Материал: Методические указания по выполнению практических работ теория вероятностей и математическая статистика Специальность

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

3. 
   Чем дискретные случайные величины отличаются от непрерывных?
   
4. 
   Перечислите способы задания дискретной случайной величины.
   

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007.
   

Практическая работа №7РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЗАПИСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться строить биноминальные и геометрические распределения дискретных случайных величин.Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы; ПК 1.2.Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

1. 
   Биноминальное распределение имеет место, когда производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие может либо появится, либо не появиться.
   

Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р, следовательно вероятность ненаступления равна q = 1 - р.Биноминальным распределение определяется формулой Бернулли: Пример 1.Построить закон распределения случайной величины Х – количества домов, данных в эксплуатацию в срок, из 3 строящихся. Вероятность сдачи в эксплуатацию в срок для каждого дома одинакова и равна 0,9.Решение

1. 
   Возможные значения случайной величины Х: х₀=0, х₁=1, х₂=2 или х₃=3.
   
2. 
   Число испытаний (общее число строящихся домов):n= 3.
   

Вероятность наступления события A в одном опыте (построить каждый дом в срок) p = 0,9.

3. 
   Вероятности возможных значений p_i: определяем с помощью формулы Бернулли:
   

р₀ = Р(х=0) = р₃(0) = С₃⁰р⁰q³= 1*0,9⁰*0,1³ = 0,001p₁ = Р(х=1) = р₃(1) = С₃¹р¹q²= 3*0,9¹*0,1²= 0,027; p₂ = Р(х=2) = р₃(2) = С₃²р²q¹= 3*0,9²*0,1¹= 0,243; p₃ = Р(х=3) = р₃(3) = С₃³р³q⁰= 1*0,9³*0,1⁰= 0,729.Полученные значения помогают сформировать ряд распределения.

Х	0	1	2	3
р	0,001	0,027	0,243	0,729

2. 
   Распределение Пуассона – имеет место, когда производится большое количество испытаний, но вероятность появления события мала.
   

, где  = np.Пример 2. Завод отправил на базу 4000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие проверится, равно 0,0002. Найти закон распределения числа проверенных изделий (при подсчете используйте таблицу распределения Пуассона). Вариантов случайной величины Х – числа проверенных изделий должно быть столько, чтобы сумма их вероятностей была близка к 1.Решение

1. 
    = np = 4000*0,0002 = 0,8
   
2. 
   Возможные значения случайной величины Х:
   

х₀=0, х₁=1, х₂=2, х₃=3, х₄ = 4 и т.д. до х₄₀₀₀ = 4000.

3. 
   По таблице распределения Пуассона получим:
   

P(x=0) = 0,449329P(x=1) = 0,359463P(x=2) = 0,143785P(x=3) = 0,038343P(x=4) = 0,007669P(x=5) = 0,001227

4. 
   Закон распределения:
   

Х	0	1	2	3	4	5	…	4000
Р	0,449329	0,359463	0,143785	0,038343	0,007669	0,001227	…	0

 0,999816  1

3. 
   Геометрическое распределение – имеет место, когда производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна р. Испытания заканчиваются, как только появляется событие А.
   

Пример 3. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не попадет. Требуется составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа патронов, выданных стрелку.Решение

1. 
   Возможные значения случайной величины Х: х₁= 1, х₂ = 2, х₃ = 3, … х_k=k и т.д.
   
2. 
   Вероятности возможных значений:
   

p₁ = p = 0,8p₂ = qp = 0,8*0,2 = 0,16p₃ = q²p = 0,8*0,2² = 0,032 и т.д.p_k = q^kp = 0,8*0,2^k-1

Х	1	2	3	…	k	…
р	0,8	0,16	0,032	…	0,8*0,2k-1	…

4. Гипергеометрическое распределение Рассмотрим задачу. Пусть в партии из Nизделий имеется М стандартных. Из партии случайно отбирают n изделий с одинаковой вероятностью, причем отобранное изделие не возвращают обратно (поэтому формула Бернулли не работает). Найти вероятность, что среди nотобранных изделий ровно m стандартных.Пример 4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.РешениеN = 10 – число деталей в партии; M = 8 – число стандартных деталей;n = 2 – числоотобранных деталей;m – число стандартных деталей среди отобранных.

1. 
   Возможные значения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных деталей: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2.
   
2. 
   Вероятности возможных значений:
   

Р₀(х=0) =

Р₁(х=1) = Р₂(х=1) =

3. 
   Закон распределения:
   

Х	0	1	2
Р	1/45	16/45	28/45

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

	I вариант	II вариант
1.	Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Чему равна вероятность, что откажет менее двух приборов в опыте? Построить многоугольник распределения.	По мишени проводится три выстрела с вероятностью попадания 0,8. Найти закон распределения случайной величины Х – число попаданий в мишень. Чему равна вероятность, что произведено более одного попадания? Построить многоугольник распределения.
2.	Учебник издан тиражом 10000 экземпляров.Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно,равна 0,0001. Найти закон распределения числа бракованных книг (при подсчете используйте таблицу распределения Пуассона) Вариантов случайной величины Х - количества бракованных книг должно быть столько, чтобы сумма их вероятностей была близка к 1.	Устройство состоит из 1000 элементов, работающихнезависимо один от другого. Вероятность отказалюбого элемента в течение определенного времени равна 0,002. Найтизакон распределения числа отказавших элементов (при подсчете используйте таблицу распределения Пуассона) Вариантов случайной величины Х – числа отказавших элементов должно быть столько, чтобы сумма их вероятностей была близка к 1.
3.	Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6.Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.	Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,9.Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.
4.	В партии из семи деталей имеется три стандартных. Наудачу отобраны три детали. составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. найти наивероятнейшее число стандартных деталей среди отобранных.	В партии из восьми деталей имеется пять стандартных. Наудачу отобраны три детали. составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. найти наивероятнейшее число стандартных деталей среди отобранных.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   В каких случаях для независимых испытаний удобно составлять биноминальное распределение, а в каких – распределение Пуассона?
   
2. 
   В каких случаях можно составить геометрическое распределение?
   

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007.
   

Таблица распределения ПуассонаПрактическая работа №8ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться определять математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины по заданному распределению;Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять характеристики дискретных случайных величин.Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.2.Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

4. 
   Математическое ожидание случайной величины X определяется по формуле:
   

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная ее закон распределения.

Х	3	5	2
р	0,1	0,6	0,3

Решение М(Х) = 3*0,1 + 5*0,6 + 2*0,3 = 3,9Пример 2. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

Х	5	2	4
Р	0,6	0,1	0,3