Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Для получения коэффициентов регрессии b_i с высокой точностью и достоверностью к плану эксперимента предъявляется ряд требований, что приводит к формированию значений xm_i. по специальным правилам.

Процедура выбора подобласти проведения эксперимента состоит из двух этапов: выбор основного уровня х_0i и выбор интервалов варьирования I_i. Основной уровень - центр подобласти проведения эксперимента - для первого эксперимента осуществляется эвристически на базе анализа априорной информации. В дальнейшем его величина определяется направлением градиента и шагом эксперимента.

Интервалом варьирования I_i фактора х_i называется некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний х_2i, а вычитание - нижний уровень фактора х_1i.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по кодированным осям и начало отсчета выбирают так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной - 0:

где - кодированное значение фактора.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Так как число уровней каждого фактора равно двум, то в теории планирования экспериментов рассматривается полный факторный эксперимент n². Для двух факторов план эксперимента и геометрическая интерпретация матрицы планирования 2² приведены на рис. 30.

Полный факторный эксперимент 2³ будет иметь восемь опытов, а его геометрическая интерпретация представляет собой куб.

Матрица полного факторного эксперимента строится следующим образом: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором - через два, в третьем - через четыре и т.д. по степени двойки. Однако полный факторный эксперимент содержит избыточную информацию для определения коэффициентов регрессии b_i, для расчета которых достаточно провести только часть полного факторного эксперимента - дробный факторный эксперимент.

Рис. 30. План и геометрическая интерпретация

эксперимента 2²

Реализуемая часть полного факторного эксперимента называется дробной репликой. Объем дробного факторного эксперимента определяется из следующих условий:

число экспериментов должно быть не меньше числа неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии;

число экспериментов должно быть обязательно равно степени числа 2.

Так, для определения 11 коэффициентов уравнения линейной регрессии с 10 факторами требуется провести не менее 11 экспериментов. Ближайшее число по степени числа 2 - это число 16. Оно и определяет объем дробного факторного эксперимента. Так как 16 = 2⁴, а объем полного факторного эксперимента 2¹¹, то обозначение соответствующей дробной реплики 2^11-7 в силу того, что 2^11-7 = 2⁴ = 16.

Как видно из табл. 17, применение дробного факторного эксперимента для случая 15 факторов уменьшает объем расчетов по определению направления градиента в 2048 раз по сравнению с полным факторным экспериментом. Увеличение числа факторов в еще большей степени способствует повышению вычислительной эффективности этого метода.

Таблица 17

Дробные реплики

Естественно, что далеко не любые эксперименты из плана полного факторного эксперимента могут быть использованы при формировании плана дробного факторного эксперимента. Совокупность экспериментов в дробной реплике должна удовлетворять следующим свойствам:

1. Симметричность относительно центра эксперимента - алгебраическая сумма экспериментов-столбцов каждого фактора должна быть равна нулю, кроме столбца, отвечающего свободному члену b₀, т.е.

где m - номер точки опыта; i - номер фактора; М - число различных точек плана матрицы дробной реплики.

2. Нормировка сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу точек матрицы, т.е.

3. Ортогональность - сумма построчных произведений плана матрицы любых двух столбцов равна нулю, т.е.

где j - комбинация факторов в m-й точке (i ≠ j).

Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты регрессии независимо друг от друга, т.е. значение любого коэффициента не зависит от того, какие значения имеют другие коэффициенты.

Если план дробной реплики отвечает указанным свойствам, то математическая модель, полученная в результате эксперимента, способна предсказать значения искомого показателя у с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента или плана матрицы (свойство рототабельности).

После обработки данных эксперимента и вычисления коэффициентов регрессия b_i определяют следующие значения основного уровня по всем факторам В основу алгоритма определения улучшенных значений основного уровня могут быть положены симплекс-метод, градиентный и др. Например, для движения по градиенту методом Бокса-Вильсона рекомендуется (рис. 29):

1) рассчитать составляющие градиента Δ_i = b_iI_i ;

2) подобрать масштаб для шага изменения основного уровня k;

3) определить новые значения основных уровней по формуле

x¹_0i = x_0i + kΔ_i

4) рассчитать значения целевой функции для точки с координатами х¹₀₁, х²₀₂, …, х¹_0n и сравнить его с наилучшим значением из предыдущей серии экспериментов;

5) если шаг выбран удачно, т.е. получено улучшение, продолжать увеличивать значения основных уровней факторов на величину kΔ_i; если произошло ухудшение, то следует уменьшить масштаб;

6) значение точки, в которой достигнуто максимальное улучшение значения целевой функции, принять за центр новой подобласти проведения эксперимента относительно этой точки вновь повторить вышеописанную процедуру и искать направление градиента.

