Материал: Моделирование производственных систем. Амелин С.В., Останкова И.Н

Частный коэффициент эластичности определяется по формуле

Э_i = а_i  (x_i / y),

где Э_i - частный коэффициент эластичности; а_i - коэффициент уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе при x_i-м факторном признаке;x_i - среднее значение x_i-го факторного признака;y - среднее значение результативного признака.

Показателем абсолютного отклонения оценок результативного признака является среднеквадратическое отклонение оценок результативного признака, рассчитанных по уравнению регрессии, от их фактических значений, которая определяется по формуле:

где n - число наблюдений в выборке; р - число факторных признаков модели.

Данная величина используется для определения коэффициента вариации

,

где - среднее значение результативного признака.

Определить предполагаемую величину себестоимости нового изделия на стадии технического задания и технического предложения средствами укрупненного расчета.

Исходные параметры для определения себестоимости электродвигателя: мощность 630 кВт; КПД - 93,7 %; масса 6550 кг; число оборотов в минуту 375.

Статистические данные по продукции аналогичного типа:

Примечание: предполагается, что между факторами имеется линейная корреляционная зависимость.

Рис. 12. Парные коэффициенты корреляции

На рис. 12 показан результат расчёт линейных парных коэффициентов корреляции, а на рис. 13 – результаты проведения корреляционно-регрессионного анализа с помощью инструментов Корреляция и Регрессия из пакета Анализ данных электронной таблицы Excel.

Рис. 13. Результаты корреляционно-регрессионного анализа

В примере предполагается, что на уровень себестоимости продукции (результативный признак - Y) оказывает влияние ряд факторных признаков, таких, например, как мощность (X₁), КПД (X₂), масса (X₃) и число оборотов в минуту (Х₄).

Исходя из экономической сущности влияния факторных признаков на результативный, выбираем линейное уравнение регрессии

у = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃ + а₄х₄.

Данная задача решается на ЭВМ с помощью программы корреляционно-регрессионный анализ. В качестве исходных данных вводятся соответствующие значения факторных признаков и результативного признака по всем исследуемым источникам информации (предприятиям). В результате решения на ЭВМ получаем значения коэффициентов парной корреляции, параметров уравнения регрессии и коэффициента множественной корреляции:

а₀ = -15403,631; а₁ = 3,1616; а₂ = 250,454; а₃ = 0,3098;

а₄ = -3,729; R = 0,993.

Применяя возможность параметрического расчета на ЭВМ, вводим известные значения параметров для вновь проектируемого изделия, себестоимость которого еще не определена и получаем прогнозное значение Sпр = 10686,4 денежных единицы. При необходимости дальнейшего анализа полученных данных рассчитывается дисперсия, коэффициент вариации, коэффициент эластичности.

Применение корреляционно-регрессионного анализа для прогнозирования динамики экономических явлений. Прогнозирование осуществляется на основе собранных числовых статистических данных, характеризующих изменение экономических процессов или явлений. Такие числовые данные в виде конкретных показателей, изменяющихся во времени, образуют ряд динамики или временной (динамический, хронологический) ряд. Для дальнейшего прогнозирования необходимо подобрать аналитическую функцию (прямую или кривую), наиболее точно характеризующую закономерность развития данного явления или процесса во времени. Найденная функция позволяет получить выровненные значения уровней ряда динамики (его теоретические оценки), т.е. те уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления или процесса полностью совпадала с выбранной кривой (линией регрессии).

Основными методами преобразования наблюдаемых статистических значений исследуемых показателей к аналитическому виду являются интерполяция, аппроксимация и экстраполяция (рис. 14).

Известно, что через любые n + 1 точки можно всегда провести кривую, описываемую полиномом n-й степени, так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек а₁, а₂, ..., а_n. Эта кривая называется интерполирующей, а процесс её нахождения - интерполяцией. Однако в практике моделирования производственно-экономических объектов применяются интерполяционные полиномы невысоких степеней (ввиду проблемы интерпретации сложных зависимостей), в первую очередь для вычисления промежуточных значений, отсутствующих в таблице. Простейшим случаем является линейная интерполяция, т.е. интерполяция функции f(х) линейной функцией F(х).

Рис. 14. Уравнение и линия тренда

Для получения более “гладкого” вида интерполирующей кривой при линейной интерполяции применяются формулы Ньютона. При параболической и квадратичной интерполяции полином второй степени используется формула Лагранжа. Программы интерполяции входят в стандартное математическое обеспечение ЭВМ.

Во многих случаях для функции, заданной таблично или графически, бывает целесообразно подобрать аналитическое выражение, приближенно её отражающее. Такой процесс называется приближенной интерполяцией или аппроксимацией. Для приближения заданной функции f(х) выбирают аппроксимирующую функцию F(х) из классов математических функций, в наибольшей степени соответствующих специфике протекания исследуемого процесса.

Наибольшее распространение в практике экономических исследований получили следующие функции:

линейная ;

степенная ;

экспоненциальная ;

показательная .

Процесс подбора эмпирической формулы для установленной из опыта функциональной зависимости является итерационным и распадается на две части: выбирается вид формулы; определяются числовые значения параметров, для которых приближение к данной функции оказывается наилучшим.

Для решения первой задачи по экспериментальным данным строятся графики, по которым и выбирается вид аппроксимирующей зависимости. Для решения второй задачи существует ряд методов приближения эмпирической кривой к экспериментальной, например, приближение по методу наименьших квадратов.

Особую роль вопросы экономного представления табличной информации в аналитическом виде играют при обработке статистической информации, в связи с чем в рамках математической статистики получили развитие разделы однофакторного и многофакторного регрессионного анализа. Программы обработки статистических данных методами регрессионного анализа также представлены в стандартном математическом обеспечении ЭВМ.

Экстраполяция - это продолжение интерполяции и аппроксимации за пределы диапазона статистических данных. Если исследуемый фактор - время, то это прогнозирование в будущее. Предположение, что действие различных факторов, обусловливающих явление в прошлом, остается неизменным в течение будущего периода или будет меняться в соответствии с расчетной кривой, позволяет прогнозировать это явление в будущем.

Прогнозная экстраполяция строится на основе математического анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта, его физики и абсолютных пределов.

Этапы прогнозной экстраполяции: предварительная обработка исходного ряда; выбор типа аппроксимирующей функции; расчет параметров аппроксимирующей функции; экстраполяционная оценка точности и достоверности результатов.

Для определения параметров уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений значений, лежащих на линии регрессии (теоретических оценок уровней), от фактических значений уровней была минимальной, т.е. чтобы соблюдалось условие  (y_р – y_ф)²  min, где y_ф - фактическое значение уровня динамики, y_р - теоретическая (расчетная) оценка уровня.

Аналитическим выражением прямолинейного тренда является функция

y_t = b₀ + b₁ t,

где b₀ и b₁ - параметры уравнения регрессии; t - очередной номер уровня ряда с начала отсчета (номер временного периода).

Для определения параметров тренда необходимо решить систему нормальных уравнений

 y_t = b₀  n + b₁ t,

 y_t  t = b₀ t + b₁ t²,

где n - количество значений ряда динамики.

Произведя преобразования, получим:

b₀ = ( y_t – b₁ t )/n,

b₁ = (n y_t t -  t  y_t)/(nt² - (t)²).

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

где y_t - фактическое значение показателя динамического ряда за t-й период (момент); y_t - среднее значение показателей динамического ряда; t - условный номер t-го периода;t - средняя величина условных номеров периодов; n - количество наблюдений в ряду.

Интервал, в котором с определенной вероятностью можно ожидать появление фактического значения прогнозируемой величины, называется доверительным интервалом. Величина доверительного интервала зависит от среднеквадратической ошибки оценки прогнозируемого показателя (_yt), от времени учреждения прогноза (Т) и от количества периодов наблюдения во временном ряду (n):

где y_фt - фактическое значение показателя динамического ряда за t-й интервал (момент) времени; y_рt - расчетная оценка показателя динамического ряда по уравнению регрессии; n - количество моментов во временном ряду; k - число параметров в уравнении регрессии.

Тогда для прямолинейного тренда доверительный интервал прогноза можно определить по формуле:

где Y_n+T - прогноз на n+Т-й период времени; t_;n-2 - значение критерия Стьюдента при уровне значимости  и n-2 степенях свободы.

2.2. Морфологический подход в моделировании

Графовое моделирование структур

производственных систем.

Морфологическое описание даёт представление о строении системы, то есть об элементном составе системы, а также о наличии, характере и способах связей между ними. Оно существенно расширяет возможности исследователя, позволяя, во-первых, глубже познать механизм функционирования системы, выявить зависимость ее поведения от изменения параметров внутреннего состояния и, во-вторых, активно воздействовать в процессе управления не только на входы, но и на внутреннее состояние системы.

Изучение морфологии системы обычно начинают с элементного состава. Функционирование всякой сложной системы может быть представлено взаимодействием входящих в систему подсистем. Под элементом системы будем понимать подсистему, внутрь которой морфологическое описание не проникает.

Элементный состав может быть гетерогенным (содержать разнотипные элементы), гомогенным (содержать однотипные элементы) и смешанным. Гомогенности состава (например, универсальности предприятий), как правило, сопутствуют избыточность, наличие скрытых, неиспользованных возможностей, резервы, В отличие от гомогенных гетерогенные элементы специализированы (типичный пример – специализированные предприятия). Они высокоэкономичны и эффективны, однако в узком диапазоне внешних условий. За пределами этого диапазона они быстро теряют эту эффективность.

При описании элементного состава системы важно такие помнить, что “элемент системы неделим не в абсолютном смысле, а лишь с позиций наблюдателя и цели наблюдения.

Морфологические свойства системы существенно зависят и от характера связей, отношений между ее элементами. В рамках морфологического описания систем обычно выделяют прямые, обратные и нейтральные связи.

Структура производственной системы определяется составом и взаимосвязями её элементов и подсистем, а также связями с внешней средой, проявляющихся в отношениях по поводу производства, обмена, распределения и потребления.

Одной из главных задач структурного анализа является построение наглядной формальной модели, отображающей существующую систему отношений элементов как между собой, так и с внешней средой. Структурная модель часто является многоуровневой, что способствует созданию полного представления об основных свойствах системы.

Структурная модель рассматривается на уровнях организации, функций управления, технических средств. Этим уровням соответствуют понятия организационной, функциональной и технической структур.

При анализе организационной структуры производственной системы как объекта моделирования решаются следующие задачи: 1) описание состава предприятия и построение его структурной схемы; 2) определение функций отдельных подразделений, раскрытие их структурной схемы; 3) описание материальных, вещественных и информационных связей; 4) построение обобщенной структурной информационной модели предприятия.

При анализе функциональной структуры: 1) изучаются функции управления в структурных подразделениях существующей системы; 2) выбирается состав автоматизируемых функций; 3) определяется взаимосвязи функций; 4) составляется обобщенная функциональная структура задач управления.

При анализе технической структуры: 1) определяются основные элементы, участвующие в основных информационных процессах: регистрации и подготовке информации, сборе и передаче, хранении и обработке, воспроизведении и выдаче информации; 2) составляется формальная структурная модель системы технических средств с учетом топологии расположения элементов системы и информационного и энергетического взаимодействия их как между собой, так и с внешней средой.

Независимо от уровня рассмотрения общая задача моделирования структур производственных систем состоит в том, чтобы исходя из заданного описания элементов системы и непосредственных связей между ними получить заключение о структурных свойствах системы в целом и основных ее подсистем.

Моделирование структур производственных систем предполагает: 1) четкое выделение подсистем, частей системы; 2) структуризованное описание связей между элементами системы и подсистемами; 3) формирование функций элементов и частей системы и их системное определение; 4) характеристику способов взаимодействия частей, элементов системы.