Уравнение состояния для смеси идеальных газов с молярными массами µ1 и µ2, взятых в количестве т1 и т2:
m1 |
m2 |
||||||
+ |
(1.6) |
||||||
µ |
|||||||
pV = |
µ |
RT , |
|||||
1 |
2 |
||||||
где p = p1 + p2 – сумма парциальных давлений (закон Дальтона); V – объем сосуда, в котором находится смесь газов, следовательно, и объем каждого газа в отдельности.
Анализ и решение задач этого параграфа производится так.
1.Выяснить из условий задачи, находится ли система в равновесном состоянии (признаком равновесного состояния являются одинаковая температура, концентрация и давление в любой части сосуда), либо рассматриваемый газ участвует в каком-либо процессе.
2.В случае равновесного состояния неизвестные параметры найти, используя уравнения (1.1) или (1.6). Если рассматриваемые газы в условии задачи названы, то их молярные массы следует считать известными.
3.В случае процесса выяснить его характер, и, если это один из рассмотренных выше изопроцессов, записать уравнение процесса ((1.2)-(1-4)). Отсюда найти искомые параметры.
4.Если характер процесса не указан, то неизвестные параметры найти, используя уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1) для двух состояний газа: начального и конечного. Если какой-либо из параметров состояния газа оказывается одинаковым в начальном и конечных состояниях, то аналогичный расчет можно произвести, используя одно из уравнений (1.5).
5.Если условие задачи содержит ссылку на графическое изображение процесса или состояний в каких-либо координатах (p, V; р, Т и т. п.), то анализ задачи следует начинать с графического изображения.
Задача 1-1
Найти плотность кислорода при давлении р = 0,5·105 Па и температуре T = 320 К. Молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль.
Подставляя уравнение (1.1) в формулу плотности ρ = Vm , получим:
ρ = RTpµ = 0,6 мкг3 .
Задача 1-2
В баллоне емкостью V = 0,01 м3 находится гелий (He) при температуре T1 = 240 К и давлении р1 = 8,0·105 Па. При повышении температуры до T2 = 320 К давление оказалось равным р2 = 8,4·105 Па. Доказать, что при нагревании баллон не оставался герметичным, и найти массу вытекшего газа.
Рассматривается нагревание известного газа (µ = 4·10-3 кг/моль), находящегося в жестком баллоне заданного объема. При условии герметичности баллона масса газа неизменна. Начальное и конечное состояния газа заданы, следовательно, являются равновесными, и согласно (1.5)
p2 |
= |
T2 |
. |
(1) |
|
p |
|||||
T |
1 |
||||
1 |
|||||
Однако из условий задачи p2/p1 = 1,05; T2/T1 = 1,33, т. е. равенство (1) не выполняется. Невыполнение равенства (1) свидетельствует о негерметичности баллона. Так как p2/p1 < T2/T1, некоторое количество газа вытекло из баллона.
Количество вытекшего газа может быть найдено с помощью уравнения Клапейро- на-Менделеева, записанного для двух состояний. Начальное состояние
p1V = mµ RT 1 ,
конечное состояние
p V = m − ∆m RT |
2 |
, |
|
2 |
µ |
||
в этих уравнениях m – начальная масса, ∆m – масса вытекшего газа. Решая совместно эти два уравнения, найдем
Vµ |
p1 |
p2 |
−3 |
|||||||
∆m = |
− |
= 3,4 10 |
кг . |
|||||||
R |
T2 |
|||||||||
T1 |
||||||||||
Задача 1-3
Некоторый газ неизменной массы совершает процесс 1-2, изображенный в координатах p, V на рис. 1. Температура газа в состояниях 1 и 2 одинакова. Найти характер изменения температуры в течение всего процесса.
