Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

На основе проведенных имитационных экспериментов, поиск оптимального варианта организации оперативного управления производственной системой проводится с помощью функции цели, отражающей совокупность затрат и потерь:

L_m + L_r + L_w + E_m + E_d → min,

где L_m – потери от простоя оборудования; L_r – потери от пролеживания деталей; L_w – потери от неполной занятости работников; E_m – затраты, связанные с наладкой оборудования; E_d – затраты на транспортировку деталей.

Решение задачи рациональной организации контроля в производственной системе на основе многофункциональной имитационной модели позволило определить необходимое число контрольных операций, расположение контрольных точек в процессе производства и графика осуществления контроля. В модели реализована возможность проведения контрольных операций после изготовления первой детали на оборудовании, что позволяет определить точность наладки оборудования по операциям, и скользящий контроль, осуществляемый в процессе обработки партии или по его окончанию. Критерием выбора рационального варианта организации контроля послужило сопоставление суммарных потерь, связанных со сбоями в ходе производства, с появлением потерь от брака и стоимости операций контроля:

Σ В_р + Σ С_к → min.

Имитационные модели можно рассматривать как одну из форм представления знаний об объекте управления для поддержки принятия решений наряду с информационным обеспечением корпоративных информационных систем, а также как средство получения новых знаний. Модель предоставляет возможность ЛПР обосновывать различные варианты оперативных решений и тем самым позволяя накапливать опыт и знания в области принятия рациональных управленческих решений в ходе производства без нанесения ущерба реальной производственной системе. Использование имитационного моделирования в качестве активного метода обучения, расширения объема знаний, развития навыков принятия решений у работников аппарата оперативного управления производством позволит активизировать процесс повышения квалификации, даст возможность исследования и оценки оперативной производственной информации, научит принятию обоснованных оперативных решений в условиях неопределенности или вероятностной определенности, на основе неполной информации, выбору критериев и поиску по ним оптимальных решений. Такой подход способствует психологической подготовке управленческих работников к принятию решений на базе современной вычислительной техники. Моделирование позволяет развивать способности в постановке целей, нахождения причин проблемных ситуаций в ходе производства, установления причинно-следственных зависимостей, что способствует формированию аналитического мышления, сокращает время от обнаружения сбойной ситуации в ходе производства до выработки и реализации решения по ее ликвидации. Проведение экспериментов с помощью имитационного моделирования способствует накоплению знаний и у работников аппарата управления, занимающихся принятием решений и в базе знаний корпоративных информационных систем, что будет способствовать своевременной и обоснованной разработке и реализации решений в системе оперативного управления производством.

3.2. Метод Монте-Карло

В случаях, когда для анализа работы СМО аналитические методы не применимы (или же требуется проверить их точность), используют универсальный метод статистического моделирования, или, как его называют, метод Монте-Карло.

Идея метода Монте-Карло состоит в том, что вместо аналитического описания СМО производится “розыгрыш” случайного процесса, проходящего в СМО, с помощью специально организованной процедуры. В результате такого получается каждый раз новая, отличная от других реализация случайного процесса. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который обрабатывается обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены приближенно любые характеристики обслуживания.

Например, необходимо проанализировать очереди, возникающие в магазине, для решения вопроса о расширении магазина. Время подхода покупателей и время их обслуживания носят случайный характер, и их распределения могут быть установлены по имеющейся информации. В результате взаимодействия этих случайных процессов создается очередь.

Согласно методу Монте-Карло перебирают (с помощью ЭВМ) все возможные состояния системы с различным числом покупателей в час, временем их обслуживания и т.п., сохраняя те же характеристики распределения. В результате многократного искусственного воссоздания работы магазина рассчитывают характеристики обслуживания, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком покупателей.

При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования. Для сложных систем обслуживания с немарковским случайным процессом метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического.

Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний) включает следующие этапы:

1. Построение математической модели системы, описывающей зависимость моделируемых характеристик от значений стохастических переменных.

2. Установление распределения вероятностей для стохастических переменных.

3. Установление интервала случайных чисел для каждой стохастической переменной и генерация случайных чисел.

4. Имитация поведения системы путем проведения многих испытаний и получение оценки моделируемой характеристики системы при фиксированных значениях параметров управления. Оценка точности результата.

Описание этапов:

Первый этап. Стохастическая имитационная модель (ИМ) н которой реальной системы может быть представлена как динамическая система, которая под воздействием внешних случайных входных сигналов (входных переменных) изменяет свое состояние (случайные переменные состояния), что в свою очередь приводит к изменению выходных сигналов (выходных переменных):

где F, R - вектор-функции;

I_i, U_i, S_i - векторы соответственно входных, выходных переменных и переменных состояния системы в тактовый момент моделирования i.

Имитационная модель - это экспериментальная модель системы, в которой искусственно воспроизводятся случайности, имеющие место в реальной системе. Она представляет собой совокупность математических соотношений между входными, выходными переменными и переменными состояния в сочетании с алгоритмической реализацией некоторых зависимостей.

Существует два подхода в имитационном моделировании динамических процессов.

Первый заключается в том, что весь период моделирования разбивается на равные промежутки времени (такты моделирования) и анализ состояния системы, а также значений выходных переменных производится через одинаковые промежутки времени. При таком подходе возникает проблема выбора «правильной продолжительности такта. Кроме того, не исключается появление тактов, в которых состояние системы по сравнению с предыдущим не изменилось.

При втором подходе величина такта моделирования не фиксируется, моделирование в этом случае происходит в момент наступления одного из «существенных» событий. Например, при моделировании производственного процесса на предприятии такими событиями могут быть освобождение или начало загрузки станка, поступление на обработку детали, невыход на работу станочника, исчерпание запаса необходимых комплектующих деталей на складе и др. Именно второй подход чаще всего используется на практике и поддерживается современными языками моделирования.

Второй этап. Случайные величины, используемые в ИМ, могут быть дискретными или непрерывными. В первом случае необходимо знать их распределения, во втором - плотности распределений. Эти зависимости могут быть известны из теории, определены в результате специальных исследований либо заданы в качестве гипотезы. Точность модели (при прочих равных условиях) зависит от того, насколько точно заданы указанные распределения (плотности распределений).

Третий этап. Моделирование случайных величин при компьютерных имитационных экспериментах производится с помощью датчика псевдослучайных чисел, предусмотренного в любом современном языке программирования. Обычно это датчик случайных чисел с равномерным распределением на интервале [0, 1]. Если известны вероятности наступления событий, то, используя такой датчик, можно отвечать на вопросы: «Какое из n возможных событий произошло?» или «Какое значение приняла случайная величина?»

Предположим, что в ИМ используется случайная величина Х, принимающая дискретные значения х₁, х₂, ..., х_n, с вероятностями соответственно р₁, р₂, ...,р_n, ( = 1). Получение некоторой реализации этой переменной в модели производится следующим образом.

Строится функция распределения случайной величины Х. Указанная функция определяется посредством равенства F(Х)=Σp_k, в котором суммирование распространяется на все индексы, для которых х_k < Х. С помощью датчика случайных чисел получают случайное число u из отрезка [0, 1].

Из равномерности распределения получаемых случайных чисел следует, что вероятность получения случайного числа из произвольного интервала, включенного в [0, 1], равна длине этого интервала. Поэтому вероятность реализации Х=x_k равна вероятности попадания полученного от датчика случайного числа u в произвольный интервал длиной p_k на отрезке [0, 1]. Можно, таким образом, утверждать, что если очередное число u датчика удовлетворяет неравенствам 0<u≤р₁, то имеет место реализация Х = х₁; в случае р₁ < u ≤ p₁ + р₂ - реализация Х= х₂ и т.д. В общем случае для k = 2,..., n: если то Х=х_k.

Границы указанных неравенств совпадают со значениями построенной выше функции распределения F(Х).

