Материал: МЭИ(ТУ) Физика

γ= C p = i +2 .

CV i

Работу газа при адиабатном процессе удобнее рассчитывать не по общей формуле (4.3), а из первого начала термодинамики (4.1).

Решение задач этого параграфа рекомендуется начинать с качественного рассмотрения, используя графики процессов и первое начало термодинамики в общем виде. Только после этого следует приступать к количественному решению задачи.

Качественное решение задач следует проводить в такой последовательности.

1.Выяснить, в каком процессе или в каких процессах участвует рассматриваемый газ, как изменяются при этом параметры состояния газа.

2.В координатах p, V построить графики рассматриваемых процессов (на одном чертеже) и указать направления процессов.

3.Используя первое начало термодинамики, выяснить из условия задачи и построенных графиков (для каждого из процессов), является ли работа газа положительной или отрицательной, возрастает или убывает внутренняя энергия газа, поглощает или отдает газ тепло.

4.Если по условию задачи требуется сравнить несколько различных процессов, то из построенных графиков выяснить соотношение между величинами, входящими в первое начало термодинамики, в сравниваемых процессах.

Количественное решение задачи проводится в такой последовательности:

1.Если сравниваются несколько процессов, то решение проводится последовательно для каждого из сравниваемых процессов.

2.Если рассматривается сложный процесс, который можно разбить на несколько отдельных стадий, то решение проводится последовательно для каждой из стадий.

3.Если газ назван, то считаются известными его молярная масса µ и число степеней свободы i молекулы.

4.Записать первое начало термодинамики в общем виде (4.1), а затем для рассматриваемого процесса.

5.Выражения для количества теплоты, работы газа и изменения его внутренней энергии могут быть получены из общих формул (4.2), (4.3) и (4.4). Если какие-либо из величин, входящих в эти формулы, неизвестны, то для их нахождения использовать уравнение состояния (1.1), записанное для начального и конечного состояний, а также

уравнения процессов (1.2), (1.3), (1.4) и (4.7). Работу при адиабатном процессе (Q = 0) удобнее рассчитывать непосредственно из первого начала термодинамики (4.1).

6. Полученные в пп. 4 и 5 соотношения позволяют найти искомые величины.

Задача 4-1

Трехатомный газ, занимающий при давлении р = 0,5·105 Па объем V1 = 0,004 м3, сжимается изобарно до объема V2 = 0,003 м3. Найти изменение внутренней энергии, количество теплоты, которым газ обменивается с окружающей средой, и работу газа.

Рассматривается процесс изобарного сжатия трехатомного газа, i = 6. Начальный и конечный объемы заданы.

График рассматриваемого процесса 1-2 показан на рис.4.

Так как V1 > V2, работа газа A12 < 0, т. е. внешние силы совершают положительную работу против сил давления газа.

При изобарном процессе объем газа прямо пропорционален его температуре, следовательно, температура газа убывает, и U = U2 – U1 < 0.

На основании первого начала термодинамики Q12 = ∆U + A12 < 0, т. е. в рассматриваемом процессе газ отдает тепло окружающим телам.

Изменение внутренней энергии газа согласно (4.2):

∆U = 2i mµ R(T2 −T1 )= 2i p(V2 −V1 )= −1,5 102 Дж .

Количество теплоты, отданное газом, может быть рассчитано по (4.4) с учетом

(4.6):

Q12 = i +2 2 mµ R(T2 −T1 )= i +2 2 p(V2 −V1 )= −2,0 102 Дж .

Работа с газа может быть найдена из первого начала термодинамики (4.1) или непосредственно по формуле (4.3)

A12 =Q12 − ∆U = p(V2 −V1 )= −0,5 102 Дж .

Задача 4-2

Азот в количестве m = 0,14 кг нагревается от температуры T1 = 300 К до температуры T2 = 400 К. Найти изменение внутренней энергии и количество теплоты, которым

газ обменивается с окружающими телами, в двух случаях: 1) процесс изохорный, 2) процесс изобарный. Начальный объем в обоих случаях одинаков.

Рассматривается процесс нагревания известного газа (µ = 28·10-3 кг/моль, i = 5) заданной массы.

Графики рассматриваемых процессов показаны на рис. 5. Точка 1 соответствует начальному состоянию, одинаковому для обоих процессов; точки 2 и 3 соответствуют конечному состоянию при изохорном и изобарном процес-

сах и, согласно условию задачи, лежат на одной изотерме, Рис. 5 показанной пунктиром.

Работа газа при изохорном процессе A12 = 0, при изобарном процессе A13 < 0.

Газ нагревается, поэтому в обоих процессах внутренняя энергия возрастает. Так как по условию задачи T2 = T3, то ∆U12 = ∆U13.

Согласно первому началу термодинамики, газ в обоих процессах получает тепло, причем Q13 > Q12 > 0.

При изохорном процессе

Q12 = ∆U12 = 2i mµ R(T2 −T1 )=1,04 104 Дж .

При изобарном процессе

∆U13 = ∆U12 =1,04 104 Дж , Q13 = ∆U13 + A13 ,

однако количество теплоты Q13 можно рассчитать и непосредственно:

Q13 = i +2 2 mµ R(T2 −T1 )=1,45 104 Дж .

Задача 4-3

Двухатомный газ, занимавший при давлении р = 1,2·105 Па объем V1 = 0,005 м3, изобарно расширился до объема V2 = 3/2 V1, затем в результате изохорного процесса давление газа уменьшилось в 1,5 раза. Найти работу газа, изменение внутренней энергии и количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами, в течение всего процесса.

Изменение внутренней энергии можно найти по формуле (4.2). Используя уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1) для состояний 1 и 2, получим

∆U12 = 2i p1 (V2 −V1 )= 7,5 102 Дж .

Из первого начала термодинамики

Q12 = ∆U12 + A12 =10,5 102 Дж .

Количество теплоты можно также найти непосредственно по формуле (4.4)

Q12 = mµ C p (T2 −T1 )= i +22 p1 (V2 −V1 ).

Рассмотрим процесс 2-3 (V = const, p/T = const). Как уже было выяснено, A23 = 0 и

Q23 = ∆U23 = 2i mµ R(T3 −T2 ).

Используя уравнение Клапейрона-Менделеева для состояний 2 и 3 и учитывая, что p2 = p1, получим

Q23 = 2i V2 (p3 − p1 )= −7,5 102 Дж .

Суммарная работа за весь процесс 1-2-3

A13 = A12 + A23 = 3,0 102 Дж .

Изменение внутренней энергии в течение всего процесса

∆U13 = ∆U12 + ∆U23 = 0 .

Этот результат можно было предугадать на основании условия задачи: в процессе 1-2 V2/V1 = T2/T1 = 3/2, в процессе 2-3 p2/p3 = T2/T3 = 3/2, следовательно, T3/T1 = 1, то есть

T3 – T1 = 0 и ∆U13 = 0.

Количество теплоты, которым газ обменивается с окружающей средой в течение всего процесса,

Q13 = Q12 +Q23 = 3,0 102 Дж ,

т. е. в итоге всего процесса газ получает тепло от окружающих тел.

Задача 4-4

Аргон, взятый в количестве m = 0,04 кг и находившийся при температуре T1 = 250 К, расширяется так, что его объем возрастает в 2 раза. Найти изменение давления и температуры газа, работу, совершенную газом, изменение его внутренней энергии и количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами. Рассмотреть два случая: 1) процесс протекает изобарно, 2) процесс протекает изотермически. Начальный объем в обоих случаях одинаков.

При изобарном расширении V/T = const, следовательно, температура газа растет, T2 > T1 и ∆U12 > 0. При изотермическом расширении T1 = T2 и ∆U13 = 0.

Согласно первому началу термодинамики газ в обоих случаях получает тепло от окружающих тел: Q12 > 0 и Q13 > 0, причем Q12 > Q13.

Рассмотрим процесс 1-2: p = const, V/T = const. Следовательно, p1 = p2, T2/T1 = = V2/V1 = 2.

Работа газа при изобарном процессе согласно (4.3) и (1.1)