Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Рис. 32. Планы эксперимента для 3-х переменных

Итак, с одной стороны мы знаем минимальное количество экспериментов, необходимое для определения коэффициентов в уравнении регрессии, с другой стороны - нам известно, как планировать двух- и трехуровневые эксперименты. Сравним эти величины.

В табл. 18 приведены следующие значения:

n - число переменных, М - число коэффициентов, которые надо определить в уравнении нелинейной регрессии, в виде полинома 2-й степени:

К - минимальное количество экспериментов, необходимое для вычисления коэффициентов в уравнении регрессии

К = М + 2,

2ⁿ - количество экспериментов в двухуровневом плане,

3ⁿ - количество экспериментов в трехуровневом плане.

Таблица 18

Количество экспериментов

Из таблицы видно, что минимально потребное число экспериментов К находится в пределах

2ⁿ < K < 3ⁿ,

следовательно, для рассматриваемого вида уравнения регрессии двухуровневых экспериментов недостаточно, а трехуровневые в полном объеме являются излишними. Сравнение этих величин приведено в двух последних столбцах таблицы:

N_недост = K – 2ⁿ

N_изл = 3ⁿ – K.

Таким образом, проведение трехуровневого эксперимента обеспечит получение исходных данных, достаточных для определения коэффициентов регрессии, но существует план эксперимента, который называется композиционным, - он позволяет обойтись без проведения излишних экспериментов. Известен целый ряд подходов к их составлению, например:

1. Принять за основу план двухуровневого эксперимента.

2. Определить недостающее число экспериментов.

N_недост = K – 2ⁿ.

3. Вычисленное число недостающих экспериментов N_недост провести при среднем значении γ = 0. В качестве примера в табл. 19 приведен композиционный план такого эксперимента для n = 3.

Таблица 19

План эксперимента

В этом плане первые 8 экспериментов представляют собой двухуровневый план, а дополнительные 4 эксперимента проводятся при средних значениях = 0. В результате проведения эксперимента по такому плану будет получено количество исходных данных, необходимых для определения уравнения регрессии в виде полинома 2-й степени. Аналогично могут быть составлены композиционные планы для любого числа переменных n. Последовательность работ для получения необходимого количества исходных данных.

1. Определить число переменных n в задаче оптимизации.

2. Принять вид уравнения регрессии и установить число искомых коэффициентов и необходимых исходных данных.

3. Составить план проведения эксперимента для определения значений переменных.

4. Перейти к абсолютным значениям переменных х_j по зависимостям

где x_j^ср, Δх_j определяются по (10) и (11).

Составить таблицу для проведения эксперимента.

Таблица составлена для трех переменных х₁, x₂, х₃ и двух искомых функций, определяемых в результате эксперимента у₁, у₂.

5. Провести эксперименты по принятому плану.

6. для каждого сочетания значений х_j записать результат эксперимента для значений у₁, у₂:

Полученная таблица представляет собой исходные данные, необходимые для определения уравнения регрессии. Очевидно, что приведенная методика дает возможность составить план эксперимента для любого количества переменных и определяемых функцией.

Эксперименты с ответственными решениями, как правило, всегда являются довольно дорогими и более длительными, чем хотелось бы. Поэтому с реальными вариантами решений экспериментировать приходится очень редко.

Целесообразно экспериментировать с математическими и компьютерными моделями решений. При этом используется теория планирования экспериментов, которая базируется на принципах активного воздействия на объект управления с целью обеспечения определенных преимуществ при построении и использовании модели объекта.

Целью экспериментов с моделями решений может быть выбор наилучших вариантов при заданных затратах или минимизация затрат для выбора вариантов с заданными значениями характеристик.

Моделью для постановки и проведения экспериментов с решениями является рассмотренная выше схематическая модель объекта с управляемыми входными характеристики - Х и выходными характеристиками - Y на фоне ошибки :

Предполагается, что ошибки  являются случайными величинами в общем случае с неизвестным законом распределения. Если ошибки являются не случайными, а систематическими, например вызванные инструментом измерения, то такие ошибки превращаются в случайные искусственно путем специальных приемов перемешивания - рандомизации их.

Рассмотрим пример моделирования получения прибыли. Предположим, что имеется следующая ситуация. Нас интересует зависимость Y - прибыли небольшой туристической фирмы от двух факторов:

Х₁ - количества сотрудников в агентстве и Х₂ - уровня цен на туристские услуги.