По условию задачи T1 = T2. При одинаковой температуре геометрическим местом точек, соответствующих различным равновесным состояниям идеального газа в заданных координатах, является гипербола (график изотермического процесса). Если про-
вести гиперболу (изотерму) через точки 1 и 2, показанные на рис. 1, то видно, что все точки прямой 1-2 (заданный процесс) лежат выше этой гиперболы, т. е. соответствуют температурам большим, чем T1 = T2. Это становится ясным, если сравнить две точки – на прямой 1-2 и на гиперболе 1-2, лежащие на одной вертикали, т. е. соответствующие одному объему: согласно закону (1.3) большему давлению
(точка на прямой) соответствует и большая температура. Рис. 1 Следовательно, в рассматриваемом процессе температура сначала растет до максимального значения Tmax, а затем убывает до первоначального значения.
Положение точки M, соответствующей максимальной температуре, можно найти, если провести семейство изотерм, одна из которых будет только касаться прямой 1-2. Эта изотерма показана на рис. 1. Таким образом, температура возрастает на участке 1-М и падает на участке М-2.
Задача 1-4
Два сосуда емкостью V1 = 0,02 м3 и V2 = 0,05 м3 соединены короткой и узкой трубкой с краном. В первом сосуде находится водород при давлении р1 = 2·105 Па, во втором сосуде – азот при давлении р2 = 8·105 Па. Найти давление, которое установится в сосудах после открытия крана, считая, что температура газа в сосудах все время равна температуре окружающей среды.
Каждый из рассматриваемых газов, занимавших в начальном состоянии объемы V1 и V2, расширяются до объема V = V1 + V2.
По условию задачи процесс можно считать изотермическим, и согласно (1.4):
p1V1 = p1 'V , p2V2 = p2 'V , |
(1) |
где p1' и p2' – давления каждого из газов после расширения.
В результате этого процесса в объеме V = V1 + V2 оказывается смесь газов, причем давления р1 и р2 являются парциальными давлениями газов в смеси. Согласно закону Дальтона давление смеси газов р = р1 + р2 p = p1′ + p2′ .
Используя уравнение (1), получим p = |
p1V1 + p2V2 |
= 6,3 105 Па . |
V1 +V2 |
||
W = |
i |
m RT . |
(2.5) |
2 µ |
|||
Анализ и решение задач этого параграфа проводится в такой последовательности:
1.Выяснить из условия, является ли объектом задачи идеальный газ, находящийся
вравновесном состоянии, или рассматривается совокупность молекул, поставленная в какие-либо специфические условия, например, молекулярный пучок и т. п.
2.В случае, если идеальный газ находится в равновесном состоянии, то для него выполняются соотношения (2.1)-(2.5), которые позволяют найти искомые по условию задачи параметры газа.
3.Если рассматриваемые в задаче газы известны, но не указаны их молярные массы и число степеней свободы, то эти значения следует выяснить до решения задачи.
4.Если газ переходит из одного равновесного состояния в другое, следует выяснить характер процесса и записать соотношение между параметрами газового состояния для данного процесса (соотношения (1.2)-(1.5)).
5.Если в задаче описывается газ или совокупность молекул, находящихся в специфических условиях, то следует выяснить, какую механическую модель поведения этой совокупности молекул можно принять при решении данной задачи. Если в условии задачи механические характеристики и свойства заданы, то при решении задачи следует использовать известные законы механики (например, задача 2-5).
Задача 2-1
Смесь азота и гелия при температуре T = 300 К оказывает на стенки сосуда давление р = 1,3·102 Па. Найти общую концентрацию молекул в смеси и среднюю кинетическую энергию (поступательного движения и полную) молекулы каждого из газов.
Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии.
Суммарная концентрация молекул, независимо от природы газа (т. е. от молярных масс и числа степеней свободы), может быть найдена из уравнения (2.1). Отсюда
n = kTp = 3 1022 м-3 .
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы не зависит от количества атомов в молекуле и у молекул обоих газов будет одинакова:
W0п = 23 kT = 6,3 10−21 Дж .