Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

где T_Z - показатель оборачиваемости запаса товаров, измеряемый в единицах времени.

В соответствии с формализованной постановкой задачи, в качестве переменных управления выбраны две величины: поставки и реализация.

За переменную управления примем только интенсивность

поставок. Тогда для исключения неоднозначности в определении интенсивности реализации примем допущение о том, что эта величина является минимальной из двух величин:

r(t) и Z(t)/T_Z

fpros i = min(ri, Zi / T_Z).

Количественные связи между содержимым блоков и интенсивностями потоков задаются в следующем виде: скорость изменения содержимого блока равна разности интенсивностей входящих и исходящих потоков:

Zi = Zi–1 + fpos i–1 – fpros i–1,

Di = Di–1 + fpros i–1 – fopl i–1,

Ki = Ki–1 + fopl i–1 – fpos i–1,

Si = Si–1.

Как следствие, можно записать следующее:

Si = – Sуст = const.

В связи с тем, что, согласно методологии динамического моделирования, активы представляют собой неотрицательные величины, а источники средств - неположительные, имеем

Zi ≥ 0,

Di ≥ 0,

Si < 0,

Ki ≤ 0.

Поскольку по условию задачи поставляемые поставщиками и реализуемые покупателям товары не могут быть возвращены обратно, то

f pos i ≥ 0

f pros i ≥ 0.

Функция потока оплаты поставок представляет собой сдвинутую вправо по оси времени на период T_K функцию поставок. В силу неотрицательности последней

f opl i ≥ 0.

Поскольку в начальный момент существования предприятие располагало только собственными средствами, равными денежным, то

D0 = Sуст, Z0 = K0 = 0.

Тогда получаем баланс активов и источников средств:

Zi + Di – Sуст + Ki = 0.

Существенным обстоятельством является факт влияния процесса функционирования до некоторого момента на процесс функционирования после этого момента. Такое влияние возникает, поскольку в данный текущий момент оплачиваются предшествующие поставки.

Поэтому процесс функционирования предприятия после начала планового периода зависит от процесса функционирования на отрезке до начала планового периода. Следовательно, возникает необходимость задать состояние предприятия до момента t0 не как значения интенсивностей потоков и содержимого накопителей, а как специальным образом определяемый и задаваемый исходный процесс функционирования. Таким процессом естественно считать функционирование в условиях постоянства потоков и содержимого накопителей - стабильное, невозмущенное функционирование. По этим же причинам в задаче планирования следует потребовать перевода производственной системы в новое стабильное состояние. Если невозмущенность функционирования после момента tpl не потребовать, то увеличение рентабельности при постоянстве собственных средств возможно при увеличении поставок на отрезке [tpl–T_K, tpl], так как оплата этих поставок потребуется уже после окончания планового периода, что не повлияет на рентабельность (поскольку критерий рентабельности рассчитывается лишь для данного планового периода).

Анализируя параметры стабильного функционирования, связь величины содержимого накопителя K(t) с интенсивностями входных и выходных потоков в условиях стабильности можно выяснить на основе представления о времени полного обновления этого содержимого. По определению стабильного функционирования все потоки равны и, в частности, входной поток блока K(t) равен выходному. Интенсивность этих потоков в стабильном функционировании обозначим переменной величиной f.

Тогда содержимое блока K(t) полностью обновляется за время T_K, так как это время отсрочки оплаты поставок:

Ki = – f ∙T_K,

(знак «минус», поскольку источники средств представляются неположительными величинами).

Для начального состояния системы потоков это соотношение будет выполняться автоматически в силу задания начальных условий (как будет показано ниже). Для конечного состояния данное уравнение следует задать как ограничение, налагаемое на систему потоков. Кроме того, по условию стабильного функционирования следует задать постоянство интенсивности потока поставок на отрезке [tpl – T_K, tpl]

Из этого следует, что к моменту времени t = tpl или при i = N интенсивность потока оплаты fopl N будет равна fpos N. Поэтому ограничение на равенство потока поставок и их оплаты в момент t = tpl задавать не нужно.

Чтобы система потоков находилась в стабильном состоянии, следует задать ограничение, где в качестве f принимается величина fpos N, а также равенство fpos(t) и fpros(t) в момент t = tpl

fpros N = fpos N.

Таким образом, уточненная постановка задачи выглядит следующим образом: для производственной системы (рис. 36) найти план поставок на плановом периоде, обеспечивающий максимум продаж, при условиях:

1) до начала планового периода производственная система находилась в известном состоянии стабильного функционирования;

2) после окончания планового периода производственная система находится в некотором состоянии стабильного функционирования;

3) спрос на товары скачкообразно изменяется в момент времени внутри планового периода.

Состояние предприятия в начале периода планирования можно задать значениями пяти переменных величин: Z0, D0, K0, fpos 0, fpros 0, и совокупностью значений функции оплаты f opl i поставок на отрезке [t0, t0 + TK].

Для численного решения задачи методом имитационного моделирования этой цели разрабатывается электронная таблица, содержащая лист исходных данных, лист расчета производственно-финансовых потоков и лист графиков для визуализации получаемых решений.

На Листе 1 (рис. 37), в верхней части таблицы находятся параметры, значения которых можно изменять с клавиатуры (за исключением TK, изменение которого требует корректировки формул расчета потоков). В нижней части таблицы находятся рассчитываемые параметры, значение которых получаются с помощью Excel-формул по значениям параметров из верхней части таблицы.

Момент ступенчатого изменения рынка t1 - номер недели, в начале которой ожидается резкое изменение рыночного спроса (в данном случае падение). В связи с предположением, что до начала периода планирования предприятие функционировало в стабильных условиях, то до этого момента интенсивности всех потоков равны между собой. Эта величина представляет собой начальную интенсивность потоков f0. C1 и C2 - максимальные значения потока продаж, соответствующие рыночному спросу в периоды времени до и после изменения спроса соответственно. TK - период отсрочки оплаты поставок. TZ - норма оборачиваемости запаса. Последний задаваемый параметр - D0 / Z0 - доля начальной величины денежных средств в начальной величине запаса товаров.

Начальный запас товаров Z0 рассчитывается как произведение начальной интенсивности потоков, то есть интенсивности потока продаж, на норму оборачиваемости запаса:

Z0 = f0 ∙TZ.

Начальная величина денежных средств равна произведению начальной величины запаса товаров на долю денежных средств от него:

D0 = Z0 ∙D0 / Z0.

Начальная величина кредиторской задолженности:

K0 = – f0 ∙TK.

Начальная величина собственных средств находится из уравнения баланса:

S0 = – Z0 – D0 – K0.

На Листе2 (рис. 38) выполняется расчет происходящих процессов (потоков) при помощи механизма формул. В формулах в строке 5 для ссылки на оборачиваемость запаса используются абсолютные ссылки на параметры Листа1, записываемые как Лист1!$E$3. Формула в ячейке D5 введена вручную (=МИН(C6/Лист1!$E$7;D4)), затем она была скопирована в ячейку D6. При копировании изменились только два члена, а ссылка на ячейку оборачиваемости запаса осталась неизменной.

При расчётах на Листе2 (Потоки) ссылаются на ячейки в Листе1 (Параметры). Формулы для расчета переменных величин в самую первую неделю вводятся особым образом и отличаются от формул для других недель, так как для первой недели нет предшествующей.

Начальные значения активов и источников средств представляют собой значения рассчитываемых параметров с Листа1 (Параметры), то есть начальное значение запасов товаров - Z0, денежных средств - D0, кредиторской задолженности - K0 и собственных средств - S0.

Начальные значения интенсивностей всех потоков - поставок товаров, их оплаты и реализации - равны величине начальной интенсивности потоков f0 с Листа1 (Параметры).

Первая колонка - названия рассчитываемых потоков. Эта колонка, а также верхняя строка с номерами недель представляют собой закрепленную область для того, чтобы номера недель и названия потоков не исчезали при прокручивании листа.

Общий вид формул расчета величин на Листе2 (Потоки) согласно методу имитационного моделирования:

f_k ⁱ = f_k ⁱ (z ^{i −1} , f ^{i −1}), k = 1,2,…, P,

где f_k ⁱ - интенсивность k-го потока в i-ю неделю, z ⁱ_r - величина r-го «запаса» (то есть разновидности средств или источников средств) в i-ю неделю,

z ^{i −1} = (z₁ ^{i −1} , z₂ ^{i −1} ,…, z_R ^{i −1}),

f ^{i −1} = (f₁ ^{i −1}, f₂ ^{i −1},…, f_P ^{i −1}), (15)

где R - количество наименований «запасов», Р - количество потоков, Ir - множество индексов потоков, входящих в или выходящих из r-го «запаса».

Выражения означают, что значение потока в i-ю неделю рассчитывается по значению «запасов» и потоков в предыдущую неделю, значение «запаса» рассчитывается по значению этого же запаса в предыдущую неделю и значениям потоков в данную неделю.

Компьютерная программа составлена для случая функции сбыта, когда выражение расчета потока продаж в системе уравнений записывается в виде уравнения, то применяя Excel-формулу, получим

fpros i = МИН(Zi / TZ; ri), (16)

где TZ — оборачиваемость запаса товаров, постоянная величина.

В компьютерной программе, на листе «Потоки» величины получены следующим образом:

• рынок ri — по формуле =ЕСЛИ(№ недели < t1; C2; C1), где № недели — номер недели в соответствующем столбце в строке порядковых номеров недель, t1 - номер недели, в начале которой резко изменяется рынок, C1 и C2 - интенсивности рыночного спроса до и после его изменения;

• реализация товаров — по формуле (16);

• запас товаров, денежные средства и кредиторская задолженность — по формуле (15);

• оплата поставок — по формуле fopl(t) = fpos(t – T_K),

т. е. значения в этой строке представляют собой значения из строки поставок товаров в кредит со сдвигом вправо на TK недель (значения строки в первые TK недель равны начальной интенсивности потоков f0);

• собственные средства — по формуле Zi + Di – Sуст + Ki = 0.

Значения средств и потоков на первом шаге, то есть в первую неделю, взяты из Листа1 (Параметры), из f0, Z0, D0, K0 и S0.

Ячейка реализации за плановый период - критерий оптимальности, который рассчитывается как сумма значений потока продаж за плановый период.

Лист3 (Графики) содержит графическое представление получаемых результатов (рис. 39). При создании диаграммы следует использовать Мастера диаграмм, который осуществляет поэтапное руководство процессом построения диаграммы. Во многих случаях Excel может строить диаграмму по выделенным данным.

Рис. 37. Ввод исходных данных в Excel

Рис. 38. Ввод математических соотношений в Excel и расчёт показателей модели

Рис. 39. Представление результатов моделирования в графической форме

Динамическое моделирование при формировании механизма повышения эффективности организации производственной системы предполагает составление плана-графика работ, который должен учитывать потребителей продукции предприятия, колебание спроса на продукцию, факторы, влияющие на эффективность организации производственной системы. В целях включения всех возможных работ, необходимых для разработки механизма повышения эффективности организации производственной системы, следует построить математическую модель, описывающие все аспекты функционирования предприятия, влияющие на эффективность организации ПС. В основе построения данной модели используется методика, разработанная Дж. Форрестором и описанную в его труде «Основы кибернетики предприятия».

Предлагаемая модель содержит в себе десять факторов, влияющих на эффективность организации ПС: исполненные заказы потребителей; производственные заказы на пополнение складских запасов готовой продукции; производство; заказы на приобретение основного сырья и материалов; расходы на подготовку производства и освоения новой продукции; трудовые ресурсы предприятия; опоздание отгрузок заказов потребителям; заказы потребителей; финансовые потоки; прибыль предприятия.

Взаимосвязь вышеуказанных факторов представлена на рис. 40, однако ключевым для построения механизма повышения эффективности организации производственной системы является фактор производство, который позволяет проследить цепочку создания стоимости продукта (рис. 41).

Рис. 40. Факторы модели и их взаимосвязь

Рис. 41. Модель производства машиностроительного предприятия

На основе факторов (уровней математической модели), потоков (информационных, финансовых, материально-технических, трудовых ресурсов, заказов) и их темпов, входных и выходных данных, можно построить математическую модель, описывающую эффективность организации ПС. Входными данными в такой модели являются производственные заказы для восстановления складского запаса; количество заказов, которые можно исполнить за счет имеющихся складских запасов; отклонение отгрузок заказов на предприятии (переменная величина, характеризующая опоздание сроков исполнения заказов); закупки сырья и материалов на предприятии; общая численность рабочих на предприятии. В модели реализуются производственные процессы, направленные на исполнение заказов потребителей и восстановление необходимого складского запаса. Основными выходными данными модели являются: уровень текущих производственных заказов для восстановления складских запасов; количество рабочих, необходимых для выполнения поступающих в производство заказов; желательная численность рабочих на предприятии; количество отгруженных заказов потребителям; объем закупок сырья и материалов. Такая модель может насчитывать в себе несколько сотен показателей и быть трудоемкой в осуществлении расчета. Но вместе с тем, построенные на ее основе графики, отражают текущее состояние уровня эффективности организации ПС и дают возможность прогнозирования реакции системы на различного рода изменения во внешней и внутренней среде (например, задержка поставки сырья, простои производства, возникновение дебиторской задолженности).

В целях наглядности применения описанной выше модели и отражения с ее помощью функционирования разрабатываемого механизма повышения эффективности организации производственных систем, рассмотрим один из факторов, влияющих на эффективность организации ПС, - прибыль предприятия до налогообложения. Ниже представлены формулы, позволяющие рассчитать основные необходимые показатели.

;

;

где П_дон - прибыль до налогообложения за анализируемый период (руб.); ВЗСЗ - количество заказов, выполняемых за счет складских запасов (в единицах готовой продукции) за анализируемый период; ОВЗ - отгруженные заказы потребителей (в единицах готовой продукции) за анализируемый период; - средневзвешенная цена готовой продукции предприятия (руб. за единицу); Себ - себестоимость единицы изделия в складских запасах (руб. за единицу); ФЗП - месячный фонд заработной платы предприятия (руб.); ПСЗ - объем производства для восстановления складского запаса (в единицах готовой продукции) за анализируемый период; - среднемесячная заработная плата на одного работающего (руб.); - средняя производительность труда на предприятии за анализируемый период; Р_ДСпост - постоянный расход денежных средств (руб.) за анализируемый период; К_НЗСЗ - коэффициент нормального количества заказов, удовлетворяемых за счет складских запасов предприятия; З - количество поступивших на предприятия заказов (в единицах готовой продукции) за анализируемый период; ЗП - количество производственных заказов потребителей (в единицах готовой продукции) за анализируемый период; О_П - отклонение производства (недели); N – продолжительность анализируемого периода (недели); ЧП - численность персонала на предприятии (человек); СЗ_общ - совокупный объем складских запасов (в единицах готовой продукции) за анализируемый период.