Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Значения темпов потоков для очередного шага моделирования определяют исходя из известных значений характеристик состояний элементов системы на начало того же шага, параметров этих элементов и ряда других величин. В случае необходимости значения темпов потоков ограничиваются сверху таким образом, чтобы исключить появление отрицательных значений характеристик состояний соответствующих элементов в конце данного шага моделирования.

Модели системной динамики включают накопители или уровни, связанные между собой управляемыми потоками и содержат четыре основных элемента (рис. 35): 1) накопители (уровни), обозначаемые на схемах в виде прямоугольников; 2) темпы, перемещающие содержимое одного накопителя к другому – в виде сплошных стрелок; 3) функции решений, которые регулируют темпы между уровнями – в виде вентилей; 4) каналы информации, соединяющие функции решения с уровнями – в виде пунктирных стрелок.

Уровни характеризуют возникающие накопления внутри системы. Это товары, имеющиеся на складе, товары в пути. При необходимости могут быть рассмотрены также банковская наличность, производственные площади и численность рабочих. Уровни представляют собой те значения переменных в данный момент, которые они имеют в результате накопления из-за разности между величинами входящих и исходящих темпов. Уровни используются для моделирования всех шести потоков реального производства: информации, материалов, заказов, денежных средств, рабочей силы и оборудования.

Важно выяснить основное различие между уровнями и темпами, поскольку по единице измерения переменных ещё нельзя судить, относятся ли они к уровням или темпам, т.к. некоторые уровни измеряются такими же количественными показателями, что и темпы (например, единицы в неделю).

Рис. 35. Условные обозначения элементов потоковой модели

Для определения, является ли переменная уровнем или темпом, необходимо выяснить, может ли переменная существовать и иметь определённое значение в системе, приведённой в состояние покоя. Значение уровня остаётся даже при прекращении всякого движения в форме потоков. Например, при прекращении поступления и оправки товаров на складе сохраняется определённый уровень их запасов. Если бы вся деятельность в системе остановилась, то уровни физических величин, таких, как товары, денежные средства, рабочая сила, могли бы быть определены и в этом случае (в отличие от темпов).

Уровни используются не только в сетях физических величин, но и в информационной сети, в которой они часто имеют единицы измерения, характерные для темпов (например, средний уровень сбыта за прошлый год может измеряться объёмом за месяц или за год). Но это не темп, который характеризует мгновенную скорость передачи от какого-либо одного уровня к другому. При тенденции постоянного роста средний темп сбыта, определённый в любой момент времени, никогда не будет равен фактическому текущему темпу сбыта в тот же самый момент. Средняя величина сбыта часто трактуется как уровень сбыта или уровень деловой активности. Средний уровень сбыта определяется путём интегрирования мгновенных фактических темпов сбыта за некоторый период времени, например, за год. Поэтому он описывается уравнениями такой же формы, как и другие уровни в системе. У системы, достигшей состояния покоя, средняя величина сбыта за прошлый год представляет собой уровень.

Темпы определяют существующие мгновенные потоки между уровнями в системе. Темп определяет активность, а уровни измеряют состояние, как результат активности в системе. Темпы и уровни имеются во всех шести видах сетей, которые могут составлять систему. Темпы устанавливаются на основе уровней в соответствии с законами, определяющими вид функций решений. По величине темпов определяют уровни. В состав уравнений, которыми определяется темп, обычно входит и уровень, из которого выходит данный темп.

Функции решений (или уравнения темпов) определяют, каким образом имеющаяся информация об уровнях приводит к выбору решений, связанных с величинами текущих темпов. Все решения касаются предстоящих действий и выражаются в форме темпов (выдачи заказов, приобретения оборудования, найма рабочей силы). Функции решений имеют отношение к решениям, принимаемым в процессе управления, а также к действиям, обусловленным естественным состоянием системы. Функция решения может иметь вид элементарного уравнения, определяющего простейшую реакцию темпа на состояние одного или двух уровней (например, производительность транспортной системы часто может быть адекватно выражена количеством товаров в пути, представляющим собой уровень, и константой – средним запаздыванием на время транспортировки). Но функция решения может представлять собой и продолжительную и детально разработанную последовательность вычислений, выполняемых с учётом изменения ряда дополнительных условий.

