Материал: Методические указания по выполнению практических работ теория вероятностей и математическая статистика Специальность

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Арзамасский коммерческо-технический техникум

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Теория вероятностей и математическая статистика

Специальность: 09.02.04 Информационные системы (по отраслям)

2017 г

Одобрена методическим объединением информационных дисциплин Протокол №___ от «___»_____________20 г Председатель МО: _________________Н.Ю. Куликова	Составлена в соответствии с требованиями к результатам освоения основной профессиональной образовательной программы специальности 09.02.04 Информационные системы (по отраслям) Зам. директора по УиНМР __________________ М.А. Ледянкина

.

Автор: Н.Г. Саблукова, к.п.н., преподаватель специальных дисциплин высшей квалификационной категории ГБПОУ «Арзамасский коммерческо-технический техникум»

Методические указания содержат задания к практическим работам, порядок их выполнения, рекомендации, перечень контрольных вопросов по каждой практической работе, требования к знаниям и умениям. Приведен список основной литературы, рекомендуемой для подготовки к практическим работам.

Методические указания предназначены для студентов специальности 09.02.04 Информационные системы (по отраслям).




С ОДЕРЖАНИЕ

Введение	4
Практическая работа №1 Решение задач на расчёт количества выборок.	5
Практическая работа №2 Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности.	7
Практическая работа №3 Вычисление вероятностей сложных событий с помощью теорем умножения и сложения вероятностей.	9
Практическая работа №4 Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.	11
Практическая работа №5 Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли.	13
Практическая работа №6 Решение задач на запись распределения дискретной случайной величины.	16
Практическая работа №7 Вычисление характеристик дискретной случайной величины и характеристик функций от дискретной случайной величины.	19
Практическая работа №8 Решение задач на запись биноминального и геометрического распределений.	22
Практическая работа №9 Решение задач на формулу геометрического определения вероятности.	25
Практическая работа №10 Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для непрерывной случайной величины с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.	28
Практическая работа №11 Вычисление вероятностей для нормально и показательно распределенных величин.	32
Практическая работа №12 Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик.	35
Практическая работа №13 Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения.	39
Практическая работа №14 Интервальное оценивание вероятности события.	42
Практическая работа №15 Моделирование случайных величин; моделирование случайной точки, равномерно распределённой в прямоугольнике; моделирование сложных испытаний и их результатов.	43

Введение
Методические указания к практическим работам по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначены для обучающихся по специальности 09.02.04 Информационные системы (по отраслям).

Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в математический и общий естественнонаучный цикл и направлена на формирование базового уровня знаний, необходимых для освоения общепрофессиональных дисциплин и профессиональных модулей. Включенные в практические работы задачи стимулируют исследовательскую и творческую деятельность, развивает познавательные интересы, помогают не только глубже понять математику, но и научиться применять полученные знания на практике.

Целью выполнения практических работ по данной дисциплине является формирования у обучающихся навыков владения математическим аппаратом теории вероятности и математической статистики для решения прикладных задач. Методические указания к практическим работам содержат тему, цель, теоретические сведения, методические указания по решению задач и задания на выполнения.

Каждая практическая работа оформляется в тетрадях для практических работ. В оформление работы входить запись номера практической работы, темы, цели, задания с решением и выводы. На выполнение практической работы отводится 1 пара.


Практическая работа № 1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА РАСЧЁТ КОЛИЧЕСТВА ВЫБОРОК
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок заданного типа
Для выполнения работы необходимо знать: основные комбинаторные объекты (типы выборок), формулы и правила расчёта количества выборок; необходимо уметь: определять тип комбинаторного объекта (тип выборки), рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной компетенции ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.
ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Все комбинаторные формулы можно вывести из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения. Эти два важных правила часто применяются при решении комбинаторных задач.

Основными понятиями комбинаторики являются размещения, перестановки и сочетания.

1. 
   Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из m различных элементов данного множества.
   