Если значения коэффициентов регрессии b_i близки к нулю, то это означает, что недалеко находится область оптимума. Для отыскания оптимального решения в этом случае необходимо переходить на полиномиальные уравнения более высокого порядка, например использовать неполный полином второй степени.

Регрессия называется парной, если она описывает зависимость между функцией и одной переменной и имеет вид

(5)

Регрессия называется множественной, если она описывает зависимость функции от нескольких переменных и имеет вид

(6)

Если зависимости (5) и (6) являются линейными, то регрессия называется линейной, в противном случае регрессию называют нелинейной. Зависимости между параметрами объектов проектирования, как правило, являются нелинейными. Очень важной характеристикой регрессионных зависимостей является мера их достоверности, которая оценивается величиной R², находящейся в пределах

При R² = 0 величины, для которых определяются уравнения регрессии, являются независимыми; при R² = 1 имеет место функциональная (а не статистическая) зависимость. Принято считать допустимым R² = 0,7.

Чем больше статистических данных, используемых при определении уравнения регрессии, тем точнее будет определена искомая зависимость. Но при этом следует иметь в виду, что количество статистических данных не может обеспечить получение достоверной зависимости, если в действительности такой зависимости между исследуемыми величинами нет. Вместе с тем, есть минимальное количество К необходимых исходных данных, определяемое методом наименьших квадратов, с помощью которого находится уравнение регрессии. К определяется по формуле

К=М+2, (7)

где М - количество неизвестных величин в искомом уравнении регрессии.

Например, для уравнения парной регрессии:

при линейной зависимости

y = b₀ + b₁x

необходимо определить 2 величины: b₀ и b₁;

при уравнении регрессии в виде полинома 2-й степени

y = b₀ + b₁x + b₂x²

необходимо определить 3 величины: b₀, b₁, b₂.

Уравнение множественной регрессии при решении практических задач принимается, как правило, в виде полинома 2-й степени, для которого число определяемых величин находится по зависимости

M = (n + 2)(n + 1)/2 (8)

где n - число искомых переменных в (6).

Объединяя (7) и (8), нетрудно выяснить минимально необходимое количество исходных данных для определения уравнения регрессии:

K = (n + 2)(n + 1)/2 + 2. (9)

Подчеркнем, что эта величина К является нижней границей количества исходных данных, необходимых для метода наименьших квадратов. А достоверность полученного результата следует оценивать с помощью уже упомянутой величины R².

Если исходных данных, необходимых для определения уравнения регрессии нет, то их можно получить в результате проведения эксперимента. При этом прежде, чем его проводить, необходимо составить план его проведения, включающий два вопроса:

1) какие значения следует назначать переменным в эксперименте;

2) в каком сочетании различным переменным должны назначаться принятые значения.

Определяя значения переменных, задаваемых при проведении эксперимента, удобно от их абсолютных значений х_j перейти к относительным γ_j. Этот переход производится следующим образом:

γ_j = (x_j-x_j^ср)/Δx_j (10)

x_j^ср = (a_j+b_j)/2 (11)

Δx_j^ср = (b_j – a_j)/2 (12)

где а_j, b_j - задаваемые граничные условия в задаче оптимизации:

Если в (9) подставить х_j = а_j, то получим значение относительной переменной j на нижней границе

Аналогично получим на верхней границе

Среднее значение

Обратный переход от относительных значений к абсолютным, как это следует из (9), производится по зависимости

С точки зрения числа различных значений, которые назначают переменным в эксперименте, эксперименты бывают двух видов: двухуровневые; трехуровневые.

В двухуровневом эксперименте переменным придаются значения . В результате такого эксперимента может быть определено уравнение только линейной регрессии, которая, как правило, не отражает фактические зависимости и поэтому имеет низкое значение оценки достоверности R². для получения достоверных уравнений регрессии следует проводить трехуровневые эксперименты, в которых переменным назначаются три значения:

Рассмотрим, в каком сочетании следует придавать установленные значения различным переменным: начнем с двух переменных. Возможные сочетания значений переменных, называют планом эксперимента, который для двухуровневого эксперимента приведен слева на рис. 31, план трехуровневого эксперимента – справа на рис. 31.

Рис. 31. Двухуровневый и трёхуровневый эксперименты

Из этих планов видно, что число проводимых экспериментов может быть определено по зависимости

где S - число уровней, n - число переменных.

Аналогичные планы эксперимента для трех переменных приведены для двухуровневого эксперимента слева на рис. 32, для трехуровневого – справа на рис. 32.