Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Исходные данные для проведения расчетов и их результаты представлены на рис. 42.

Рис. 42. Результаты моделирования прибыли до налогообложения предприятия

Применение динамического моделирования для формирования механизма повышения эффективности организации производственных систем позволит более детально проработать план-графика работ, который должен охватывать следующие аспекты деятельности предприятия: организацию материально-технического обеспечения, сбыта и логистики; организацию подготовки производства и освоения новой продукции; организацию основного производства; организацию вспомогательных и обслуживающих процессов; организацию ремонта и техобслуживания оборудования; организацию управления качеством продукции; организацию работ по обеспечению производства кадрами, развитию персонала; документооборот и нормативную базу проекта; информационное обеспечение проекта; организацию процесса функционирования механизма повышения эффективности организации производственной системы.

3.5. Моделирование производственных систем с помощью сетей Петри

В 1960-х годах Kарл Петри (С.А.Petri) разработал обобщенное графическое представление для систем. Хольт (A.W. Holt) расширил работу Петри и назвал представление систем сетью Петри. Для представления сетей Петри используются ориентированные графы. Известны два основных подхода к моделированию объектов графами – «топографический» (граф соответствует структуре моделируемого объекта) и «событийный» (граф соответствует процессам, т.е. изменению состояний объекта).

В настоящее время при разработке оперативных планов управления производственными участками в реальном масштабе времени возможно использование метода сетей Петри.

Классическая сеть Петри базируется на двух основополагающих понятиях: событиях и условиях. События - это результаты действий, совершаемых системой. Возникновение событий определяется состоянием системы, характеризующимся множеством условий. Условия, предшествующие событию, называются предусловиями, а вытекающие из его совершения - постусловиями.

Структура сети Петри представляет собой изображенный на плоскости двудольный ориентированный мультиграф, состоящий из следующих четырех элементов: множества позиций Р, множества переходов Т, множества входных функций F и множества выходных функций H. Входные и выходные функции связаны с переходами и позициями. Входная функция отображает переход t_j в множество позиций F(t_j) называемых входными позициями перехода. Выходная функция H отображает переход t_j в множество позиций H(t_j) называемых выходными позициями перехода. В мультиграфе сети Петри позиции изображаются кружками, переходы - черточками (схематическое изображение барьеров, которые надо преодолеть для перехода из одного состояния в другое). Предусловия изображаются ориентированными дугами - линиями со стрелками, ведущими из тех или иных состояний к соответствующему переходу, а постусловия - линиями (дугами) со стрелками, ведущими из какого-либо перехода в соответствующие позиции.

Основные определения сетей Петри. Сеть Петри формально представляется как набор вида N=(Р, Т, F, Н, μ_о), где Р - конечное непустое множество позиций (иначе состояний или мест); Т - конечное непустое множество переходов (событий); F:Р x Т → {0, 1, 2...}; Н:Т x Р→ {0, 1, 2...} - функции входных и выходных инциденций; μ_о:Р→{0, 1, 2,...} - начальная маркировка (разметка) сети.

Графическим изображением сети Петри является ориентированный мультиграф с двумя типами вершин (рис. 43).

Рис. 43. Графическое изображение сети Петри

Вершины p P изображаются кружками, а вершины t T - черточками (барьерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Множества входных и выходных позиций перехода t T обычно обозначают соответственно (^•t) и (t^•), а множества входных и выходных переходов для позиции p P обозначают соответственно (^•р) и (р^•).

При маркировке всем позициям сети Петри приписываются некоторые натуральные числа. На графе маркировка отражается наличием или отсутствием в кружках точек, называемых маркерами (метками, фишками). При этом число маркеров в позиции равно значению функции μ_о:Р→{0, 1, 2,...}. Если мощность множества Р равна n, то маркировку можно представить n-мерным вектором, значения координат которого равны числу маркеров в соответствующих позициях.

Переход от одной маркировки к другой осуществляется посредством срабатывания переходов. Переход t может сработать при маркировке μ, если он является активным (возбужденным), т. е.

μ(p) – F(p, t) ≥ 0, ∀ p∈ P (17)

Это условие означает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (17), маркировка μ заменяется маркировкой μ’ по следующему правилу:

μ’(p)= μ(p) – F(p, t) + H(t, p), ∀ p∈ P ,

т.е. в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(р, t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t, р) маркеров. Это означает что маркировка μ’ непосредственно достижима из маркировки μ и обозначается μ—^t→μ’. Функционирование сети Петри - это последовательная смена маркировок в результате срабатывания активных переходов. Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой.

Важным понятием сети Петри является граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты функционирования сети. Графом достижимости называется граф, вершинами которого являются возможные маркировки. Маркировки μ и μ’ соединяются направленной дугой, помеченной символом перехода t T, если μ—^t→μ’. Если для некоторой маркировки ни один из переходов сработать не может, то такая маркировка называется тупиковой. Маркировка μ’ является достижимой из маркировки μ, если существует такая последовательность переходов τ =(t₁, t₂, …, t_k), что .

Множество всех маркировок, достижимых из начальной, называется множеством достижимости сети Петри и обозначается R(N).

Любая позиция или переход сети могут интерпретироваться как сеть Петри более низкого уровня. Это позволяет организовать многослойные иерархические сетевые структуры.

В сети Петри два возбужденных не взаимодействующих перехода могут сработать независимо друг от друга, поэтому моделям, использующим сети Петри, свойствен параллелизм или одновременность.

В зависимости от топологии сеть Петри называется:

- автономной сетью, если для каждого t T имеется не более одной входной и не более одной выходной позиции, т. е. |^•t| = |t^•| = 1;

- маркированным графом, если для каждого p P имеется только один входной и один выходной переходы, т.е. |^•р| = |p^•| = 1;

- сетью свободного выбора, если для каждого t ∈T и для каждого , позиция p_i является либо единственной входной позицией перехода t_i, т. е. |р^•| = 1, либо этот переход имеет единственную входную позицию, т. е. |^•t| = 1 (если два перехода имеют общую входную позицию, то эта позиция единственна для каждого из них).

Различают также простые сети, в которых любая пара переходов t_i , t_j ∈T имеет не более одной общей входной позиции (т. е. |^•t ∩ t^•| ≤ 1), и бесконфликтные сети, в которых для каждой позиции p ∈ P существует не более одной исходящей дуги |р^•| ≤ 1 либо для всех t ∈T выполняется условие (т. е. любая позиция, являющаяся входной более чем для одного перехода, является также выходной для каждого такого перехода).

В качестве примера рассмотрим сеть Петри N=(Р, Т, F, Н, μ_о), где Р={р₁, р₂, р₃, р₄, р₅}, Т={t₁, t₂, t₃, t₄}, μ_о (1, 1, 0, 0, 0).

Функции F и Н заданы матрицами:

Графическое изображение сети представлено на рис. 43, а фрагмент графа достижимости для данной сети на рис. 44.

Рис. 44. Фрагмент графа достижимости

Таким образом, мультиграф сети Петри представляет собой развернутое на плоскости схематическое изображение одновременно всех потенциально возможных событий и состояний производственной системы, а также существующих в ней причинно-следственных зависимостей, то есть допустимых путей перехода из одних состояний в другие. Полученное в виде сети Петри схематическое изображение может быть использовано для моделирования развертывания во времени последовательностей событий, которые могут иметь место в производственно-экономической системе.

Такое моделирование сводится к следующему. Если отмечать каким-либо образом выполнение предусловий, то когда окажется, что на входе того или иного перехода все они выполнены, этот переход сработает, то есть система перейдет из состояния, предшествующего этому срабатыванию, в состояние, следующее за ним. После перехода системы в новое состояние возникнут новые условия (постусловия), которые нужно отметить, а прежние условия (предусловия) перестанут существовать. И отметки с них надо снять.

В качестве таких отметок выполнения условий, которые могут присваиваться схематическим изображениям состояний либо сниматься с них, принято использовать маркеры-фишки (изображаемые точками внутри позиций), которые соответствуют рабочим состояниям системы на изображении сети Петри. Тогда последовательное «срабатывание» переходов, то есть развертывание событий моделируемого процесса во времени, будет имитироваться установкой и снятием маркеров, а также их движением по линиям (дугам) условий из одной позиции в другую.