Материал: Методические указания по выполнению практических работ теория вероятностей и математическая статистика Специальность

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью: , где λ – постоянная положительная величинаФункция показательного распределения определяется формулой:Пример 3. Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию показательного закона, если параметр λ = 8.РешениеИскомая плотность распределения равна:Функция распределения:Математическое ожидание М(х) = 1/λ = 1/8Дисперсия D = 1/λ² = 1/64ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИЗадание 1. Решите предложенные задачиI вариант (на «3»)

1. 
   Передатчик может начать работу в любой момент времени между 10 и 12 часами. Какова вероятность того, что начало передачи придется ждать не более 30 минут. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение.
   
2. 
   Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Построить график нормально распределенной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (4,8).
   
3. 
   Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию показательного закона, если параметр λ = 5.
   

II вариант (на «3»)

1. 
   Передатчик может начать работу в любой момент времени между 14 и 16 часами. Какова вероятность того, что начало передачи придется ждать не более 45 минут.
   
2. 
   Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 4 и 2. Построить график нормально распределенной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (4,6).
   
3. 
   Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию показательного закона, если параметр λ = 7.
   

III вариант (на «4»)

1. 
   Автобусы маршрута №5 идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать автобус менее 3 минут. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение.
   
2. 
   Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Построить график нормально распределенной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12,14).
   
3. 
   Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с параметром λ = 0,02. Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию показательного закона. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100 ч элемент откажет.
   

IV вариант (на «4»)

1. 
   Автобусы маршрута №5 идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать автобус более 3 минут. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение.
   
2. 
   Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 20 и 5. Построить график нормально распределенной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15,25).
   
3. 
   Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с параметром λ = 0,005. Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию показательного закона. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 200 ч элемент откажет.
   

V вариант (на «5»)

1. 
   Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана абсолютная ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
   
2. 
   Процент содержания золы в угле является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 16% и средним квадратическим отклонением 4%. Определить вероятность того, что в наудачу взятой пробе угля будет от 12 до 24% золы.
   
3. 
   Пусть Х (часть) – время, необходимое для выполнения теста по математике, удовлетворяет показательному распределению с параметром λ=0,25. Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию показательного закона. Вычислить вероятность того, что время, необходимое для выполнения теста, не превысит 4 часов.
   

Задание 2. Постройте в электронной таблице кривую Гаусса

1. 
   Столбец А заполняется при помощи автозаполнения значениями от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5.
   
2. 
   Для заполнения столбца B используется стандартная функция группы Статистические: НОРМ. РАСП
   
3. 
   Для построения графика функции используется Мастер диаграмм (тип диаграммы – График с маркером).
   
4. 
   Меняя значения математического ожидания и дисперсии распределения, получите различные кривые — «колокола»: крутые или пологие
   

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Приведите примеры действия нормального и показательного закона распределений в жизни.
   

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007. – 480 с.
   

Практическая работа №12ПОСТРОЕНИЕ ДЛЯ ЗАДАННОЙ ВЫБОРКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ГРАФИКАЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться строить статические распределения и графически их изображать; научиться определять числовые характеристики выборок.Для выполнения работы необходимо знать: виды случайных величин, их характеристики и распределения; необходимо уметь: определять вид распределения непрерывной случайной величины, вычислять вероятность попадания непрерывной случайной величины в определенный интервал.Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИРанжирование предполагает упорядочение данных выборки. В результате ранжирования по возрастанию получается

вариационный ряд. Проранжированные данные удобнее записать в виде таблицы, в которой указывается перечень вариант и их частот (относительных частот). Такая таблица называется таблицей частот (относительных частот)или статистическим распределением. Статистические распределения можно также записывать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.Для наглядности строятся графики статистического распределения: полигон и гистограмму.Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с абсциссами равными вариантам и ординатами, равными частотам (относительным частотам) соответствующих вариантов.Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых случат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению n/h (W/h).Пример 1. Дан статистический ряд: 2 2 3 3 3 3 4 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 2 3 2 4 5 2 3 3 2 4 3 2 3 4 3 3 2 3 5 3.а) построить для него вариационный ряд; б) построить статистическое распределение для частот и относительных частот; в) дополнить статистическое распределение накопленными частотами;г) построить полигон частот и относительных частот.Решение а) Для получения вариационного ряда сгруппируем одинаковые значения исходного ряда и запишем их в порядке возрастания: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5.б) Подсчитав частоты каждой варианты, построим статистическое распределение. Для нахождения относительных частот используем формулу: W_i = n_i/n (где n – объем выборки). В нашем примере n = 40.

xi	2	3	4	5
ni	14	19	5	2
Wi	0,35	0,475	0,125	0,05

в) Накопленная частота S_i показывает, какая доля чисел статистического ряда не превышает данного значения. Накопленные частоты получаются из относительных частот накопительным суммированием.

xi	2	3	4	5
ni	14	19	5	2
Wi	0,35	0,475	0,125	0,05
Si	0,35	0,825	0,95	1

г) Построим полигон частот, отложив по оси абсцисс значения x_i, а по оси ординат - n_i. Аналогично построим полигон относительных частот.Пример 2. На школьниках 1-го «А» класса было проведено исследование для выяснения того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий статистический ряд (масса каждого портфеля в кг): 2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7; 2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75.а) постройте статистический ряд в виде интервальной таблицы частот, определите относительные частоты на каждом интервале.б) постройте гистограмму частот и относительных частот. Решениеа) Для построения статистического ряда данных в виде интервальной таблицы частот разобьем все значения выборки на равные промежутки по 1 кг и подсчитаем число попаданий в каждый из них. Для нахождения относительных частот используем формулу: W_i = n_i/n. В нашем примере n = 20.

xi	1-2	2-3	3-4	4-5
ni	6	10	3	1
Wi	0,3	0,5	0,15	0,05

б) Для построения гистограммы частот определим для каждого интервала его длину h и плотность частоты (n_i/h). h = 1 (определяется как разность x_iинтервала); n₁/h=6/1=6; n₂/h=10/1=10; n₃/h=3/1=3; n₄/h=1/1=1. 1 2 3 5 4Аналогично строится гистограмма относительных частот.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