Материал: МЭИ(ТУ) Физика

При прямолинейном движении удобно одну из осей, например ось х, выбрать по направлению ускорения (тогда ось у будет перпендикулярна вектору a). В этом случае ax = a (или ax = –a), ay = 0.

При криволинейном движении одну из осей (например, ось х) направляют по касательной к траектории, вторую (ось у) – по нормали по направлению к центру кривизны. В этом случае ax = aτ = dv/dt (v – скорость точки) есть тангенциальное ускорение; ay = an

= v2/ρ = ω2ρ – нормальное ускорение, ρ – радиус кривизны траектории в данной точке;

ω– угловая скорость.

7.Полученные в п. 6 скалярные соотношения составят систему уравнений, решение которой даст искомые модули и направления ускорений и сил.

8.Если в задаче рассматривается совместное движение нескольких тел, то после п. 4 следует установить соотношения между ускорениями этих тел. При этом часто приходится накладывать дополнительные условия на свойства связей, например, нерастяжимость нити и т. п. Дальнейшие операции следует проводить для каждого тела в отдельности. Для записи скалярных соотношений оси координат можно выбирать для каждого тела отдельно.

Задача 1.1

К концам шнура, перекинутого через блок, подведены грузы m1 = 50 г и m2 = 75 г. Пренебрегая трением и массами шнура и блока, найти ускорения грузов, натяжение шнура и показания динамометра, к которому подвешен блок.

Грузы заданной массы движутся прямолинейно и равноускоренно, поскольку все силы, действующие на грузы и показанные на рис. 1, постоянны. Ускорения a1 и a2 грузов численно равны, если шнур нерастяжим.

Уравнения движения грузов:

По третьему закону Ньютона силы натяжения нити T1 = –T1', T2 = –T2' (см. рис. 1); T1 = T1' = T2 = T2', так как массами шнура и блока можно пренебречь. Из нерастяжимости нити следует, что a1 = a2 = a.

Для получения скалярных соотношений выберем для первого тела координатную ось, направленную вверх, для второго – вниз. В проекциях на эти оси уравнения (1) примут вид

m1a =T − m1 g ; m2 a = m2 g −T .

Решая эту систему относительно a и T, получим

Показание динамометра равно сумме сил натяжения двух концов шнура:

F = 2T = 4m1m2 g =11,8 Н . m1 + m2

a1

a2

Задача 1.2

К потолку вагона, движущегося горизонтально, поступательно и прямолинейно с ускорением a0 = 2 м/с2, подвешен на нити груз массой m = 200 г. Найти силу натяжения нити Т и угол α ее отклонения от вертикали.

Рассмотрим движение вагона и груза. Если считать, что груз неподвижен относительно вагона (установившееся состояние), то ускорение груза a = a0. Следовательно, груз движется прямолинейно с постоянным и известным ускорением.

Груз взаимодействует с Землей (сила тяжести mg направлена вертикально вниз) и с нитью (сила натяжения Т направлена вдоль нити вверх), как показано на рис. 2.

Второй закон Ньютона для груза запишется так:

ma = mg + T .

Так как действующие силы лежат в одной плоскости, но не коллинеарны, для получения скалярных соотношений следует выбрать две координатные оси, одна из кото-

рых х горизонтальна и направлена по ускорению, другая у направлена вертикально вниз. При таком выборе осей ax = a0, ay = 0 и в проекциях на координатные оси

ma0 =T sinα , 0 = mg −T cosα .

Решая эту систему, найдем

α = arctg ag0 = arctg 0,2 =11,5o ; T = m g2 + a02 = 2 Н .

Задача 1.3

Грузик массой m = 0,1 кг), подвешенный на нити длиной l = 1 м, движется в горизонтальной плоскости по окружности, при этом нить образует с вертикалью постоянный угол α = 37°. (Такая система называется коническим маятником, так как нить описывает коническую поверхность.) Найти угловую скорость ω груза и силу Т натяжения нити.

Рис. 3

Грузик движется по окружности, следовательно, обладает нормальным ускорением an = ω2R; радиус окружности R = l sin α (рис. 3). Грузик взаимодействует с Землей и нитью, причем векторы mg и Т расположены в вертикальной плоскости.

Второй закон Ньютона для груза запишется так:

ma = mg + T .

Так как вектор скорости v все время перпендикулярен вертикальной плоскости, в которой расположены оба вектора силы, для перехода к скалярным соотношениям нужно ввести три координатные оси: ось х – по касательной к траектории (перпендику-

Рассмотрим поступательное прямолинейное движение двух тел. Доска взаимодействует с Землей (сила тяжести m1g), со столом (сила нормальной реакции N1) и с грузом

(силы нормального давления Fд и трения fтр′ ). Груз взаимодействует с Землей (m2g) и

приложена горизонтальная сила F, направленная так, как показано на рис. 4 (вправо).

Сила трения f ′′ , действующая на груз независимо от того, движется он относительно

тр

доски или нет, направлена в сторону, противоположную его возможной относительной скорости, т. е. противоположно силе F (влево). Соответственно сила fтр′ , действующая

Уравнения второго закона Ньютона для каждого тела:

Для перехода к скалярным соотношениям достаточно двух координатных осей х и у, показанных на рис. 4.

В проекциях на ось х a1x = a1, a2x = a2 и

Величина fтр зависит от силы нормальной реакции N2, действующей на груз; последняя может быть найдена из уравнения для груза в проекциях на ось у. Так как

Сила F стремится вызвать движение груза относительно доски и в зависимости от величины этой силы возникающая между доской и грузом сила трения fтр будет либо силой трения покоя, либо силой трения скольжения. В соответствии с этим ускорения доски и груза а1 и а2 относительно стола будут либо одинаковыми, либо разными.

В первом случае (первый вопрос задачи) груз относительно доски не движется, следовательно, а1 = а2 = a, а сила трения является силой трения покоя, т. е. fтр ≤ µN2, причем из уравнения (2) N2 = m2g. Совместное решение уравнений (1) с учетом равенства ускорений дает

Подставляя максимальное значение силы трения покоя, найдем