Положим, что количество сотрудников меняется от 3 до 6 человек, уровень цен колеблется от 90% до 110% от средних цен, а диапазон изменения прибыли колеблется от 50% до 100% по отношению к затратам.

Планирование эксперимента предполагает активное воздействие на исходные данные для создания рациональных условий построения модели объекта и удобства использования ее на практике. Полагаем, что руководитель туристического агентства может менять характеристики объекта: количество сотрудников и средний уровень цен на предоставляемые услуги. Поэтому этот эксперимент можно организовать по активной схеме полного факторного эксперимента на двух уровнях. для этого перейдем следующим образом от натуральных характеристик Х₁ и Х₂ к безразмерным характеристикам х₁ и х₂:

Этот переход осуществляется по соотношению:

х_i = (Х_i – Х_i0)/ΔХ_i,

где ΔХ интервал варьирования i характеристики. В нашем примере этот интервал, как видно из схемы, равен 1 сотруднику. За ноль на безразмерной оси взято значение на натуральной оси

Х_i0 = 4.

для второй характеристики имеем:

Здесь за ноль взят 100% уровень цен, а за интервал варьирования 10%. Теория планирования эксперимента говорит, что в новых осях х₁ и х₂ можно построить следующую модель объекта:

Y = f(х₁,х₂) = b₀ + b₁х₁ + b₂х₂ + b₁₂х₁х₂.

Коэффициенты модели b в данном случае определятся по следующей схеме активного воздействия на объект:

u	X0	X1/x1	X2/x2	X1X2
1	+	- / 3	- / 90	+
2	+	+ / 5	- / 90	-
3	+	- / 3	+ / 110	-
4	+	+ / 5	+ / 110	+

Таблица содержит столько столбцов, сколько надо определить коэффициентов в модели. Плюсы в таблице соответствуют 1, а минусы соответствуют -1 для безразмерных характеристик искомой модели. В знаменателе стоят соответствующие значения натуральных характеристик. Таблица состоит из столбцов, Х₁ и Х₂ составляющих план эксперимента, и столбцов, которые являются вспомогательными для расчетов соответствующих коэффициентов модели - Х₀ и Х₁Х₂.

Коэффициенты b_i определяются по соотношению:

b_i =1/4 _uх_iuу_u.

В соотношение входят усредненные результаты опытов - наблюдений над объектом:

у_u = 1/n (у₁ +у₂+…+у_n)

Предположим, что наши наблюдения над объектом туристическим агентством – по спланированной таким образом схеме дали следующие результаты: Y₁ и Y₂ :

Полученные данные позволяют рассчитать коэффициенты модели:

b₀ = 1/4 (105+92+120+110) = 106,75

b₁ = 1/4 (-105+92-120+110) = -5,75

b₂ = 1/4 (-105-92+120+110) = 8,25

b₁₂ = 1/4 (+105-92-120+110) = 0,75

Модель зависимости прибыли от числа сотрудников туристического агентства и уровня цен на услуги имеет вид:

Y = 106,75 – 5,75х₁ + 8,25х₂ + 0,75х₁х₂.

Схема эксперимента позволяет следующим образом трактовать полученную модель.

Для нулевых значений характеристик, то есть для числа сотрудников 4 и 100% уровня цен на услуги прибыль равна 106,75%.

При 3 сотрудниках и 90% уровне цен, то есть при х₁ =-1 и х₂= -1 прибыль равна Y = 106,75+5,75-8,25+0,75 = 105.

При 5 сотрудниках и 90% уровне цен (х₁ = 1, х₂ = -1) прибыль равна

У= 106,75-5,75-8,25-0,75=92.

При 3 сотрудниках и 110% уровне цен (х₁ = -1, х₂=1) прибыль равна

У = 106,75 + 5,75х₁ + 8,25х₂ - 0,75х₁х₂ = 120.

Мы видим, что эксперименты с моделью объекта по определенной схеме показывают, что наилучшим вариантом решения реальной задачи по получению наибольшей прибыли будет сочетание наименьшего числа сотрудников и наибольшего уровня цен.

Полученная модель позволяет также решить и вторую задачу и сказать, что наибольшее влияние оказывает уровень цен (коэффициент b₂= 8,25), эффект числа сотрудников меньше, так как коэффициент b₁ = -5,75. Взаимодействие числа сотрудников и уровня цен характеризуется коэффициентом b₁₂= 0,75. Его величина самая маленькая, то есть эффект взаимодействия незначителен. Для подобных выводов требуется найти ошибку эксперимента и ее влияние на величину коэффициентов. Мы оставляем этот вопрос для любознательного читателя.

Полученная модель также пригодна для нахождения сочетания значений характеристик, дающего максимум прибыли. Мы рассмотрим решение этой задачи в главе Подобные эксперименты с моделями объекта вполне доступны любому ЛПР в любой организации.

Активный эксперимент предоставляют ЛПР определенные преимущества перед обычной схемой эксперимента и его коротко можно сформулировать следующим образом:

• простой способ построения модели,

• незначительные затраты на проведение эксперимента,

• наглядная интерпретация результатов эксперимента по построенной модели,

• возможность выделения наиболее значимых характеристик,

• возможность определения оптимальных значений характеристик.

3.4. Динамическое моделирование управленческих, экономических и бизнес-процессов

Непрерывный подход к построению имитационных моделей производственных и социальных объектов был разработан Дж. Форрестером (США) и получил широкое распространение. Согласно данной методики моделирования объект-оригинал, независимо от реально наблюдаемого характера его функционирования, формализуется в виде непрерывной абстрактной системы, между элементами которой циркулируют непрерывные «потоки» различной природы. Структура такой модели представляется графически в виде диаграммы (схемы) потоков. Различают следующие типы непрерывных потоков: потоки информации, материалов, заказов, денежных средств, средств производства, людей и т.п. Основными элементами такой непрерывной модели являются абстрактные «накопители» (уровни, бункера, ёмкости, резервуары), а также элементы задержки, которые также могут быть представлены в виде своеобразных «накопителей». Эти два типа элементов модели выполняют функции интегрирования и запаздывания.

Характеристикой состояния каждого накопителя является уровень (объём) находящегося в нём содержимого (материалов, денежных средств и т.п.). Характеристикой состояния элементов задержки является уровень (объём) содержимого того или иного типа, находящийся в запаздывании. В качестве характеристики воздействия одного элемента на другой выступает темп потока, циркулирующего между этими элементами.

Построение динамической модели производственного потока осуществляется на основе изучения причинно-следственных связей элементов производственной системы и реализуется на базе использования математического аппарата системного динамического моделирования. Схематично модель процесса управления производством представлена на рис. 33. Пример преобразования схемы потоков в блок-схему движения оборотных средств предприятия представлен на рис. 34.

Рис. 33. Схема управления производственным потоком

Рис. 34. Преобразование схемы потоков в блок-схему

движения оборотных средств предприятия

Изменения во времени значений уровней содержимого накопителей и элементов задержки под воздействием входящих и исходящих непрерывных потоков описываются дифференциальными уравнениями. Моделирование таких изменений на ЭВМ требуют предварительного перевода дифференциальных уравнений в конечно-разностные уравнения, описывающие функционирование элементов системы в дискретном времени. Методика Дж. Форрестера использует допущение о постоянстве значений темпов всех потоков на протяжении каждого шага моделирования. Это позволяет сразу представить зависимости между характеристиками состояний элементов непрерывной системы и темпами соответствующих потоков в виде простых конечно-разностных уравнений.

Так, значение характеристики состояния x_i – уровня содержимого i-го накопителя в очередной момент (t + t) модельного времени может быть определено из следующего конечно-разностного уравнения первого порядка

x_i (t, t + t) = x_i (t) + t [R_i (t, t + t) – В_i (t, t + t)],

где x_i (t) - значение характеристики состояния (уровня содержимого) i-го накопителя в момент (t) модельного времени, R_i (t, t + t) и В_i (t, t + t) – значения темпов потока, поступающего на вход i-го накопителя, и потока, исходящего из того же накопителя, на интервале (t, t + t) модельного времени (начальные значения характеристик состояний всех элементов системы задаются).

Для определения значений характеристик состояний элементов задержки используются аналогичные уравнения или совокупность таких уравнений. Темпы всех потоков на протяжении шага (t, t + t) считаются равными значениям, вычисленным на начало данного шага. Поэтому значения характеристик состояний всех элементов системы на конец того же шага, т.е. для момента (t, t + t) времени, могут определяться в произвольном порядке, независимо друг от друга. Шаг моделирования t считается постоянной величиной и выбирается в каждом конкретном случае исходя из целей моделирования.