Поскольку темпы переносят содержимое от одного уровня к другому, поэтому все уровни внутри одной сети должны иметь однородное содержимое. Входящие и исходящие темпы, связанные с уровнем, должны переносить предметы того же самого вида, что и содержащиеся в уровне. Чтобы отразить деятельность промышленного предприятия необходимы несколько взаимосвязанных сетей.

В процессе моделирования используются следующие сети, представляющие различные типы переменных – заказов, материалов, денежных средств, рабочей силы и оборудования, соединённых в единое целое с помощью сети информации. При этом любая из этих сетей может быть разбита на несколько отдельных частей (например, типы материала в различных частях материальной сети могут быть различными). Материалы различного типа не должны смешиваться, поэтому уровни в одной части сети не могут быть связаны посредством темпов с уровнями из другой части.

Информационная сеть может идти от уровня в любой из шести сетей, к темпу в той же или другой сети.

Сеть материалов включает все темпы и запасы реальных предметов – сырья, незавершённого производства, готовой продукции, товаров.

Сеть заказов содержит заказы на товары, требования на новую рабочую силу и контракты на новую производственную площадь. Заказы представляют собой результат решений, которые не нашли своего отражения в темпах одной из других сетей. Они образуют связующее звено между явными решениями и результатами в виде неявных решений в сетях материалов, денежных средств, рабочей силы и оборудования.

При моделировании денежные средства понимаются как кассовая наличность, а поток этих средств есть фактическое движение платежей между денежными уровнями. С позиций моделирования действий фирмы, банковская наличность представляет собой денежный уровень. Счета к получению не следует считать денежными средствами, даже если они могут быть реализованы как товары, - они могут быть переданы по информационной сети как свидетельства о праве на оплату. Цена есть также информация, а не часть денежной сети.

В точке выполнения заказов создаются три потока: выполненных заказов, уменьшающий задолженность по заказам; реальных товаров от поставщика к покупателю; информации о счетах к получению, представляющих собой произведение цены на темп потока товаров. Уровень счетов к получению вместе с запаздыванием на время оформления документов определяют темп потока денег, поступающих с банковского счёта покупателя к поставщику. Этот темп увеличивает уровень банковского счёта поставщика, а информация о его темпе уменьшает уровень счетов к получению.

Банковский счёт, трактуемый фирмой как денежный уровень, для банка представляет счёт, который может быть оплачен. Счёт не содержит денежных средств, но является информацией, определяющей право фирмы изъять определённую сумму.

Сеть рабочей силы отображает наём, использование и увольнение работников. Здесь фигурирует определённое число людей как индивидуумов, а не количество человеко-часов труда.

Сеть оборудования включает производственную площадь, инструмент и оборудование, необходимые для производства товаров. Она показывает, как функционируют предприятия, каково имеющееся оборудование, какая его часть находится в данный момент в эксплуатации (для определения уровня производительности), каков темп выхода орудий производства из строя.

Информационная, сеть представляющая собой последовательность переменных темпов и уровней, начинается от уровней и темпов в пяти других сетях и заканчивается у функций решений, определяющих темпы в этих сетях. Она переносит информацию от уровня к точкам решений, а также информацию о темпах в других сетях к уровням в сети информации. В самой сети информации существуют уровни и темпы. Информация соединяет и заставляет взаимодействовать остальные сети.

Рассмотрим пример моделирования деятельности предприятия (рис. 36), которое осуществляет коммерческую деятельность в рыночной среде, реализуя товары своим покупателям и пополняя запас товаров поставками. Поставки оплачиваются с отсрочкой на некоторый период времени, т.е. на условиях товарного кредита. В результате образуется кредиторская задолженность поставщикам. В противоположность этому продажи и их оплата синхронны, товарный кредит покупателям не предоставляется, что соответствует случаю предприятий розничной и, отчасти, мелкооптовой торговли. Интенсивность потока продаж не более того, что обеспечивается наличным запасом, и не может превышать величины, определяемой текущим рыночным спросом. Структура внутрипроизводственных потоков включает потоки продаж, поставок и их оплаты.

Эти потоки образуют замкнутый цикл движения оборотных средств по цепи запаса товаров, денежных средств и кредиторской задолженности поставщикам. С целью исключения деталей, несущественных на первоначальных этапах исследования, предприятие рассматривается в условиях, когда вся получаемая прибыль изымается, например, в виде дивидендов.

В противном случае изучаемые процессы, происходящие в цикле движения оборотных средств, пришлось бы анализировать совместно с процессом роста предприятия в результате присоединения нераспределенной прибыли к собственным средствам. Следовательно, величина собственных средств предприятия неизменна. В развитии исследования предположение о полном изъятии прибыли снимается. Так как вся прибыль изымается, приток денежных средств в результате продаж равен продажам в себестоимости.

Рис. 36. Потоковая модель функционирования предприятия

Предприятие имеет собственные средства, вместе с кредиторской задолженностью финансирующие активы. Основные средства, их приобретение и амортизация исключены из рассмотрения, так, чтобы выделить движение оборотных средств, по возможности, в «чистом виде». Можно считать, что основные средства достаточно малы, чтобы пренебречь их существованием (точнее, пренебречь амортизационными отчислениями по сравнению с оборотными средствами).

Предприятие изучается в условиях значительной товарной номенклатуры, что особенно характерно для розничной торговли. Считается, что товарная номенклатура достаточно однородная с точки зрения объемов продаж и поставок, т. е. нет разновидностей товаров, существенно выделяющихся в этом отношении. Поэтому интенсивности потоков, величины средств и их источников количественно характеризуются суммарно по номенклатуре.

Деятельность предприятия изображается с помощью переменных величин, рассматриваемых как функции времени.

Средства предприятия, активы: Z(t) — запас товаров, руб.; D(t) — денежные средства, руб.

Источники средств: K(t) — кредиторская задолженность предприятия поставщикам; S = const — собственные средства, руб., постоянная величина.

Потоки средств характеризуются их интенсивностями, которые измеряются в стоимостях, перемещающихся в потоках в единицу времени: fpros(t) — продажи, в себестоимости товаров, руб./ед. времени; fpos(t) — поставки товаров, руб./ед. времени; fopl(t) — оплата поставок, руб./ед. времени.

Считается, что продажи, поставки и их оплата осуществляются непрерывно, т. е. в любой момент времени интенсивности соответствующих потоков имеют некоторые значения. Такие условия типичны для мелкооптовой и розничной торговли. Это означает, что фактором партионности можно пренебречь. Это в свою очередь позволяет считать интенсивности потоков непрерывными или кусочно-непрерывными функциями и изображать графики их изменений во времени. (Для изображения партионного движения в большой степени пригодны математические модели потоков дискретных событий.)

Подобного рода представление внутрипроизводственных потоков с помощью непрерывных переменных величин суммарно по номенклатуре предметов характерно для задач стратегического и бюджетного планирования и широко применяется, например, в известных программных средствах фирм «Альт» и «Про-Инвест-Консалтинг».

В рассматриваемую простейшую модель движения оборотных средств не включаются банковские ссуды; можно считать, что рассматриваемое предприятие - малое или среднее, для которого банковские ссуды недоступны.

Математическая модель движения оборотных средств включает зависимости между текущими значениями интенсивностей потоков и величинами активов - запаса товаров и денежных средств. Текущая величина актива образуется как результат притока входящих потоков и оттока исходящих. Для запаса товаров:

где t = 0 - начальный момент существования предприятия, Z(0) - запас товаров в начальный момент.

Аналогично для денежных средств:

.

Данные соотношения удобнее записывать после дифференцирования по времени:

т. е. скорость изменения актива равна интенсивности входящего потока минус интенсивность исходящего.

Так как оплата поставок осуществляется с отсрочкой, то функция интенсивности потока оплаты поставок в точности представляет собой функцию интенсивности поставок, сдвинутую вправо по оси времени на период отсрочки оплаты:

fopl(t) = fpos(t – T_K),

где T_K - период отсрочки оплаты поставок.

Величину кредиторской задолженности следует рассчитывать аналогично тому, как это сделано для активов, т.е. как результат притоков и оттоков. Представленная в виде интегральных соотношений кредиторская задолженность описывается неположительными числами:

.

Определенные интегралы - это суммарные притоки и оттоки по входящему и исходящему потоку соответственно, за период от момента времени t = 0 до t. Приток-оплата отстает во времени от оттока-поставок. Поэтому остаток - кредиторская задолженность - будет отрицательным, учитывая, что в начальный момент существования предприятия кредиторская задолженность K(0) была нулевая.

Более удобная форма записи получается после дифференцирования по времени:

.

Сущность рассмотренных зависимостей между интенсивностями потоков, активами и источниками средств состоит в балансе притоков и оттоков по отношению к некоторым накопителям. Величины активов представлены в виде накопителей - «емкостей» с содержимым, изображаемым положительными значениями переменных величин. Величина кредиторской задолженности показана как изъятие из накопителя, отрицательное по отношению к нулевому уровню.

В начальный момент существования любого предприятия средства вносятся в уставный фонд, как правило, в денежной форме. Таким образом, сумма уставного фонда рассматриваемого простейшего предприятия равна сумме денежных средств D(0) в момент t = 0. Так как нет нераспределенной прибыли, присоединяемой к собственным средствам, то сумма последних всегда равна уставному фонду, следовательно, денежным средствам D(0) в момент t = 0. Аналогично случаю кредиторской задолженности, в математической модели собственные средства изображаются накопителем с отрицательным содержимым:

S = – D(0). (13)

Это позволяет записать уравнение баланса активов и источников средств. Уравнение получается путем почленного сложения выражений для Z(t), D(t) и K(t):

Z(t) + D(t) + K(t) = Z(0) + D(0) + K(0). (14)

Учитывая, что Z(0) = 0 и K(0) = 0, т. е. в момент начала существования предприятия запаса товаров и задолженности нет; учитывая (13), получается уравнение баланса:

Z(t) + D(t) + K(t) = – S

Z(t) + D(t) + K(t) + S = 0.

Выше обоснована взаимозависимость текущей интенсивности потока продаж и текущего запаса. Применительно к простейшему предприятию можно сказать, что продажи не могут быть больше того, что позволяет наличный запас товаров. С другой стороны, при данной интенсивности потока продаж запас товаров не может быть ниже некоторого уровня.

Простейшее предприятие здесь рассматривается в условиях, когда фактор ограниченности пропускной способности не проявляется, т.е. пропускная способность имеется «с запасом». Тогда взаимозависимость можно представить в виде неравенства:

,

где T_Z - норма оборачиваемости запаса товаров в ед. времени, показатель оборачиваемости.

Это неравенство означает, что предприятие искусственно уменьшает продажи по сравнению с рыночными, товар «придерживается». Если же деятельность предприятия осуществляется без искусственного «придерживания» товара и без избыточного запаса, тогда данное выражение следует рассматривать в виде строгого равенства.

Простейшее предприятие функционирует в изменяющейся рыночной среде, что представляется с помощью переменной величины r(t), зависящей от времени и обозначающей максимальное значение интенсивности потока продаж, достижимое предприятием исходя из текущего рыночного спроса:

.

Математическая модель дополняется формальными ограничениями на неотрицательность переменных величин:

- означает, что отток денежных средств не должен приводить к их дефициту

- выражения фиксируют однонапраленность соответствующих потоков, что можно понимать как запрет возврата товаров покупателями и поставщикам.

Рассматриваемая математическая модель функционирования предприятия записывается в виде следующей системы уравнений и неравенств:

в которой параметрами являются T_Z, T_K и S.

Математическая модель имеет шесть переменных величин (три интенсивности потоков и три переменных содержимого накопителей). Неравенства выступают в качестве ограничений, накладываемых на протекающие процессы.

Период оборачиваемости запаса товаров, как правило, больше периода отсрочки оплаты поставок. Поэтому задача планирования рассматривается в условиях T_Z > T_K.

Поставки оплачиваются с отсрочкой на период T_K. Поэтому функция оплаты fopl(t) - это функция поставок, сдвинутая вправо по оси времени на период T_K. Тогда

fopl(i) = fpos(i – Tк).

Выручка от продаж накапливается в виде денежных средств и расходуется на оплату поставок, а также вся прибыль изымается из оборота в виде дивидендов.

Интенсивность потока продаж в модели зависит от рыночного спроса r(t) и величины запаса товаров Z(t). Считается, что продажи не могут превышать рыночные ограничения, а также максимальную величину, которую позволяет текущий запас товаров: