Материал: Методические указания по выполнению практических работ теория вероятностей и математическая статистика Специальность

– tσ/ , + tσ/ ) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки δ = tσ/ .

P( – tσ/ < a < + tσ/ ) = 2Ф(t) = γ
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии имеет следующий вид:

P( – t_γ*s/ < a < + t_γ*s/ ) = γ, где s - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t_γ находят по таблице приложения по заданным n и γ.
Пример 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением σ = 3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборки n = 36 и задана надежность оценки γ = 0,95.

Решение

Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице приложения 2 находим t = l,96.

Найдем точность оценки: δ = tσ/ = 1.96*3/ = 0,98

Получим доверительный интервал: ( – 0,98; + 0,98).
Пример. 2 Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 16 найдены выборочная средняя = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

РешениеНайдем t_γ. Пользуясь таблицей приложения при γ = 0,95 и n = 16, получим t_γ = 2,13.Найдем доверительные границы: – t_γ*s/ =20,2 – 2,13*0,8/ = 19,774. + t_γ*s/ =20,2 +2,13*0,8/ = 20,626. Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале 19,774 < а < 20,626.Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал: P₁ < Р < Р₂.где n – общее число испытаний; m – число появлений события; w – относительная частота, равная отношению m/n; t – значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t)= γ/2 (у – заданная надежность).Пример 1. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью Р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности Р с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз. Решение. По условию, n = 80, m=16, γ = 0,95. Найдем относительную частоту появления события А: w = m/n = 16/80 = 0,2. Найдем t из соотношения Ф (t) = γ/2 = 0,95/2 =0,475; по таблице функции Лапласа находим t = 1,96. Подставив n = 80, w = 0,2, t = 1,96 в формулы для p₁ и p₂, получим соответственно р₁= 0,128, р₂ =0,299. Искомый доверительный интервал 0,128< р< 0,299.При больших значениях n (порядка сотен) в качестве приближенных границ доверительного интервала можно принять выражения:,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИI вариант

1. 
   Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 5, выборочная средняя = 14 и объем выборки n = 25.
   
2. 
   По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений = 30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
   
3. 
   Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000ч. Найти с надёжностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы 40ч.
   
4. 
   Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.
   
5. 
   Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью Y = 0,999.
   

II вариант

1. 
   Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 4, выборочная средняя = 10,2 и объем выборки n = 16.
   
2. 
   По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений = 42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 1. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ = 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
   
3. 
   Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений 40м произведено 5 равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надёжностью 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений 2000м.
   
4. 
   Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,99, если в 100 испытаниях событие А появилось 60 раз.
   
5. 
   Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.
   

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Что такое доверительный интервал?
   
2. 
   Какая зависимость является корреляционной?
   

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007. – 480 с.
   

Практическая работа №15ПОСТРОЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ. Цель работы: научиться строить выборочное уравнение прямой линии регрессии методом наименьших квадратов. Для выполнения работы необходимо знать основы корреляционного анализа; необходимо уметь определять выборочное уравнение прямой линии регрессии.Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минутКРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИВыборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х имеет вид: y = ρx + b, где – выборочный коэффициент регрессии Y на Х – свободный членПример 1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным пяти наблюдений:

Х	1.0	1.5	3.0	4.5	5.0
Y	1.25	1.4	1.5	1.75	2.25

Решение

1. 
   Составим расчетную таблицу:
   

х	y	x2	xy
1	1.25	1.0	1.25
1.5	1.4	2.25	2.1
3.0	1.5	9.0	4.5
4.5	1.75	20.25	7.875
5.0	2.25	25.0	11.25
Σx = 15	Σy = 8.15	Σx2 = 57.5	Σxy = 26.975

2. 
   Найдем выборочный коэффициент регрессии и свободный член:
   

3. 
   Получаем уравнение регрессии: Y = 0.202x +1.024
   

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИI вариант

1. 
   Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии по данным n=8 наблюдений, которые получены при изучении зависимости количества продаж товара у от затрат на рекламу этого товара х:
   

х	1,5	4,0	5,0	7,0	8,5	10,0	11,0	12,5	12,8	13,2
y	5,0	4,5	7,0	6,5	9,5	9,0	11,0	9,0	9,8	11,2

Построить график по результатам измерений, на этом же графике построить найденное выборочное уравнение прямой линии регрессии.

2. 
   Реализовать задачу 1 в программе Microsoft Excel.
   

II вариант

1. 
   Исследование зависимости между среднемесячными доходами X на семью (в тыс. у.е.) и расходами Y на покупку кондитерских изделий (в у.е.) представлено в таблице:
   

X	4,8	3,8	5,4	4,2	3,4	4,6	3,4	4,8	5,0	3,8
Y	75	68	78	71	64	73	66	75	75	65

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии.Построить график по результатам измерений, на этом же графике построить найденное выборочное уравнение прямой линии регрессии.

2. 
   Реализовать задачу 1 в программе Microsoft Excel.
   

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