирической основе. Однако эта информация, как правило, недоступна для разработчиков экономических моделей. Руководство компаний просто не желает давать данные о деятельности своих предприятий посторонним лицам. Это особенно характерно для фирм, работающих в условиях сильной конкуренции.

Во-вторых, трудности построения адекватной численной модели фирмы связаны с тем, что такая модель должна опираться на глубокое знание реальных процессов принятия решений в организациях. Для этого надо хорошо ориентироваться в современном состоянии таких дисциплин, как теория принятия решений, теория организации, а также разбираться в вопросах психологии, социологии, политики, управления производством и экономики.

В-третьих, организация численных испытаний модели функционирования фирмы требует особого внимания к проблеме планирования эксперимента.

В итоге применение мощного аппарата алгоритмического моделирования оказывается неэффективным, так как в этих условиях традиционные аналитические методы дают не менее надежные результаты.

Назначение экономико-математических моделей. Экономико-математическое моделирование явлений и процессов, протекающих в производственно-экономических системах позволяет получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи и поэтому является важным инструментом в принятии экономических, организационных и управленческих решений. Использование экономико-математических методов и моделей повышает эффективность управленческой деятельности за счет сокращения сроков анализа исходной производственно-экономической информации, более полного охвата факторов, влияющих на экономическое положение предприятия, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения многомерных задач управления производством, практически не выполнимых вручную или традиционными методами. Под термином модель понимают условный образ объекта исследования, который конструируется субъектом исследования так, чтобы отобразить существенные для цели управления свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры. Процесс моделирования включает предварительное изучение объекта исследования и выделение его существенных характеристик, конструирование модели, экспериментальный или теоретический анализ модели, сопоставление результатов с данными об объекте, корректировку модели, проведение экспериментов на модели и использование полученных знаний при управлении объектом.

Методы элементарной и высшей математики используются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребности в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, при балансовых расчетах. Факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть проведен с помощью методов дифференцирования и интегрирования.

Методы классической математики включают математический анализ и теорию вероятностей. Эти методы целесообразно использовать при расчете параметров календарно-плановых нормативов, а также при решении задач оперативного регулирования хода производства.

Методы эконометрики основаны на сочетании таких областей знания, как экономика, математика и статистика. В основе эконометрики лежит экономическая модель, т.е. схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. В современной экономике наибольшее распространение получил метод "затраты-выпуск", отличающийся чёткостью экономической интерпретации, позволяющий наиболее компактно представить взаимосвязь затрат и результатов производства в виде матричных балансовых моделей Леонтьева.

Методы эконометрики и математической статистики применяются в случаях, когда изменение анализируемых показателей можно описать как случайный процесс. Эти методы являются основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений и используются в прогнозировании поведения экономических показателей. Статистические и вероятностные методы используют, когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая. Среди наиболее используемых математико-статистических методов в экономике для изучения одномерных статистических совокупностей можно назвать методы анализа вариационных рядов, законы распределения случайных величин, выборочный метод. При изучении многомерных статистических совокупностей используют дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный и корреляционно-регрессионный виды анализа.

Методы исследования операций включают разработку методов целенаправленных действий в производственно-экономических системах, количественную оценку полученных решений и выбор из них наилучшего. Конечной целью является такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных. Среди методов исследования операций можно выделить методы математического программирования, теории массового обслуживания, управления запасами, теории игр, теории расписаний, сетевые методы планирования и управления, модели износа и замены оборудования, теорию надежности производственных систем, имитационное моделирование.

Методы математического программирования используются для решения задач оптимизации планирования и управления производственно-экономической деятельностью, нахождения оптимального варианта транспортировки грузов между поставщиками и потребителями. Оптимальное программирование - это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим по заданному критерию при определенных ограничительных условиях. Модели математического программирования включают модели линейного (когда условия производства описываются системой линейных уравнений или неравенств), нелинейного, динамического программирования. Они предназначены для наилучшего распределения имеющихся в наличии ограниченных ресурсов (сырья, топлива, рабочей силы, времени, денежных средств), а также для составления соответствующих наилучших (оптимальных) планов действий, позволяющих минимизировать затраты или максимизировать получаемую предприятием прибыль. Эти методы позволяют оценить напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности или избыточности производственных ресурсов и решать многие другие задачи, что является важным для экономического анализа выполнения бизнес-планов.

Линейное программирование используется в том случае, когда целевая функция и ограничительные условия выражены линейными зависимостями.

Если в системе содержатся случайные элементы, но зависимости между переменными линейные, то такая задача решается методами стохастического программирования.

Если при нахождении неизвестных переменных необходимо, чтобы одна из них или несколько принимали только целочисленные значения, то в этом случае необходимо использовать методы целочисленного программирования.

Методы нелинейного программирования используются тогда, когда зависимости методу переменными носят нелинейный характер. Универсального метода их реализации нет.

Выпуклое программирование направлено на решение нелинейных экстремальных задач, у которых выпуклы либо целевые функции, либо ограничительные условия.

Квадратичное программирование - это совокупность методов решения задач, в которых ограничительные условия линейны, а целевая функция является многочленом второй степени.

Методы динамического программирования могут применяться для решения таких оптимизационных задач, в которых необходимо рассматривать процесс производства или управления в пространстве или во времени. В их основу положен принцип оптимальности, сформулированный американским математиком Р Беллманом. Сам процесс поиска решения на базе рассматриваемых методов является многошаговым. Ограничительные условия примечания указанных методов: итоговый оптимум является суммой оптимальных решений каждого из выделенных шагов, а состояние системы в рассматриваемый момент времени определяет выбор оптимального решения.

Модели, содержащие большое число показателей, сложны в реализации, поэтому, если это возможно, их преобразуют в несколько моделей. Решать подобные задачи позволяют методы блочного программирования.

Для решения задач, которые не могут быть реализованы классическими методами математического программирования, используется комбинаторные методы.

Модели теории игр нацелены на обоснование, выбор и принятие оптимальных решений в условиях неопределенности (неполноты информации) и связанного с этим риска. Неопределенность обстановки вызывается возможными действиями нескольких конкурирующих сторон, имеющих различные интересы в конфликтных ситуациях. Такие модели могут найти применение при обосновании управленческих решений в условиях производственных конфликтов, при выборе линии поведения в отношении поставщиков, заказчиков, контрагентов и т.д. В играх с "природой" неопределенность обстановки вызывается объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны (например, некоторые характеристики новых материалов, качества новой техники), либо носят случайный характер (состояние погоды, возможное время выхода из строя отдельных узлов изделия и т.п.).

Модели теории массового обслуживания на основе теории вероятностей позволяют дать количественную оценку процессов массового обслуживания в производственно-экономических объектах, т.к. любое из структурных подразделений предприятия можно представить как объект системы обслуживания. Вероятностные модели теории массового обслуживания рассматривают массовые повторяющиеся явления, например выход из строя оборудования. С помощью этого метода можно смоделировать и организацию ремонтного обслуживания и операции технического контроля качества и переналадки оборудования, определить необходимое количество обслуживающего персонала и погрузочно-разгрузочных устройств, требуемую площадь для складирования поступающих материалов и процессы переработки производственно-экономической информации в подразделениях предприятия. Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п. Особенностью задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Модели управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа, страхового запаса), размера и периодичности заказа на пополнение запаса. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Модели сетевого планирования и управления предназначены для планирования, подготовки и выполнения различных видов производственной деятельности, а также для управления этими мероприятиями в ходе их проведения. Это, например, календарные графики ведения разработок (проектов), технологических процессов производства продукции и сборки, ремонта (обслуживания).

Метод имитационного моделирования - это численный метод экспериментирования на ЭВМ с моделями, описывающими поведение сложной производственно-экономической системы в течении заданного периода времени. Имитация используется в случаях:

если еще нет законченной постановки задачи исследования и модель является средством изучения явления;

когда реальный объект недоступен для наблюдения, то имитация единственный способ исследования и проверки стратегии поведения;

имитация позволяет ускорить протекание процессов в модели по сравнению с реальными условиями и за короткое время "проиграть" множество вариантов;

при подготовке специалистов и освоении новой техники, имитации используют для приобретения необходимых навыков;

имеющиеся имитационные модели позволяют проверить различные варианты порядка запуска партий деталей, величины партий, количества партий, производственную структуру участков, приоритетность обработки, проведение операций технического контроля.

Методы экономической кибернетики позволяют моделировать и анализировать производственно-экономические явления и процессы, рассматривая их с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в больших сложных системах на основе системного подхода и системного анализа.

Методы эмпирического поиска оптимальных условий протекания производственно-экономических процессов основываются на использовании человеческого опыта и интуиции. Эвристические методы - это неформализованные методы решения производственно-экономических задач на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т.д.

В ряде случаев приходится находить решение экстремальных задач при неполном знании механизма рассматриваемого явления. Такое решение отыскивается экспериментально. К экстремальным моделям относятся такие, которые позволяют отыскать экстремум функций или функционала. Это модели, построенные с помощью графических методов, метода Ньютона и его модификаций, методом вариационного исчисления, принцип максимума Понтрягина и др. Математическая теория оптимальных процессов включает отыскание максимума Понтрягина для управления технико-экономическими процессами и максимума Понтрягина для управления ресурсами. Эти модели применяются в основном для решения задач оперативного регулирования.

Методы математической статистики используются для нахождения и раскрытия свойственных большим совокупностям однородных объектов закономерностей. Математическая статистика включает корреляционный, регрессионный, дисперсионный, факторный анализ.

Модели прогнозирования основаны на математических методах наименьших квадратов, корреляционно-регрессионного анализа, либо на методах экспертных оценок.

Корреляционно-регрессионный анализ используется также для определения некоторых показателей (например, себестоимости) новых изделий параметрическим методом на основе собранных данных по изделиям-аналогам.

Модели планирования основаны на математическом программировании. Целевая функция этих моделей предусматривает максимизацию критерия эффективности производственной деятельности (например, размера дохода и прибыли) исходя из наличных мощностей и отпускаемых ресурсов, либо минимизацию расхода ресурсов в рамках указанного критерия эффективности. Здесь решаются задачи распределения производственной программы по календарным периодам, оптимальной загрузки оборудования.

Модели оперативного управления включают расчёт оптимального объема партий изделий и оптимального графика запуска-выпуска партий деталей - календарное планирование. Модели календарного планирования могут быть статистические, имитационные, эвристические, - когда невозможно создание строгих алгоритмов, но необходимо использовать информацию, не имеющую количественного выражения.

Модели материально-технического снабжения используют аппарат математического программирования, теории массового обслуживания или теории управления запасами. При этом могут быть построены модели с фиксированным размером заказа и с фиксированным уровнем запасов.

Моделирование технической подготовки производства использует сетевые модели и методы математического программирования для определения минимального срока или стоимости выполнения комплекса работ при ограничениях на ресурсы. Здесь может решаться задача определения потребности в инструменте, оптимальной планировки участка.

Модели организационных структур управления в значительной части эвристического характера. Применим здесь и аппарат теории массового обслуживания, и имитационное моделирование.

Модели микро- и макроэкономики включают балансовые модели, идея которых - рациональное функционирование системы, когда затраты компенсируются доходами. Это балансы, как на уровне национальной экономики, так и на уровне региона, города, предприятия. Модель позволяет проанализировать структуру производственных (продуктовых) связей, изменение её при необходимости корректировки объёмов конечного продукта или внутрипроизводственного потребления. Также это модели, описывающие поведение потребителей с помощью функции спроса и поведение предприятий-производителей с помощью функции предложения. Достижение соответствия спроса и предложения, установления равновесных рыночных цен, определение объёма торговых операций (сделок). Процессы рыночного механизма регулирования с построением графической паутинообразной модели, отражающей соотношение спроса и предложения и временные запаздывания сегодняшних предложений относительно цен прошлого периода и соотношения со спросом, диктуемым сегодняшними ценами.

Все экономико-математические методы подразделяются на оптимизационные, если метод позволяет искать решение по заданному критерию оптимальности и дескриптивные, когда поиск решения ведется без критерия оптимальности. Если метод позволяет получить только единственное решение, то он относится к группе точных методов, а в случае, если при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, метод относят к группе приближенных. К группе приближенных методов относят и такие, при использовании которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности.