pV |
1 |
ln |
V2 |
− |
p1V1 |
ln |
V2 |
||||||||||||
1 |
V1 |
n |
V1 |
||||||||||||||||
η = |
. |
||||||||||||||||||
pV |
V |
2 |
+ |
i |
pV |
− |
1 |
||||||||||||
ln |
1 |
||||||||||||||||||
1 1 |
V1 |
2 1 1 |
n |
||||||||||||||||
Из последнего выражения видно, что неизвестное давление p1 сокращается. После преобразований получим
n −1 |
|||||||
η = |
= 0,15 . |
||||||
n + |
i(n −1) |
||||||
2 ln |
V2 |
||||||
V1 |
|||||||
Как видно из рис. 11, Tmax = T1, Tmin = T1/n. Следовательно, КПД цикла Карно, совершающегося между этими температурами, согласно (5.2):
ηК = nn−1 = 0,33 .
Заметим, что в выражение для коэффициента полезного действия рассматриваемого цикла входит i – число степеней свободы молекул газа, т. е. КПД этого цикла, в отличие от цикла Карно, зависит от природы рабочего тела.
Задача 5-4
Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов, причем изобарный процесс является процессом нагревания от температуры T1 = 200 К до температуры T2 = 600 К. Рабочим телом является идеальный газ. Найти: 1) КПД этого цикла; 2) КПД цикла Карно, совершаемого между максимальной и минимальной температурами рассматриваемого цикла.
Рассматривается неизвестный идеальный газ, совершающий цикл, состоящий из трех заданных процессов, причем последовательность процессов в условии задачи не оговорена.
Так как это цикл теплового двигателя, то работа газа за цикл положительна (Aц > 0). Известно также, что изобарный процесс является процессом нагревания, следовательно, и процессом расширения (так как V/T = const). Эти два условия позволяют считать, что в координатах р-V прямая, изображающая изобарный процесс, лежит выше кривых, изображающих изотермический и адиабатный процессы. При этом последовательность
где mµ и i – неизвестные из условий задачи число количество вещества и число степе-
ней свободы молекулы.
Количество теплоты, отданное в процессе 3-1, равно работе газа в этом процессе и может быть найдено по формуле (4.3). После подстановки выражения для давления из уравнения Клапейрона-Менделеева получим
Q |
31 |
= |
A |
31 |
= m RT |
1 |
ln |
V1 |
, |
|||||
µ |
V3 |
|||||||||||||
причем отношение объемов V1/V3 неизвестно. Это отношение можно получить из уравнений изобары 1-2 и адиабаты 2-3:
V2 |
T2 |
γ −1 |
T2 |
||||||||
= |
V3 |
= |
. |
||||||||
, |
|||||||||||
V1 |
T1 |
T1 |
|||||||||
V2 |
|||||||||||
Извлекая корень степени (γ – 1) из второго уравнения и умножая почленно на первое уравнение, получим:
V3 |
γ |
|||||
γ −1 |
||||||
T2 |
||||||
V1 |
= |
. |
||||
T1 |
||||||
Таким образом,
Q |
= m RT |
γ |
ln |
T1 |
= m RT |
γ |
ln |
T2 |
. |
(3) |
|||||||
31 |
1 γ −1 |
1 γ −1 |
|||||||||||||||
µ |
T2 |
µ |
T1 |
||||||||||||||
Подставляя выражения (2) и (3) в (1) и сокращая одинаковые сомножители, полу-
чим
i +2 |
(T |
2 |
−T |
1 |
)− |
γ |
T |
1 |
ln |
T2 |
||||||
2 |
||||||||||||||||
η = |
γ −1 |
T |
1 |
. |
||||||||||||
i +2 |
(T2 −T1 ) |
|||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
Так как γ = i +i 2 , то после преобразований имеем
η =1− |
T1 |
ln |
T2 |
= 0,45 . |
||
T2 |
−T1 |
T1 |
||||
Коэффициент полезного действия цикла Карно, совершаемого между максимальной T2 и минимальной T1 температурами рассматриваемого цикла согласно (5.2):
ηК = 0,67
6. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛЫ
Согласно молекулярно-кинетической теории среднее число соударений, испытываемых молекулой за единицу времени,
Z = 2πd 2 n v , |
(6.1) |
где п – концентрация молекул, v – средняя скорость молекул, рассчитываемая по
формуле (3.5), d – эффективный диаметр молекулы.
Эффективный диаметр молекулы, строго говоря, зависит от температуры газа. Однако в первом приближении его можно считать постоянным для молекул данного газа. Его значения находят в соответствующих таблицах. Произведение πd2 пропорционально эффективному сечению молекулы.
Средняя длина свободного пробега молекулы
λ = |
v |
= |
1 |
|
Z |
2πd 2 n . |
(6.2) |
Анализ и решение задач этого параграфа проводятся в такой последовательности:
1.Выяснить, что является объектом задачи: идеальный газ в равновесном состоянии или некоторый квазистатический процесс.
2.В случае равновесного или квазиравновесного состояния газа величины λ, Z могут быть рассчитаны по формулам (6.1) и (6.2). Эффективный диаметр молекулы, если он не задан, находится из таблиц. Остальные величины находятся по соответствующим формулам: например, средняя скорость по формуле (3.5), концентрация по формуле (2.1). Если газ назван, то его молярную массу следует считать известной.
3.Если газ переходит из одного равновесного состояния в другое, то для нахождения изменения средней длины свободного пробега следует найти соотношения между параметрами начального и конечного состояний газа (см., например, задачу 6-2) и найти характер зависимости средней длины свободного пробега от параметров состояния газа. При этом могут быть использованы уравнение Клапейрона-Менделеева и уравнения процессов.