1. 
   Число размещений (без повторений) из n элементов по m элементам равно
   

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать председателя, заместителя и профорга из 9 человек?

Решение. n = 9, m = 3.

2. 
   Число размещений (с повторением) из n элементов по m равно .
   

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?

Решение. Так как в один вагон могут сесть несколько человек, и рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями:

2. 
   Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементам.
   

1. 
   Число перестановок n различных элементов (без повторений) равно Р_n=n!
   

Пример 3. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределиться места по окончании соревнований?

Решение. Используем формулу перестановки без повторения для n = 6:

Р₆=6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

2. 
   Число перестановок (с повторениями) равно
   

Пример 4. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА?

Решение. Так как буквы в слове повторяются, то используем формулу перестановок с повторениями.

i₁ = 2 (количество букв «к»)

i₂ = 3 (количество букв «о»)

i₃ = 2 (количество букв «л»)

i₄ = 1 (количество букв «а»)

k = i₁ + i₂ + i₃+ i₄ = 2+3+2+1 = 8

3. 
   Сочетанием из n элементов по mназывается любое подмножество, состоящее из m различных элементов данного множества
   

1. 
   Число сочетаний из n элементов по m(без повторений) равно
   

Пример 5. Из учащихся 25 человек нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. n = 25, m = 3.

2. 
   Число сочетаний с повторениями равно
   

Пример 6. Сколькими способами можно купить 6 пирожных, если имеются 2 сорта пирожных по 5 в каждом?

Решение. Поскольку при покупке пирожных порядок их расположения не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями, при этом n = 5 +5 =10, m = 6.



ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

	I вариант	II вариант
1.	Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?	Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
2.	Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова «Абракадабра»?	Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова «Тарантас»?
3.	Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?	Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 9 различных красок?
4.	Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова «Сапфир»?	Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв слова «Фонарь»?
5.	Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?	На первой полке стоит 12 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать 4 книги с первой полки и 3 со второй?
6.	Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?	Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
7.	Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов?	Сколькими способами можно составить коллекцию из 6 марок, если имеются марки четырех видов?
8	Имеется 10 билетов денежной лотереи и 12 билетов спортлото. Сколькими способами можно выбрать по два билета либо из первой, либо из второй лотереи?	Сколькими способами можно группу из 13 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более четырех, а во второй – не более десяти человек?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Охарактеризуйте основные комбинаторные объекты.
   
2. 
   Составьте схему для определения типа комбинаторного объекта.
   

Литература

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007. – 480 с.
   
2. 
   Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2007.
   

Дополнительное задание*

1. 
   В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?
   
2. 
   Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
   

Практическая работа № 2

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятность события по классической формуле определения вероятности с использованием формул комбинаторики.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.2.Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.
ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Согласно классическому определению вероятности вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность события А определяется формулой:

Р(А) = m/n,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1. В ящике имеется 10 красных и 8 синих шаров. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется синим.

Решение.

Дано: m= 7 n = 10+8 = 18	Решение А – извлеченный шар синего цвета P(A) = m/n = 7/18 = 0,38 = 38,9%
Р(А) - ?	Ответ: P(A) = 38,9%

Пример 2. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 5.

Решение.

Дано: k = 6 – количество граней кубика.	Решение А – сумма выпавших очков на двух кубиках равна 5. P(A) = m/n Событию Aблагоприятствуют следующие исходы: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) → m= 4 Каждый из кубиков можно бросить шестью способами. Тогда два кубика по правилу умножения могут упасть 6*6 = 36 способами → n= 36 P(A) = 4/36 = 1/9 = 0,11 = 11%
Р(А) - ?	Ответ: P(A) = 11%

Пример 3. В мешочке имеется 6 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, р, ф, а, ь, н.Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово «фонарь».

Решение.

Дано: о, р, ф, а, ь, н	Решение А – из кубиков сложилось слово «фонарь». P(A) = m/n Т.к. из данных букв слово «фонарь» можно сложить только одним способом, то событию Aблагоприятствует 1 исход. → m= 1. Количество всех возможных способов выпадения букв на кубиках равно количеству перестановок. n= P6 = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720 P(A) = 1/720 = 0,00139 = 1,4%
Р(А) - ?	Ответ: P(A) = 1,4%

Пример 4.В группе 25 студентов. Из них 12 юношей и 13 девушек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это юноши?

Решение.

Дано: K = 12 L = 13 H = 25	Решение А – к доске вызваны два юноши. P(A) = m/n Число всех исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать двух учащихся из 25 (причем порядок вызова к доске не важен) → n = =300 Число благоприятствующих исходов равно числу способов выбора двух юношей из 13 → m= . P(A) = 78/300=13/50 = 0,26 =26%
Р(А) - ?	Ответ: P(A) = 26%

Для решения задач следующего типа:

В партии из N деталей имеется п стандартных. Наудачу отобраны т деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.
можно использовать формулу:

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

	I вариант	II вариант
1.	В коробке лежат 6 красных и 4 синих карандаша. Наугад вытаскиваются один из них. Найти вероятности событий того, что извлеченный карандаш красного цвета.	В коробке лежат 3 красных, 6 синих и 5 зеленых карандашей. Наугад вытаскиваются один из них. Найти вероятности событий того, что извлеченный карандаш красного цвета.
2.	Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 6.	Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 8.
3.	Слово ПЛОМБИР разрезается на буквы. Буквы перемешиваются и снова складываются слева направо. Найти вероятность того,что снова получится слово ПЛОМБИР.	Из буквы разрезной азбуки составлено слово ДОКУМЕНТ. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово ДОКУМЕНТ
4.	В пачке находятся одинаковые по размеру 10 тетрадей в линейку и 6 в клетку. Из пачки наугад берут 4 тетради. Какова вероятность того, что все 4 тетради окажутся в клетку?	На полке лежат 5 учебников и 6 художественных книг. С полки наугад снимают 3 книги. Какова вероятность того, что они окажутся учебниками?
5.	На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из букв: а, с, т, р, у, ж, л. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «стул»	На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из букв: д, а, т, о, с, ж, к. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность, что на пяти, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «доска»
6. «5»	В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.	В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
7 «5»	В сборнике билетов по геометрии всего 25 билетов, в трех из них встречается вопрос о конусе. На экзамене школьник достается один случайно выбранный билет из этого сборника. Найти вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о конусе.	В международных соревнованиях по фигурному катанию участвуют 25 спортсменок из разных стран, в том числе по три из США и России и по две из Японии и Швеции. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, будет представлять какую-то другую из оставшихся стран?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Используя классическое определение вероятности, докажите свойства вероятности:
   
   1. 
      Вероятность достоверного события равна 1.
      
   2. 
      Вероятность невозможного события равна 0.
      
2. 
   При каких условиях применима классическая формула определения вероятности?
   
3. 
   Какая сумма числа очков наиболее вероятна при бросании двух кубиков?
   

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007
   

Практическая работа № 3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМ УМНОЖЕНИЯ И СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятности суммы совместных и несовместных событий, произведения независимых и зависимых событий.
Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.2.Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.
ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

1. 
   Суммой A + B двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
   
   1. 
      Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:
      

Р (А + В) = Р(А) + Р(В)

2. 
   Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
   

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

2. 
   Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.
   
   1. 
      Теорема произведения для независимых событий. Для независимых событий вероятность совместного появления событий равна произведению вероятностостей этих событий:
      

Р(АВ) = Р(А) Р(В).

2. 
   Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
   

Р(АВ) = Р(А) Р_А(В).

3. 
   Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий.
   

Если события А₁, А₂, А₃,… А_n независимы в совокупности, причем Р(А₁) = р₁, Р(А₂) = р₂, Р(А₃) = р₃ и т.д.; q₁, q₂, q₃, …, q_n – вероятности противоположных событий.

Вероятность наступления события А, состоящего в наступлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, А₃,… А_n равна:

Р(А) = 1 – q₁q₂q₃…q_n.

4. 
   Вероятность появления только одного из двух событий.
   

Р(А) = p₁q₂ + p₂q₁
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

	I вариант	II вариант
1.	Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий; английский и немецкий – 8%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы знает хотя бы один язык.	Имеется 3 ящика, содержащих по 20 деталей. В первом ящике 12, во втором 5 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
2.	Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,025; во второй – 0,03; в третий 0,019. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.	В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: р, = 0,1; р, = 0,15; р, = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет (не работает хотя бы 1 элемент).
3.	Имеется 3 ящика, содержащих по 15 деталей. В первом ящике 5, во втором 7 и в третьем 10 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.	Среди студентов группы 15% имеют отличные оценки по математике, 34% – по истории. При этом 12% являются отличниками по обеим дисциплинам. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент учится на «отлично» хотя бы по одной дисциплине.
4.	Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.	В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена. Решить задачу двумя способами.
5.	На полке стоят 6 учебников по математике и 3 по информатике. С полки наудачу берется сначала один учебник. Потом второй. Найти вероятность, что первая взятая книга будет учебником по информатике, а вторая учебником по математике.	В ящике находится 8 стандартных и 6 нестандартных детали. Наудачу вынимается сначала одна деталь, а потом вторая. Найти вероятность, что первая взятая деталь стандартная, а вторая нестандартная.
6.	Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.	Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно высшего сорта.
7.	На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А). Решить задачу двумя способами.	Мастер обслуживают 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10% - у второго, 15% - у третьего, 25% - у четвертого, 30% - у пятого станка. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у 1, или 2, или 3 станка.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Чем отличается операция сложения вероятностей от произведения?
   
2. 
   Запишите способы, которыми можно рассчитать вероятность появления хотя бы одного события?
   

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007.
   

Практическая работа № 4

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛЫ БАЙЕСА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятности сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.2.Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.
ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Формула полной верятности позволяет определить вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, … В_n, образующих полную группу.

Р(А) = Р(В₁)·Р_В1(А) + Р(В₂)·Р_В2(А) + … + Р(В_n)·Р_Вn(А)

Чтобы оценить вероятности гипотез В₁, В₂, … В_n, после того как стал известен результат испытания, используется формула Байеса.


Пример 1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.
Решение

1. 
   Обозначим через А – событие«взятая наудачу деталь стандартна»
   

Событие В₁ – деталь извлечена из первого ящика;

Событие В₂ – деталь извлечена из второго ящика

Событие В₃ – деталь извлечена из третьего ящика

2. 
   Определим вероятности событий В₁, В₂ и В₃.
   

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В₁) = 1/3

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В₂) = 1/3

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В₃) = 1/3

3. 
   Определим условные вероятности.
   

Условная вероятность того, что из 1 ящика была извлечена стандартная деталь: Р_В1(А) =

Условная вероятность того, что из 2 ящика была извлечена стандартная деталь: Р_В2(А) =

Условная вероятность того, что из 3 ящика была извлечена стандартная деталь: Р_В3(А) =

4. 
   По формуле полной вероятности определим вероятность события А:
   

Р(А) = = . Ответ: Р(А) = 0,72
Пример 2. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой машиной?

Решение

1. 
   Обозначим через А – событие «выбран болт с дефектом»
   

В₁ – болт произведен 1 машиной; В₂ – болт произведен 2 машиной; В₃ – болт произведен 3 машиной

2. 
   По условию задачи имеем:
   

Р(В₁) = 0,25

Р(В₂) = 0,35

Р(В₃) = 0,4

Р_В1(А) = 0,05

Р_В2(А) = 0,04

Р_В3(А) = 0,02