Материал: МЭИ(ТУ) Физика

тральным и упругим, найти: 1) во сколько раз изменится в результате удара кинетическая энергия второго тела (шарика); 2) на какую высоту поднимется первое тело (шар)?

Так как нить подвеса длинная, оба тела можно считать материальными точками. Тело m1 до взаимодействия покоилось, тело m2 двигалось горизонтально с заданной скоростью. Так как удар центральный и упругий, то после взаимодействия оба тела будут двигаться горизонтально, но с разными скоростями. В дальнейшем тело m1 благодаря действию нити движется по дуге окружности с радиусом, равным длине нити. Очевидно, здесь имеют место два отдельных процесса: соударение и движение тела m1, подвешенного на нити.

Рис. 9

В процессе удара на оба. тела, включаемых в систему, действуют силы тяжести и сила натяжения нити. Все эти силы направлены вертикально, перпендикулярно скоростям тел, следовательно, не совершают работы и не изменяют суммы проекций импульсов на горизонтальную ось х (рис.9). Силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь. Внутренние силы – силы упругой деформации – являются к тому же консервативными, поэтому в системе в результате соударения сохраняется как сумма проекций импульса на ось х, так и энергия системы, т. е. p1x = p2x, W1 = W2. При этом

p1x = m2 v , p2 x = m1u1 + m2 u2

(последнее выражение записано в предположении, что после удара оба тела движутся в направлении оси х). Согласно (2.2)

Потенциальная энергия упругой деформации и до, и после соударения равна нулю, поэтому закон сохранения энергии примет вид

Для решения системы уравнений (1) и (2), позволяющей найти скорости u1 и u2 после удара, ее следует переписать так:

m2 (v −u2 )= m1u1 , m2 (v2 −u22 )= m1u12 .

Разделив почленно второе уравнение на первое (v – u2 ≠ 0!), получим v + u2 = u1. Выра-

зив отсюда u2 и подставив в первое из написанных выше уравнений, найдем

u1 = 2m2 v . m1 + m2

Аналогично

u2 = m2 − m1 v . m1 + m2

Из полученных выражений видно, что скорость u1 положительна, т. е. действительно u1x = +u1. Так как т2 < т1, то u2 < 0, т. е. после удара второе тело изменяет направление движения на противоположное и в действительности u2x = –u2, следовательно

u2 = m1 − m2 v . m1 + m2

Выражение для u позволяет найти, во сколько раз изменяется кинетическая энергия второго тела в результате удара:

Для ответа на второй вопрос задачи следует рассмотреть второй процесс – движение тела т1 после удара из положения 1 в положение 2 (рис. 9), происходящее под действием сил тяжести и натяжения нити (силами сопротивления можно пренебречь) и являющееся криволинейным движением с переменным тангенциальным и нормальным ускорениями. Однако в системе шар-Земля сила тяжести является внутренней и консервативной, а сила натяжения нити все время перпендикулярна перемещению, поэтому не совершает работы. Следовательно, полная энергия системы шар-Земля при переходе из положения 1 в положение 2 остается постоянной. В положении 1

(выбор начала отсчета потенциальной энергии); в положении 2

Wк = 0 , Wп = m1gh .

Согласно (2.8)

Задача 2.6

Небольшое тело массой m, подвешенное на нити, отклоняют так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение тела и силу натяжения нити: 1) в начальном положении; 2) при прохождении телом положения равновесия; 3) в момент, когда нить составляет с вертикалью угол α.

Рис. 10

Рассматривается движение тела (материальной точки) заданной массы. В начальный момент тело неподвижно и поднято над положением равновесия на высоту h = l (l

– длина нити), Затем, так как нить нерастяжима, тело движется по дуге окружности радиуса R = l в вертикальной плоскости. Тело взаимодействует с Землей и нитью (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Сила тяжести mg постоянна, но образует переменный угол с направлением скорости. Сила Т натяжения нити переменна, направлена вдоль нити к точке подвеса, оставаясь все время перпендикулярной вектору перемещения. Так как требуется найти ускорение тела и одну из сил, то, очевидно, следует преж-

де всего использовать второй закон Ньютона, который для всех положений тела может быть записан одинаково в виде

ma = mg + T .

Решение целесообразно начинать с положения 3 (рис. 10), т. е. при произвольном угле α. Для перехода к скалярным соотношениям выберем, как обычно при криволинейном движении, координатные оси по касательной к траектории (ось х) и по нормали (ось у). В проекциях на эти оси ax = aτ, ay = an = v2/l и

Уравнение (2) содержит два неизвестных v и Т. Скорость v приобретена телом при перемещении из положения 1 в положение 3 под действием сил mg и Т, причем последняя работы не совершает, так как перпендикулярна перемещению. Поэтому, если рассмотреть систему тело-Земля, то сила mg будет внутренней и консервативной, следовательно, полная энергия этой системы не изменяется: W1 = W3. Выбрав начало отсчета потенциальной энергии в положении 2, запишем для положения 1

Wк1 = 0 , Wп1 = mgl ;

в положении 3

W к3 = m2v2 , Wп3 = mgh = mg(1 − cosα)

(рис. 10). Тогда согласно (2.8)

mgl = m2v2 + mgl (1−cosα),

откуда

v2 = 2gl cosα

и

Полное ускорение

Подставляя выражение для v2 в уравнение (2), найдем

Формулы (3)-(6) определяют значения искомых величин в положении 3. Подставляя в те же формулы значения угла α для положений 1 и 2 (соответственно π/2 и 0), найдем aτ1 = g, an1 = 0, a1 = aτ1 (направлено по касательной к траектории), T1 = 0; aτ2 = 0, an2 = 2g, a2 = an2 (направлено по нормали к точке подвеса), T2 = 3mg.

Как видно из полученных решений, при движении тела тангенциальное ускорение убывает от g до нуля, нормальное ускорение возрастает от нуля до 2g, полное ускорение изменяется по модулю и направлению, сила натяжения нити возрастает от 0 до

3mg.

3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Вращательное движение происходит под действием моментов сил, определяемых формулой Mi = [ri, Fi], причем вектор ri проводится от оси вращения к точке приложения силы в плоскости, перпендикулярной оси вращения (если вектор силы не расположен в этой плоскости, момент создается составляющей силы, лежащей в этой плоскости). В предлагаемых задачах моменты сил рассчитываются лишь относительно закрепленной оси вращения.

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

где I = ∑mi ri2 – момент инерция тела относительно оси вращения; ε = dωdt – угло-

i

вое ускорение тела. Векторы ε, M1, M2, ... направлены по оси вращения, поэтому векторное уравнение (3.1) эквивалентно скалярному уравнению

где εz, M1z, M2z ... – проекции соответствующих векторов на ось вращения, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Уравнение (3.1) может быть записано также в другом виде: