Материал: Метода для РГР по ТОЭ
Е5 |
= 45, В; R1 = 19,5, Ом; R2 = 7,5, Ом; R3 = 13,5, Ом; R4 = 10,5, Ом; |
R5 |
= 15, Ом; R6 = 6, Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
a |
Е5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е1 |
|
I2 |
|
|
|
R2 |
|
II |
|
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|||
I1 |
|
|
I |
|
b |
|
|
|
|
|
|
d |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
I3 |
|
|
|
|
I4 |
|
|
|
|
I6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
R3 |
III |
|
|
R6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c Рис. 1.31
Решение
Под понятием «рассчитать цепь» предполагается определение токов в ветвях.
Определяется количество ветвей в цепи: общее число ветвей - nВ=6, с источником тока nJ =0 ветвей. Значит необходимо составить 6 независимых уравнений по законам Кирхгофа.
На основании теоремы о независимости уравнений определяется количество уравнений по I и по II законам Кирхгофа.
Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирх-
гофа |
nI= nу – 1 = 4 - 1 = 3, |
где nу=4 – |
количество потенциальных узлов. |
Уравнения составляются для любых узлов. |
|
Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирх- |
|
гофа |
nII = nВ - nJ – ( nу - 1) = 6 - 0 - (4-1) = 3. |
Уравнения составляются для независимых замкнутых контуров. Выбираются положительные направления токов и обозначаются стрелками. Так же стрелками обозначаются направления обхода неза-
висимых контуров: I, II, III.
Уравнения по первому закону для узлов:
узел а: I1 + I2 – I5 = 0; узел b: – I2 – I3 + I4 = 0; узел с: – I1 + I3 + I6 = 0.
Уравнения по второму закону для контуров:
15
|
|
контур I: |
R1·I1 – R2· I2 + R3·I3 = E1; |
||||||||||||
|
|
контур II: R2·I2 + R5· I5 + R4·I4 = E5; |
|||||||||||||
|
|
контур III: – |
R3·I3 – |
R4·I4 + R6·I6 = 0. |
|||||||||||
Система уравнений в матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
0 |
0 |
−1 |
|
0 |
I1 |
|
|
0 |
|||||
|
0 |
−1 |
−1 |
1 |
0 |
|
0 |
|
I |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
I |
3 |
|
|
0 |
||||
R |
−R |
R |
0 |
0 |
|
0 |
∙ |
I |
|
= |
E |
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|||
0 |
R2 |
0 |
R4 |
R5 |
|
0 |
I5 |
|
|
E5 |
|||||
|
0 |
0 |
−R −R |
0 R |
|
I |
6 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
Система уравнений в матричной форме после подстановки чис- |
|||||||||||||||
ленных значений: |
|
|
|
|
−1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
0 |
0 |
|
I1 |
|
0 |
||||||||
|
0 |
−1 |
−1 |
1 |
|
0 0 |
I |
2 |
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 1 |
I |
3 |
|
0 |
||||||
|
|
−7,5 |
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
= |
|
||
19,5 |
13,5 |
0 |
|
0 |
|
0 |
I4 |
|
9 |
||||||
|
0 |
7,5 |
0 |
10,5 |
15 |
0 |
I5 |
|
45 |
||||||
|
0 |
0 |
−13,5 |
−10,5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
I6 |
|
0 |
||||||||||
Решение системы уравнений на компьютере можно получить при помощи разработанной на кафедре ТОЭ УГАТУ программы «Gauss», а также стандартных математических пакетов, таких как
MatCad или Maple и др.
Решением данной системы уравнений, являются следующие
значения токов: |
|
|
|
I1 = 0,9465, А; |
I2 = 0,9826, А; |
I3 |
= - 0,1546, А; |
I4 = 0,8280, А; |
I5 = 1,9291, А; |
I6 |
= 1,1011, А. |
Проверка полученного решения производится составлением баланса мощностей, потребляемых резисторами и получаемых от источников:
Рпотр= R1· I12 + R2· I22 + R3· I32 + R4· I42 + R5· I52 + R6· I62 =
=19,5·0,94652 +7,5·0,98262+13,5·(-0,1546)2+ 10,5·0,82802+ +15·1,92912 + 6·1,10112 = 95,3278, Вт,
Рист = E1·I1 + E5·I5 =9·0,9465+ 45·1,9291 = 95,3280, Вт.
16
Рпотр = Рист.
Баланс мощностей сходится.
Задача 1.3.2. Рассчитать цепь задачи 1.3.1 методом контурных токов. Составить баланс мощностей.
Решение
Определяется количество независимых контуров в цепи:
nII = nВ - nJ – ( nу - 1) = 6 - 0 - (4-1) = 3,
где nВ=6 - общее число ветвей в цепи;
nJ =0 - число ветвей, содержащих источник тока; nу=4 - количество потенциальных узлов.
Выберем nII = 3 независимых контура и положительные направления контурных токов (II, III, IIII), протекающих в них (рис. 1.32).
|
|
|
|
|
|
a |
Е5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е1 |
I2 |
|
|
|
R2 |
I22 |
|
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
||||
I1 |
|
|
I11 |
b |
|
|
|
|
d |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
I4 |
|
I6 |
|||||
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R1 |
|
|
|
R3 |
I33 |
|
|
R6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c
Рис. 1.32
Составляется система уравнений по методу контурных токов для независимых контуров:
(R1+R2+R3)·I11 – R2·I22 – R3·I33 = E1;
-R2·I11 +(R2+R4+R5) ·I22 – R4·I33 = E5;
-R3·I11 – R4· I22 +(R3+R4+R6)·I33 = 0.
Подставляются численные значения в уравнения системы
(19,5+7,5+13,5)·I11 – 7,5· I22 – 13,5· I33 = 9;
-7,5·I11 +(7,5+10,5+15) ·I22 – 10,5· I33 = 45;
-13,5·I11 -10,5· I22 +(13,5+10,5+6)·I33 = 0.
Система уравнений в матричной форме после подстановки численных значений принимает вид:
17
40,5 |
−7,5 |
−13,5 |
|
I11 |
|
|
9 |
|
||
|
−7,5 |
|
|
∙ |
|
|
|
= |
|
|
|
33 |
−10,5 |
I22 |
|
45 |
|||||
|
−13,5 |
−10,5 |
30 |
|
I |
33 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением данной системы уравнений являются следующие значения контурных токов:
I11 = 0,9465, А; |
I22 = 1,9291, А; |
I33 = 1,1011, А. |
Выбираются положительные направления токов в рассматриваемой схеме и обозначаются стрелками (рис. 1.32). Токи в ветвях схемы выражаются через контурные токи:
I1 = I11= 0,9465, А;
I2 = I22-I11= 1,9291 |
– 0,9465 = 0,9826, А; |
||
I3 |
= I11-I33= 0,9465 |
- 1,1011 |
= - 0,1546, А; |
I4 |
= I22-I33= 1,9291 |
- 1,1011 |
= 0,8280, А; |
I5 |
= I22= 1,9291, А; |
|
|
I6 |
= I33= 1,1011, А. |
|
|
Задача 1.3.3. Рассчитать цепь задачи 1.3.2 методом узловых потенциалов. Определить показания вольтметра (рис. 1.33).
Решение
Выбираются условно положительные направления токов во всех ветвях схемы. Потенциал одного из узлов принимается равным нулю (заземляется). Пусть φ33=0, В (рис. 1.33).
|
|
|
|
Е5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
I |
|
|
|
I5 |
|
|
|
|
|
|
Е |
UV |
I |
2 |
R2 |
R5 |
1 |
|
R4 |
|
||
|
V |
|
|
|
|
I1 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
I3 |
I4 |
I6 |
|
R1 |
II |
R3 |
|
||
|
|
R6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Рис. 1.33 |
|
||
|
|
|
|
18 |
|
Поскольку метод узловых потенциалов основан на первом законе Кирхгофа, то количество необходимых уравнений определяется следующим образом:
nI= nу – 1 = 4 - 1 = 3,
где nу=4 – количество потенциальных узлов.
Составляется система уравнений из nI уравнений относительно потенциалов незаземлённых узлов:
G11·φ11 – G12·φ22 – G14·φ44 = J11;
-G21·φ11 + G22·φ22 – G24·φ44 = J22;
-G41·φ11 – G42·φ22 + G44·φ44 = J44.
где Gii – собственная проводимость i-го узла;
Gij – взаимная проводимость i-го и j-го узлов; Jij – узловой ток i-го узла.
Следовательно, систему можно записать в виде:
( |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
) × φ - |
1 |
× φ |
22 |
- |
1 |
|
× φ |
44 |
= |
E1 |
- |
|
E5 |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
R1 R2 |
R5 |
11 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
R5 |
|
R1 R5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
- |
1 |
|
× φ + ( |
1 |
+ |
1 |
+ |
|
1 |
|
) × φ |
22 |
- |
|
|
1 |
× φ |
44 |
= 0; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
|
R2 |
|
R3 R4 |
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
- |
1 |
×φ - |
|
1 |
×φ |
22 |
+ ( |
1 |
|
+ |
|
1 |
+ |
|
1 |
) × φ |
44 |
= |
E5 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
R4 |
|
|
|
R4 |
|
R5 |
|
R6 |
|
|
R5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решением данной системы уравнений являются следующие значения потенциалов узлов:
φ11 = - 9,4567, В; φ22 = - 2,0872, В; |
φ44 = 6,60671, В. |
Определяются токи во всех ветвях схемы из выражений, составленных на основе закона Ома:
19