A12 = p1 (V2 −V1 )= mµ R(T2 −T1 )= 2,1 103 Дж .
Изменение внутренней энергии
∆U12 = 2i mµ R(T2 −T1 )= 3,1 103 Дж .
Количество теплоты, полученной газом,
Q12 = i +2 2 mµ R(T2 −T1 )= 5,2 103 Дж .
Рассмотрим процесс 1-3: T = const, pV = const. Следовательно, T3 = T1, p3/p1 = = V1/V3 = V1/V2 = 1/2.
Изменение внутренней энергии ∆U13 = 0.
Работа газа рассчитывается по формуле (4.3). Выражая давление р из уравнения (1.11) и учитывая, что T = const, получим
m |
V2 |
dV |
m |
V2 |
3 |
|||||
A13 = |
RT 1V∫ |
V |
= |
RT 1 ln |
=1,4 10 |
Дж . |
||||
µ |
µ |
V1 |
||||||||
1 |
||||||||||
Согласно первому началу термодинамики для изотермического процесса
Q13 = A13 =1,4 103 Дж .
Задача 4-5
Двухатомный газ, занимающий при давлении р1 = 1,2·105 Па объем V1 = 3,5·10-3 м3, расширяется до объема V2, вдвое большего начального, один раз изотермически, второй раз адиабатно. Найти для обоих процессов: 1) конечное давление газа (объяснить разницу в полученных результатах, исходя из молекулярно-кинетических представлений); 2) работу газа и изменение его внутренней энергии.
Рассматривается неизвестный двухатомный газ (i = 5), участвующий в двух независимых процессах: изотермическое расширение 1-2 и адиабатное расширение 1-3. Оба процесса начинаются из одного начального состояния 1 (p1, V1, T1). Конечные состояния характеризуются одинаковым значением объема: V2 = V3 = 2V1.
При изотермическом процессе согласно (1.4) давление Рис. 8 обратно пропорционально объему.
При адиабатном процессе согласно (4.7) давление обратно пропорционально объе-
му в степени γ, и так как γ = C p >1, то p2 > p3, где p2 и p3 – конечные давления соответ-
CV
ственно при изотермическом и адиабатном расширении. Графики рассматриваемых процессов показаны на рис. 8. Работа газа в обоих процессах положительна (V2 = V3 >
>V1) и, как видно из графиков (сравнение соответствующих площадей), A12 > A13.
Впроцессе 1-2: ∆U12 = 0 (T = const); Q12 = A12 > 0.
Впроцессе 1-3: Q12 = 0 (по определению адиабатного процесса), следовательно,
∆U13 = – A13, т. е. внутренняя энергия газа убывает.
Конечные давления могут быть. найдены непосредственно из уравнений процессов (1.4), (4.7). При изотермическом процессе p1V1 = p2V2, т. е.
p |
= p |
V1 |
= 0,60 105 Па . |
|||
2 |
1 V2 |
|||||
При адиабатном процессе |
||||||
γ |
γ |
γ |
||||
и p3 |
V1 |
|||||
p1V1 |
= p3V3 |
|||||
= p1 |
. |
|||||
V2 |
||||||
Так как i = 5, коэффициент Пуассона γ = i +i 2 =1,4 , и расчет даёт
p3 = 0,46 105 Па .
Таким образом, расчет подтвердил, что при адиабатном расширении конечное давление p3 меньше, чем конечное давление p2 при изотермическом расширении. Это можно объяснить следующим образом.
Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории давление газа прямо пропорционально произведению концентрации молекул газа и средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы. В обоих процессах объем возрастает в 2 раза, следовательно, концентрация убывает в 2 раза. При изотермическом расширении средняя кинетическая энергия молекул не изменяется, поэтому давление уменьшается так же, как концентрация – в 2 раза. При адиабатном расширении убывает не только концентрация молекул, но и кинетическая энергия молекул, которая расходуется на совершение работы. Поэтому давление убывает больше, чем в 2 раза.
Давление газа на стенки сосуда (как это видно при выводе основного уравнения кинетической теории для давления) определяется средней силой удара одной молекулы
и частотой этих ударов. Сила удара для данного газа прямо пропорциональна скорости молекул, которая при изотермическом расширении остается неизменной, а при адиабатном расширении уменьшается. Частота ударов пропорциональна концентрации молекул и их скорости. Следовательно, при изотермическом расширении частота ударов уменьшается только за счет уменьшения концентрации, а при адиабатном – как за счет уменьшения концентрации, так и за счет уменьшения скорости.
Работа газа при изотермическом расширении может быть рассчитана по формуле (4.3). Чтобы выразить давление как функцию объема, можно воспользоваться либо уравнением Клапейрона-Менделеева (1.1), либо уравнением изотермы (1.4).
Так как начальные значения объема и давления заданы, то уравнение изотермы можно записать в виде
pV = p1V1 , p = p1 VV1 ,
откуда
V2 |
dV |
V2 |
2 |
|||
A12 = p1V1V∫ |
V |
= p1V ln |
= 2,9 10 |
Дж . |
||
V1 |
||||||
1 |
||||||
Изменение внутренней энергии ∆U12 = 0.
Работу газа при адиабатном расширении можно найти из первого начала термодинамики (4.1):
A13 = −∆U13 =U1 −U3 .
Используя выражение (4.2) и уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1), найдем
U1 −U 3 = 2i mµ R(T1 −T3 )= 2i (p1V1 − p3V3 ).
Подстановка ранее найденного значения p3 дает
A13 =U1 −U 3 = 2,5 102 Дж .
Изменение внутренней энергии ∆U13 = U1 – U3 = –2,5·102 Дж.
Задача 4-6
Двухатомный газ, занимающий при давлении р1 = 1,2·105 Па объем V1 = 4·10-3 м3 совершает сложный процесс: сначала адиабатно расширяется до объема V2 = 2V1, затем при постоянном объеме доводится до первоначального давления. Найти суммарное изменение внутренней энергии газа.
Рассматривается неизвестный двухатомный газ, i = 5, |
||
совершающий сложный процесс, состоящий из двух по- |
||
следовательных стадий: 1-2 – адиабатное расширение, в |
||
результате которого давление и температура газа убы- |
||
вают (p2 < p1, T2 < T1); 2-3 изохорный процесс, в резуль- |
||
тате которого давление должно возрасти до первона- |
||
чального значения (p3 = p1). Так как при изохорном про- |
Рис. 9 |
|
цессе давление прямо пропорционально температуре, то |
||
T3 > T2, следовательно, процесс 2-3 является изохорным нагреванием газа. График рас- |
||
сматриваемого сложного процесса показан на рис. 9. |
||
При адиабатном расширении газ совершает положительную работу A12 > 0. Так как при этом газ не получает тепло от окружающей среды, его внутренняя энергия убывает:
∆U12 < 0.
При изохорном нагревании 2-3 работа газа A23 = 0, следовательно, Q23 = ∆U23 > 0. Суммарное изменение внутренней энергии в процессе 1-2-3 ∆U13 = ∆U12 + ∆U23 =
= U3 – U1, так как изменение внутренней энергии не зависит от характера процесса и однозначно определяется начальным 1 и конечным 3состояниями газа.
Точки 1 и 3 лежат на одной изобаре (пунктирная прямая 1-3), причем V3 = V2 > > V1. При постоянном давлении объем газа прямо пропорционален его температуре, следовательно, T3 > T1 и
∆U13 =U3 −U1 > 0 .
Так как по условию задачи требуется найти только изменение внутренней энергии, то, исходя из проведенного выше анализа и выражения (4.2),
∆U13 = 2i mµ R(T3 −T1 ).
Внося множитель mµ R в скобки и используя уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1)
для состояний 1 и 3, получим
∆U12 = 2i (p3V3 − p1V1 )=1200 Дж .