Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Заметим, что величина R (радиус блока), входящая в систему уравнений (1)-(3), при решении сокращается, т. е. ускорение грузов и силы натяжения нитей при заданных форме и массе блока не зависит от радиуса.

Задача 3.2

Маховик, жестко связанный со шкивом радиуса r = 0,1 м, может вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции системы относительно этой оси I = 0,2 кг·м2. На шкив навита нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. Пренебрегая работой силы трения, найти: 1) скорость, которую приобретет груз, опустившись на расстояние h = 1 м; 2) силу натяжения нити при движении груза.

В движении участвуют два тела: маховик (со шкивом) и груз. Момент инерции маховика и масса груза заданы. В начальный момент времени тела покоятся. Маховик и груз связаны нитью. Так как нить нерастяжима, скорости и ускорения всех ее точек одинаковы. Отсутствие скольжения нити по шкиву позволяет считать, что линейная скорость и тангенциальное ускорение любой точки обода шкива равны по модулю соответственно скорости и ускорению нити, поэтому vгруза = vнити = ωr и aгруза = aнити = εr, где ω и ε – угловые скорость и ускорение маховика.

Рис. 12

Груз, который можно считать материальной точкой, взаимодействует с Землёй и нитью (силы mg и T на рис. 12). Силы тяжести и реакции оси, действующие на маховик, не создают вращающих моментов, так как точки приложения этих сил совпадают с осью вращения. Однако маховик взаимодействует также с нитью (сила Т' на рис. 12). Эта сила направлена по касательной к шкиву и создает вращающий момент

Так как нить невесома, сила натяжения нити остается постоянной во время движения и Т' = T.

Так как вся система движется вследствие действия на груз силы тяжести, для определения скорости груза можно воспользоваться энергетическим методом. Маховик, груз и Земля образуют систему тел, полная энергия которой при переходе из положения 1 в положение 2 (рис. 12) не изменяется, так как сила тяжести – внутренняя консервативная сила, трением по условию задачи пренебрегаем, сила реакции оси работы не совершает. Изменение потенциальной энергии, рассчитанное по формуле (2.7),

∆Wп = −mgh ;

Для нахождения силы натяжения нити запишем уравнения второго закона Ньютона (1.1) для груза и динамики вращательного движения (3.1) для маховика:

ma = mg + T , Iε = M .

В проекциях соответственно на оси у и z, показанные на рис. 12, с учетом (1)

ma = mg −T , Iε = Tr .

Решая эту систему совместно с условием связи a = εr, найдем силу натяжения нити

При φ = 0 (горизонтальное положение) ε = 3g/2l. При φ = π/2 (вертикальное положение) ε = 0.

Так как угловое ускорение переменно, угловую скорость удобнее находить изэнергетических соображений. Работу совершает только сила тяжести, поэтому полная энергия системы стержень-Земля при переходе из положения 1 в положение 2 не изменяется, т. е. справедливо уравнение (2.9). Так как кинетическая энергия в положении 1 равна нулю,

Изменение потенциальной энергии при переходе системы из положения 1 в положение

2:

∆Wп = −mgh ,

где h = bsinϕ = 6l sinϕ – перемещение центра масс в направлении силы тяжести. Окон-

чательно получим

Заметим, что используемая в ходе решения, но не заданная в условии масса тела в полученных выражениях для искомых величин отсутствует.

Задача 3.4

Горизонтальный диск (масса m1 = 20 кг, радиус R = 1 м) вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, делая n1 = 2 об/мин. На краю диска стоит человек массой m2 = 50 кг. Найти изменение угловой скорости диска при переходе человека в центр диска, пренебрегая моментом инерции человека относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс.

Рис. 14

Диск и человек вращаются вокруг закрепленной вертикальной оси с одинаковой угловой скоростью ω, причем в начальный момент ω1 = 2πn1. Изменение скорости происходит только в результате движения человека по диску (трением в оси нужно пренебречь). Характер изменения сил взаимодействия человека и диска достаточно сложен. Однако, если рассматривать систему человек-диск, то эти силы оказываются внутренними, а значит, не изменяющими ни импульс, ни момент импульса системы. Внешние силы в этой системе: сила реакции оси при движении человека, силы тяжести и сила реакции опоры. Последние две силы скомпенсированы и не создают момента относительно вертикальной оси. Сила реакции оси при движении человека направлена горизонтально перпендикулярно оси. Эта внешняя сила соизмерима с внутренними силами, поэтому импульс системы будет изменяться. Однако сила реакции оси не создает вращающего момента относительно заданной оси, поэтому при переходе системы из положения 1 в положение 2 (рис. 14) момент импульса системы остается постоянным, L1 = L2 или в проекциях на ось вращения L1 = L2.

В положении 1

L1 = (I д +I ч )ω1 ,

причем момент инерции диска

Iд = m12R2 ,

момент инерции человека по теореме Штейнера

I ч = I0 + m2 R2 = m2 R2 ,

так как I0 = 0 по условию. Следовательно,

В положении 2

L2 = m12R2 2πn2 ,

так как Iд не изменяется, а Iч = 0.

Подставив выражения для L1 и L2 в уравнение (3.6), получим

Таким образом, угловая скорость возрастает на величину

ω2 −ω1 = 2π(n2 − n1 )=1,05 с-1 .

Задача 3.5

На гладком горизонтальном столе лежит тонкий однородный стержень длиной l и массой m2, закрепленный на вертикальной оси, проходящей через один из его концов. В противоположный конец стержня ударяется маленький камень массой m1, скользивший по столу в направлении, перпендикулярном стержню, со скоростью v0. В результате удара камень останавливается. Найти угловую скорость стержня после удара.

В движении участвуют два тела, одно из которых до взаимодействия покоилось, а другое двигалось с заданной постоянной скоростью. После взаимодействия скорости тел изменяются: камень останавливается, а стержень вращается вокруг закреплённой оси с некоторой угловой скоростью ω. Причиной изменения движения тел является их взаимодействие – удар. Силы взаимодействия при ударе неизвестны, поэтому нельзя