Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Если интервал скоростей ∆v = v2 – v1 взять настолько малым, что в его пределах функ-

цию Максвелла можно считать приближенно постоянной, то

При расчете по этой формуле значение функции f(v, T) берется для скорости, принад-

лежащей указанному интервалу.

Рис. 3

Скорость, соответствующая максимуму функции f(v, T), называется наиболее веро-

Анализ и решение задач проводятся в такой последовательности:

1. Выяснить из условия задачи, можно ли считать рассматриваемый газ идеальным газом в равновесном состоянии, для которого справедливо распределение Максвелла и, следовательно, выражения (3.1)-(3.5).

2.Если по условию задачи требуется рассчитать наиболее вероятную скорость молекул, а также среднюю или среднеквадратичную скорости по известным параметрам идеального газа или решить обратную задачу, то расчет произвести по соответствующим выражениям для этих скоростей (формулы (2,3), (3.4), (3.5)).

3.Значения функции Максвелла для заданных скоростей найти по формуле (3.1). При этом часто удобно в выражение для функции Максвелла ввести наиболее вероятную скорость (3.4).

4.Расчет числа молекул или доли молекул от общего их числа в заданном интервале скоростей от v1 до v1 + ∆v произвести по формулам (3.2) и (3.3).

Использование формулы (3.2) возможно при наличии специальных таблиц для интегрирования численными методами или ЭВМ.

Использование формулы (3.3) возможно для малых интервалов ∆v, когда в преде-

лах этого интервала f(v, T) можно считать постоянной. Оценка точности расчета может быть произведена сравнением значений функции Максвелла для v = v1 и v = v1 + ∆v.

Задача 3-1

Некоторый газ массой m = 0,02 кг занимает при давлении р = 1·105 Па объем V = 0,02 м2. Найти наиболее вероятную и среднюю скорости молекул газа.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии, для которого искомые величины могут быть рассчитаны по формулам (3.4) и (3.5). Ни температура, ни молярная масса газа не известны. Однако в выражения (3.4) и (3.5) входит отношение этих величин, которое может быть найдено из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1)

RTµ = pVm .

Отсюда

Задача 3-2

При температурах T1 = 240 К и T1 = 480 К рассчитать для кислорода: 1) наиболее вероятные скорости молекул; 2) значения функции Максвелла: а) при v = vв, б) при v = vв + 200 м/с, в) при v = vв – 200 м/с.

Рассматривается идеальный газ при двух равновесных состояниях при разных температурах. Молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль. Расчет по формуле (3.4) дает

Используя выражение (3.4), функцию Максвелла удобно записать в виде

Задача 3-3

Окись азота находится при температуре Т = 300 К. Найти долю молекул (в процентах), обладающих скоростями от v1 = 520 м/с до v2 = 530 м/с.

Рассматривается идеальный газ при заданной температуре, для которого справедливо распределение Максвелла. Молярная масса окиси азота µ = 30·10-3 кг/моль.

Требуется найти относительное число ∆N/N молекул, скорости которых лежат в заданном интервале ∆v = v2 – v1 = 10 м/с. Можно предположить, что в этом небольшом интервале функция Максвелла будет с достаточной степенью точности оставаться постоянной.

Расчет значений функция Максвелла удобно производить, подставив в формулу (3.1) выражение для vв (3.4). Такая подстановка дает

т. е. с точностью до двух значащих цифр f(v1, T) = f(v2, T) = 1,8·10-3 с/м. Следовательно,

расчет искомого относительного числа молекул можно произвести по приближенной формуле (3.3)

∆NN = f (v1,T )∆v =1,8 10−2 =1,8% .

4. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Первое начало термодинамики может быть записано в виде

Q = ∆U + A , (4.1)

где Q – количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами; ∆U = U2 – U1 – изменение внутренней энергии газа; A – работа сил давления газа.

Для идеального газа внутренняя энергия определяется только суммой кинетических энергий всех его молекул, т. е. формулой (2.5). Изменение внутренней энергии идеального газа

где i – число степеней свободы, T1 и Т2 – начальная и конечная температуры. Изменение внутренней энергии не зависит от процесса, а только от начального и конечного состояний газа. При нагревании газа T2 > T1, внутренняя энергия возрастает.

Работа сил давления газа

где V1 и V2 – начальный и конечный объемы газа. При расширении газа V2 > V1, работа газа положительна.

Для расчета работы газа при любом квазистатическом процессе следует найти давление как функцию объема при данном процессе и полученное выражение p(V) подставить в интеграл (4.3). При изображении процесса в координатах р-V работа численно равна площади, ограниченной графиком p(V), осью абсцисс и ординатами p(V1) и p(V2). Таким образом, работа газа зависит от характера процесса. Количество теплоты вычисляется по формуле

где C – молярная теплоемкость.

Так как работа газа зависит от процесса, то и количество теплоты Q зависит от характера процесса и молярная теплоемкость различна для разных процессов.

В частности, при изохорном процессе

Количество теплоты Q считается положительным, если газ получает тепло от окружающих тел, и отрицательным, если газ отдает тепло. Знак Q должен быть определен из первого начала термодинамики (4.1). В процессах с постоянной и положительной теплоемкостью, как видно из (4.4), количество теплоты Q > 0 при нагревании газа, то есть при T2 > T1.

При изопроцессах, когда один из параметров состояния (р, V, T) остается постоянным, справедливы уравнения (1.2), (1.3), (1.4).

Процесс, при котором газ не обменивается теплом с окружающими телами, Q = 0,

где