Материал: Методические указания по выполнению практических работ теория вероятностей и математическая статистика Специальность

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минутКРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИДля непрерывной случайной величины можно определить следующие числовые характеристики:

• 
  Математическое ожидание – средневзвешенное по вероятностям значение случайной величины.
  

M(X) = - если возможные значения Х принадлежат всей числовой прямой.

• 
  Мода – наиболее вероятное значение случайной величины Х.
  
• 
  Дисперсия – характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.
  

D(X) = - если возможные значения X принадлежат интервалу [a, b]D(X) = M(x²)-(M(x))²

• 
  Среднее квадратичное отклонение - .
  

Рассмотрим примеры определения числовых характеристики непрерывных случайных величин.Пример 1. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения. Найти математическое ожидание.f(x) = Решение M(X) = Пример 2. Случайная величина X задана плотностью распределения.f(x) = Найти математическое ожидание и моду.Решение

1. 
   Математическое ожидание:
   

M(X) = = 0,5 .Для нахождения интеграла используем формулу интегрирование по частям.

U = x dU = dx dV = sinxdx V = -cosx M(X) = 0,5 .

2. 
   Мода:
   

(0,5sinx)’ = 0,5 cosx0,5cos x = 0cosx = 0 при x = + – критические точки данной функции на всей числовой прямойx = – критическая точка в рассматриваемом интервале

x	0
y	0		0

П роверим точку x = на максимум:Т.к. в точке x = производная меняет знак с“+”на“-“, то в этой точке плотность вероятности будет максимальна. Мода: m = Пример 3. Случайная величина задана плотностью распределения:f(x) = Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины.Решение 1. Найдем математическое ожидание: M(X) = = 2. Определим дисперсию.D(X) = =

3. 
   Среднее квадратичное отклонение:
   

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИI вариант

1. 
   Случайная величина задана плотностью распределения:
   

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение этой случайной величины

2. 
   Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения
   

Найти математическое ожидание. Построить график f(x).

3. 
   Случайная величина задана функцией распределения:
   

Найти моду этой случайной величины

4. 
   Случайная величина Х задана плотностью распределения:
   

Найти математическое ожидание и моду. II вариант

1. 
   Случайная величина задана плотностью распределения:
   

Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение этой случайной величины

2. 
   Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения
   

Найти математическое ожидание. Построить график f(x).

3. 
   Случайная величина задана функцией распределения:
   

Найти моду этой случайной величины

4. 
   Случайная величина Х задана плотностью распределения:
   

Найти математическое ожидание и моду.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Чем отличаются формулы для нахождения математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин?
   
2. 
   Что характеризуется медиана непрерывной случайной велчины?
   

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007. – 480 с.
   

Практическая работа №11ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НОРМАЛЬНО, РАВНОМЕРНО И ПОКАЗАТЕЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИНЦЕЛЬ РАБОТЫ:

научиться вычислять вероятности для случайных величин, имеющих нормальное, равномерное и показательное распределения.
Для выполнения работы необходимо знать: виды случайных величин, их характеристики и распределения; необходимо уметь: определять вид распределения непрерывной случайной величины, вычислять вероятность попадания непрерывной случайной величины в определенный интервал.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной компетенции ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.
ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИСреди непрерывных случайных величин особого внимания заслуживают величины, имеющие один из следующих законов распределения: равномерный, показательный, нормальный. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:где μ – математическое ожидание; σ – среднеквадратичное отклонение.Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины равна:Р(α < X < β) = Ф( - Ф ( , где Ф – функция Лапласа (определяется по таблице)Пример 1. Время загрузки Web-страницы распределено нормально, причем его математическое ожидание равно μ = 7 с, а стандартное отклонение σ = 2 с. Определите вероятность того, что время загрузки лежит в интервале 7 – 9 секунд. Решение По условию,  = 7,  = 9, μ = 7,  = 2. Следовательно,P(7 – Ф( = Ф(1) – Ф(0) = 0,3413 – 0 = 0,3413.Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность вероятности постоянна.Плотность равномерного распределения f(x) определяется формулой:Вероятность попадания в интервал равномерно распределенной
случайной величиныПример 2. Известно, что передатчик может начать работу в любой момент времени между 12 и 14 часами. Какова вероятность того, что начало передачи придется ждать не более 15 минут (0,25 часа).Решение. Пусть Х(ч) – время начала работы передатчика. Поскольку передача может начаться в любой момент между 12 и 14 часами и все моменты равновозможны, то Х – случайная величина распределенная равномерно. = 12,  = 12,25, а = 12, b = 14Р(12