Материал: МЭИ(ТУ) Физика

альную энергию пружины по величине работы упругой силы не представляется возможным.

Рис. 6

Оба тела и пружину целесообразно рассмотреть как систему тел. В этом случае упругая сила пружины будет внутренней (притом консервативной) силой. Отсутствие силы трения и горизонтальность опоры (силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы) позволяет считать, что для этой системы при ее переходе из положения 1 в положение 2 (рис. 6) выполняется как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса:

В уравнении (1) Wп1 – искомая потенциальная энергия сжатой пружины; Wп2 = 0; кинетическая энергия системы в положении 1 Wк1 = 0, в положении 2

Первое слагаемое правой части уравнения (3) известно из условия задачи. Для нахождения второго слагаемого надо определить скорость v2 тела массой m2, что можно сделать на основании закона сохранения импульса (2). В проекциях на горизонтальную ось х (рис. 6) p1x = 0, p2x = m1v1 – m2v2 и, согласно (2.2),

Задача 2.3

Снаряд, имевший горизонтальную скорость v0 = 400 м/с, разорвался на высоте h = 400 м на две половины с массами m = 4 кг каждая, одна из которых достигла Земли точно под местом взрыва через t1 = 2 с. Найти модуль и направление скорости второй половины снаряда после разрыва.

До разрыва обе половины снаряда двигались горизонтально с одинаковой заданной скоростью на заданной высоте. После разрыва под действием сил давления пороховых газов оба тела двигаются в разных направлениях и, по-видимому, с разными скоростями. Движение одного из тел, назовем его первым, происходит в вертикальном направлении – свободное падение. Характер движения второго тела не известен.

Следует рассмотреть отдельно процесс разрыва снаряда и вертикальное движение его первой половины.

Рис. 7

При рассмотрении первого процесса (разрыв) в систему включим оба тела. Для этой системы силы давления являются внутренними силами, притом весьма большими; тогда внешними силами тяжести и сопротивления воздуха можно пренебречь и считать, что импульс системы остается постоянным: p1 = p2. Для записи этого закона в скалярных соотношениях оси координат удобно выбрать так, как на рис. 7. В проекциях на ось х

p1x = 2mv0 , p2 x = mu2 cosα ;

на ось у

Последнее уравнение записано в предположении, что скорость u2 направлена под углом α вверх; скорость u1, как следует из условия задачи, направлена вертикально (предположительно вниз).

Из системы уравнений (1), сократив на m, возведя в квадрат и почленно сложив оба уравнения, можно найти u2. Выражение, для tg α найдем почленным делением второго уравнения на первое. В результате получим

Для нахождения u2 и tg α по формулам (2) надо знать скорость первого тела. Для этого следует рассмотреть движение этого тела после разрыва (второй процесс). Если пренебречь сопротивлением воздуха, то оно движется с ускорением a = g. Начальная скорость u1, приобретенная при взрыве, вертикальна, следовательно, движение прямолинейное равнопеременное. Закон такого движения имеет вид

причем скорость u1 направлена вниз.

Из (2) получим u2 = 820 м/с, а направлена скорость u2 как раз так, как показано на рис. 7; α = arctg 0,24 = 3,5°.

Задача 2.4

На краю платформы (m1 = 30 кг), стоящей на горизонтальных рельсах, находится человек (m2 = 50 кг). Человек прыгает с платформы горизонтально вдоль рельсов, совершая при прыжке работу A = 320 Дж. Найти расстояние, на которое откатится платформа, если коэффициент трения между платформой и рельсами µ = 0,2.

Рис. 8

Рассмотрим движение двух тел с заданными массами, скорости тел до взаимодействия равны нулю. Человек отталкивает платформу с некоторой силой, но платформа действует на человека с такой же по модулю силой (третий закон Ньютона). Под действием этих сил оба тела приобретают некоторые скорости u1 и u2, направленные в противоположные стороны (рис. 8). Платформа после взаимодействия с человеком движется горизонтально до остановки. Очевидно, здесь имеют место два отдельных процесса: взаимодействие человека и платформы и движение платформы до остановки. Так как по условию задачи требуется найти расстояние, пройденное платформой, целесообразно начать с анализа второго процесса.

При движении платформа взаимодействует с Землей и с рельсами. Так как рельсы горизонтальны, то силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы, и движение происходит лишь под действием силы трения между платформой и рельсами fтр = µN = µm1g, которая направлена противоположно скорости платформы u1. Если, как обычно, силу трения считать постоянной, ускорение также будет постоянным a = fтр/m1 = µg и расстояние l, пройденное платформой до остановки, может быть найдено по формуле прямолинейного равнозамедленного движения при начальной скорости v0 = u1 и конечной скорости, равной нулю:

Последнюю формулу можно получить и из энергетических соображений: изменение кинетической энергии платформы ∆Wпл на расстоянии l (до остановки) равно работе силы трения Aтр. Так как

Aтр = − f трl = −µm1 gl ,

а

∆ = − m u2

W пл 1 1 ,

2

Скорость u1 найдем из анализа процесса взаимодействия человека с платформой. Если в систему включить эти два тела, то силы взаимодействия между ними будут внутренними. При горизонтальном прыжке внешние силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы, а силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь. Следовательно, импульс системы остается постоянным: p1 = p2. В проекциях на ось x, показанную на рис. 8:

p1x = 0 , p2 x = m1u1 − m2 u2 .

Тогда согласно (2.2)

0 = m1u1 − m2 u2 и u2 = m1 u1 . m2

Так как внешние силы, действующие на систему во время прыжка, работы не совершают, то кинетическая энергия, приобретенная системой, равна работе, совершенной человеком:

Задача 2.5

На длинной нити подвешен шар массой m1 = 2 кг, в который ударяется шарик массой m2 = 0,2 кг, летевший горизонтально со скоростью v = 20 м/с. Считая удар цен-