Удобнее, однако, иметь дело не с дробными значениями границ интервалов, в которые попадает случайное число u, а с их целочисленными значениями, тем более, что с помощью датчиков случайных чисел можно генерировать числа из любого диапазона. Чтобы получить целые значения границ интервалов, достаточно умножить все р_k на 10^d, где d - целое, минимальное значение которого равно максимальной точности (максимальному числу знаков после десятичной точки) чисел р_k, k = 1, ..., n. Например, если {р_k} = {0,3; 0,153; 0,5; 0,047}, то минимальное значение d равно 3 (все р_k нужно умножить на 1000). Таким образом, 10^d опредёляет длину интервала значений рассматриваемой случайной величины в ИМ.

Четвертый этап. Точность статистических оценок параметров реальной системы зависит от числа наблюдений (объёма выборки). Погрешности в оценках обусловлены как статистическим характером самой модели, так и влиянием начальных данных (начального состояния имитационной системы), а также возможной автокорреляцией последовательных значений некоторого параметра в процессе моделирования. Очевидно, что с увеличением числа испытаний точность моделирования должна возрастать. Ввиду того что увеличение объема выборки связано с ростом затрат на моделирование, важно уметь определять минимальное число испытаний, необходимое для достижения заданной точности оценки с заданной вероятностью.

Широкое распространение получили два метода статистических испытаний. Один из них предполагает проведение достаточно большого числа N последовательных наблюдений в течение одного прогона модели (одного сеанса имитирования).

Другой метод заключается в реализации m независимых прогонов модели, т.е. в m-кратном повторении одного и того же цикла имитирования. При этом, если мы хотим получить в сумме N наблюдений, в течение каждого прогона можно делать по N/m (допустим, что это число целое) наблюдений. Оба метода дают примерно одинаковый результат.

Пусть значения у_t (t = 1, ..., N) представляют собой результаты N последовательных измерений значений случайной величины у во время одного и того же сеанса имитации. Среднее по времени значение у определяется выражением

Обозначим через µ математическое ожидание случайной величины у. Тогда для достаточно большого N получаем

Оценка дисперсии (если временной ряд не является автокоррелированным) имеет вид

где D(у) - дисперсия случайной величины у.

Для оценки качества результатов, полученных методом Монте-Карло при неизвестной дисперсии наблюдаемой случайной величины, предположим, что Z - характеристика, которая должна быть определена (вероятность события, математическое ожидание, дисперсия и т.п.), а ξ - ее значение, уточняемое по мере накопления данных, остающееся случайным вследствие ограниченности числа N проведенных наблюдений. В этих условиях можно говорить о вероятности р(|Z – ξ| < ε) по отношению к интересующей нас характеристике. Величина |Z – ξ| представляет собой погрешность в оценке Z, а ε - некоторый допустимый ее предел.

Из неравенства Чебышева следует

р(|Z – ξ| < ε) ≥ 1 - D_ξ(N)/ε².

Из этого неравенства следует

D_ξ(N) < (1 - р) ε²,

откуда при заданных р и ε и при известной зависимости D_ξ(N) можно найти предельно необходимое N.

Известно, что истинная дисперсия выборочного распределения для расчетного среднего обратно пропорциональна суммарному числу наблюдений N, т.е.

D_ξ(N) = d/N,

где d не зависит от N.

В начале имитационного процесса требуемое число наблюдений определить обычно не удается, поскольку d неизвестно. Поэтому, как правило, эксперимент проводят в два этапа.

На первом этапе число испытаний выбирается относительно небольшим, в результате определяется величина d. После этого можно уже определить, сколько дополнительных наблюдений необходимо, чтобы была достигнута требуемая точность.

Предельное число наблюдений N₀ определяется формулой

N₀ = d ⁄ [(1 – p) ε²].

При любом числе наблюдений больше N₀ обеспечивается требуемая точность.

Пример имитационной модели очереди на разгрузку.

Наблюдения за транспортными потоками в течение 200 дней показали, что число транспортных средств, ежедневно прибывающих на предприятие с грузами колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода 0, 1, …, 5 транспортных средств показана в таблице:

Аналогичная информация о числе разгружаемых транспортных средств, включающая интегральные вероятности и соответствующие интервалы случайных чисел для каждого возможного значения: