меняющей своего положения в пространстве, векторы момента силы М и углового перемещения dφ направлены по оси вращения в ту или другую сторону, в зависимости от этого работа будет положительной либо отрицательной.
Так как в предлагаемых задачах наряду с вращательным движением встречается также поступательное движение твердых тел и движение материальных точек, то при решении приходится пользоваться не только основным уравнением динамики вращательного движения и законом сохранения момента импульса, но и соответствующими формулами из разделов механики, рассмотренных ранее.
А. Движение одного тела, имеющего закрепленную ось вращения
1.Найти тела, с которыми взаимодействует рассматриваемое тело. Показать на чертеже векторы сил и точки их приложения. Выяснить, создают ли эти силы вращающие моменты относительно заданной оси.
2.Записать основное уравнение динамики вращательного движения в векторной форме (3.1), затем в проекциях на ось вращения (3.2). Иногда удобно пользоваться формой записи (3.3). В правой части этих уравнений следует записывать в явном виде сумму моментов сил, найденных в п. 1.
3.Решение полученного уравнения позволяет найти искомую величину (ускорение, момент инерции, момент силы, силу).
4.Если требуется найти угловую скорость тела (либо линейные скорости отдельных его точек), то можно использовать энергетические соотношения, что особенно удобно в случае переменного углового ускорения (например, задача 3.3). Если к системе тело-Земля применим закон сохранения энергии, записать уравнение (2.9) для перехода из положения 1 в положение 2. При этом ∆Wп определяется изменением ∆h положения центра масс. Кинетические энергии выражаются по формуле (3.7). Это позволяет сразу найти угловую скорость, а затем линейные скорости интересующих точек.
5.Если действуют другие силы (внешние или диссипативные внутренние), совершающие работу, то по соотношению (2.7) можно найти изменение кинетической энергии и соответственно скорости тел. Это возможно, если работы упомянутых сил известны или могут быть непосредственно рассчитаны. Если, наоборот, известны скорости или кинетические энергии в двух положениях, это же соотношение позволяет рассчитать работу внешней или диссипативной внутренней силы.
Б. Движение системы тел
1.Установить наличие связей между телами и, если возможно, выяснить связь между кинематическими параметрами отдельных тел. При этом часто приходится накладывать дополнительные условия на связи: нерастяжимость нити, отсутствие скольжения нити по шкиву и т. п.
2.Найти тела, с которыми взаимодействует каждое из рассматриваемых тел, выяснить характер .этих взаимодействий и т. д., как в п. А.1.
3.Если силы, действующие на каждое из тел, постоянны или закон их изменения известен, то анализ и решение задачи о совместном движении тел проводится дальше так же, как в п. А. Динамические уравнения (1.1) и (3.1) записываются для каждого тела отдельно сначала в векторной форме, затем и проекциях на координатные оси. К полученным уравнениям должны быть добавлены условия связи между ускорениями отдельных тел и выражения для моментов инерции тел.
Если совместное движение тел происходит в конечном итоге под действием сил тяжести, то может быть использован энергетический метод, как в п. А.4. При этом учитывается изменение кинетической энергии всех тел системы (кроме Земли) и ее потенциальной энергии, обусловленной взаимодействием с Землей.
4.Если характер изменения сил при взаимодействиях не известен, то описанные выше методы не могут быть использованы. Однако, если в задаче требуется определить скорости тел до или после взаимодействия, то задача может быть решена с помощью законов сохранения. Для этого следует прежде всего выяснить, на какие отдельные процессы по характеру взаимодействий следует разбить весь процесс, а также установить, в каких процессах участвует каждое из тел и какие состояния должны быть рассмотрены.
5.Для каждого отдельного процесса выбрать тела, включаемые в систему. Тем самым устанавливается, какие силы, действующие на каждое тело, являются внутренними, а какие внешними.
6.Выяснить возможность применения к данной системе тел законов сохранения импульса и момента импульса и сделать дополнительные предположения, которые должны быть сделаны для выполнения этих законов, и оценить возможность таких предположений по условиям задачи.
7.Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю или внешними силами можно пренебречь, для такой, системы можно записать уравнение (2.1). Если
сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси, действующих на систему, равна нулю или моментами этих сил можно пренебречь, для такой системы можно записать уравнение (3.5).
8.Для получения скалярных соотношений законы сохранения (2.1) и (3.5) записать
впроекциях на координатные оси. Для скалярной записи закона сохранения момента импульса достаточно проекции на одну ось – ось вращения (уравнение (3.6)).
9.Если внутренние силы консервативны, а работой внешних сил можно пренебречь, возможно применение закона сохранения энергии в форме (2.8) или (2.9). Кинетическую энергию вращающихся тел найти по формуле (3.7).
Если. внешние или диссипативные внутренние силы совершают работу, то по величине этой работы в соответствии с выражением (2.7) может быть определено изменение энергии системы.
10.Скалярные уравнения (или система уравнений), полученные в пп. 8 и 9, позволяют рассчитать искомые скорости тел, их положения и т. д.
Задача 3.1
Блок в форме однородного диска (m0 = 0,2 кг) может вращаться вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массой m1 = 0,3 кг и m2 = 0,l кг. Найти ускорение грузов и силу давления блока на ось.
В движении участвуют три тела с заданными массами: два груза и блок, имеющий неподвижную ось вращения. Грузы движутся поступательно, блок вращается. Так как нить нерастяжима, ускорения обоих грузов одинаковы по модулю: a1 = a2 = a и равны ускорению любой точки нити. В предположении, что нить не проскальзывает по блоку, тангенциальное ускорение точек блока, соприкасающихся с нитью, равно по модулю ускорению нити и, следовательно, ускорению грузов. Поэтому, если радиус блока R, то
a = εR . (1)
Каждый из грузов взаимодействует (рис. 11) с Землей (силы m1g и m2g) и с нитью
(T1 и T2). Блок взаимодействует с Землей (m0g), с осью (N) и нитью ( T1′и T2′). Если нить считать невесомой, силы натяжения в любой ее точке остаются при движении по-