Материал: Методические указания по выполнению практических работ теория вероятностей и математическая статистика Специальность

₁₀(10) = 10,7%; Р₁₀(k<3) = ; Р₁₀(k≥3) = 99,99%Пример 4. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.Дано:n = 400; k = 104; p = 0,2; q = 0,8Решение Т.к. n и k велики, то используем локальную теорему Муавра-Лапласа: → По таблице Ответ: Пример 5. Вероятность повреждения товара равна 0,02. Найти вероятность того, что из ста единиц товара испортится ровно 3.Дано:n= 100; k = 3; p = 0,02Решение Ответ: Р₁₀₀(3) = 0,173ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИI вариант

1. 
   Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого из них за сутки равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элементы; б) не менее 4 элементов; в) менее 4 элементов.
   
2. 
   По результатам ежегодной проверки Портнадзором судов, было установлено: вероятность того что суда имеют нарушения правил Морского Регистра равна 0,4. Найти вероятность того, что из 2400 судов, заходивших в порт в течение этого периода, имеют нарушения правил 960 судов.
   
3. 
   Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
   

II вариант

1. 
   Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) 2 телевизора потребуют ремонта; б) не более одного потребует ремонта; б) более одного потребует ремонта.
   
2. 
   Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет 75?
   
3. 
   С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.
   

III вариант

1. 
   Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет менее трех раз; в) герб выпадет во всех испытаниях.
   
2. 
   На заводе изготавливается в среднем 75% деталей отличного качества. За час было изготовлено 400 деталей. Найти вероятность того, что среди них ровно 280 деталей отличного качества.
   
3. 
   Среди шариковых авторучек в среднем при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повреждаются 0,02%. Найти вероятность того, что среди 5000 авторучек окажутся поврежденными не более 3 ручек.
   

IV вариант

1. 
   Производится залп из 5 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,7. Найти вероятность попадания в объект: а) трех орудий; б) более трех орудий; в) менее трех орудий.
   
2. 
   Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий 315 будут первого сорта.
   
3. 
   Вероятность рождения белого тигра равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 100 рождённых тигрят окажется 3 белых.
   

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   При каких условиях удобнее пользоваться формулой Бернулли, при каких – формулой Лапласа, а при каких – формулой Пуассона?
   

Литература

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007. – 480 с.
   

Практическая работа №6РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И НАХОЖДЕНИЕ ЕЁ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯЦель работы: научиться строить закон распределения дискретной случайной величины табличным способом, с помощью многоугольника распределения и функции распределения.Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы; ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ:90 минут.КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИДискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Для задания дискретной случайной величины необходимо перечислить все возможные ее значения и указать их вероятности.Законом распределения дискретной случайной величины называет соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически в виде функции распределения и графически с помощью многоугольника распределения.Пример 1. Возможные значения случайной величины таковы: х₁ = 2, х₂ = 5, х₃ = 8. Известны вероятности первых двух возможных значений: р₁ = 0,4; р₂ = 0,15. Найти вероятность х₃. Решение. Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только возможное значения, то события х₁, х₂, х₃ образуют полную группу; следовательно сумма вероятностей этих событий равна единице: p₁+ p₂+ p₃=1р_з = 1 – р₁ – р₂ = 1 – 0,4 – 0,15 = 0,45Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 500 и десять выигрышей по 10 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.Решение.

1. 
   Возможные значения выигрыша: х₁ = 500, х₂ = 10, х₃ = 0.
   
2. 
   Вероятности возможных значений:
   

р₁ = 1/100 = 0,01 (количество выигрышей в 500 рублей делится на общее количество билетов); р₂ = 10/100 = 0,1 (количество выигрышей в 10 рублей делится на общее количество билетов); р₃ = 1 – (0,01 + 0,1) = 0,89.Закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета:

Х	500	10	0
р	0,01	0,1	0,89

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

Х	1	3	6	8
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

Решение. Для построения многоугольника распределения в прямоугольной системе координат построим точки (х_i, p_i), а затем соединим их отрезками прямых.Функция распределения случайной величины Х – это функция F(x), которая при каждом значении своего аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина Х кажется меньше, чем значение аргумента х: F(x) = P{X<x}Пример 4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины:

Х	2	3	5	6	8
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график.Решение

1. 
   Если значение аргумента x≤2, то F(x) = P (X
2. 
   Если значение аргумента 2
3. 
   Если значение аргумента 3
4. 
   Если значение аргумента 5
5. 
   Если значение аргумента 6
6. 
   Если значение аргумента x>8, то F(x) = P (X

При нахождении закона распределения дискретной случайной величины часто необходимо использовать сложение и умножение вероятностей.Пример 5. Два орудия стреляют по цели; вероятности попадания в цель при одном выстреле для них равны соответственно 0,7 и 0,8. Для случайной величины Х (числа попаданий в мишень при одном залпе) составить ряд распределения.Решение.

1. 
   Возможные значения случайной величины: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2.
   
2. 
   Вероятности возможных значений:
   
   1. 
      х₁=0, если оба орудия не попали в цель  Р(х₁=0) = (1-0,7)(1-0,8)= 0,06.
      
   2. 
      х₂=1, если в цель попало ровно 1 орудие 
      

Р(х₂=1) = 0,7∙(1 - 0,8) + (1 – 0,7)∙0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38

3. 
   х₂=2, если оба орудия попали в цель  Р(Х=2)= 0,7⋅0,8 = 0,56.
   

Составляем ряд распределения.

Х	0	1	2
р	0,06	0,38	0,56

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

	I вариант	II вариант
1.	Возможные значения случайной величины таковы: х1 = 6, х2 = 7, х3 = 8. Известны вероятности первых двух возможных значений: р2 = 0,6; р3 = 0,25. Найти вероятность х1.	Возможные значения случайной величины таковы: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3. Известны вероятности первых двух возможных значений: р1 = 0,45; р3 = 0,3. Найти вероятность х2.
2.	Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения. Х 2 4 5 6 Р 0,3 0,1 0,2 0,4	Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения. Х 10 15 20 25 Р 0,1 0,5 0,3 0,1
3.	В лотерее среди 100 билетов 5 с выигрышем 1000 руб., 15 – 100 руб., 25 – 10 руб., остальные по 0. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.	В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них два выигрыша по 50 руб., пять по 20 руб., десять по 10 руб., 25 по 5 руб. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
4.	Два стрелка произвели по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.	Два стрелка произвели по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,7; вторым - 0,6. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.
5.	Дан ряд распределения дискретной случайной величины: Х 1 3 5 7 9 р 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1 Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график.	Дан ряд распределения дискретной случайной величины: Х 2 4 6 8 10 р 0,1 0,1 0,4 0,3 0,1 Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график.
6.	Телефонистка трижды вызывает абонента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй вызов – 0,3 и третий вызов – 0,4. Составить закон распределения вероятностей числа X вызовов, принятых абонентом.	Составить закон распределения вероятностей числа Х исправных приборов, если их три, а вероятности того, что исправны, соответственно равны 0,9, 0,8, 0,7.