3.32.Цепь длиной l = 2,0 м лежит на гладком столе, наполовину свешиваясь с его края. Найти скорость цепи в тот момент, когда она, соскользнув со стола, целиком займет вертикальное положение. Трением пренебречь.
3.33.Капля с начальной массой т падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную m0. Какова работа А силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
4. Динамика движения материальной точки по окружности
Применяя второй закон Ньютона к телу, движущемуся по окружности радиуса R, удобно в качестве одной из координатных осей выбрать ось, направленную к центру, так как именно в эту сторону направлено нормальное (центростремительное) ускорение
тела: an = v2 ; v – скорость тела в данной точке.
R
4.1.Небольшой груз подвешен на нити длиной l, равной 120 см; нить отклоняют от вертикали и сообщают грузу некоторую скорость в горизонтальном направлении, благодаря чему он движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Найти период вращения груза вокруг вертикальной оси, если нить составляет угол
α= 20° с вертикалью.
4.2.С какой начальной горизонтальной скоростью должен вылететь снаряд из орудия, чтобы он облетел Землю параллельно ее поверхности (первая космическая скорость) при отсутствии трения о воздух? R3 – радиус Земли, принять его равным
6370 км.
4.3.Люстра массой m = 100 кг висит на цепи. На какой наибольший угол можно отклонить люстру от вертикального положения, чтобы при последующих ее качаниях цепь не оборвалась, если цепь выдерживает напряжение F = 1960 Н?
4.4.Груз массой т подвешен на нити длиной l и колеблется, совершая размахи на угол α в ту и другую стороны. а) Найти натяжение нити в крайних положениях и в среднем. б) При размахе на какой угол α1 натяжение нити в среднем положении вдвое больше силы тяжести груза? в) При каком угле α2 полное ускорение груза в крайнем положении |а2| равно полному ускорению в среднем положении |a0|?
4.5.На нити длиной l = 1 м висит груз массой т равной 2 кг. Грузу сообщают горизонтальную скорость v = 5 м/с. Каково натяжение нити в тот момент, когда она займет горизонтальное положение?
4.6.Грузик привязан к нити, другой конец которой прикреплен к потолку. Вследствие толчка грузик движется по окружности, плоскость которой отстоит от потолка на расстоянии h = 98 см. Какова угловая скорость грузика?
4.7.На какой угол должно быть наклонено к горизонту полотно железной дороги на закруглении радиуса кривизны R = 200 м, чтобы вагон, идущий со скоростью
O 2
Рис. 4.1 Рис. 4.2
4.14. Тело соскальзывает с вершины полусферы, поставленной своим основанием на горизонтальную плоскость. Пренебрегая трением, найти: а) на каком расстоянии от плоскости тело оторвется от поверхности сферы; б) радиус кривизны траектории в момент перед падением на горизонтальную плоскость. Радиус полусферы R = 30 см
(рис. 4.2).
5. Динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения момента импульса
В ряде следующих задач фигурирует весомый блок. Если такой блок вращается с ускорением под действием перекинутой через него нити, силы натяжения этой нити по разные стороны от блока различны по величине. Как этого требует основное уравнение динамики вращательного движения, Iε = ∑M = (T1 −T2 )r . Здесь I, ε и r – момент инер-
ции, угловое ускорение и радиус блока. Моменты сил натяжения Т1 и Т2 направлены в разные стороны, поэтому записаны с разными знаками. В написанном равенстве положительное направление координатной оси совпадает с направлением момента большей силы натяжения М1 = Т1r.
Кроме рассмотренного уравнения, для решения задач следует записывать также II закон Ньютона для тел, движущихся поступательно, и использовать связь между угловым ускорением блока и линейным ускорением нити, предполагая, что нить по блоку не проскальзывает.
5.1.Тонкая прямоугольная пластинка массой т имеет размеры а и b. Найти момент инерции этой пластинки относительно оси, проходящей через центр масс пластинки: а) параллельно а; б) перпендикулярно плоскости пластинки.
Указание. Пластинку удобно рассматривать как ряд параллельных тонких стерж-
ней.
5.2.Найти момент инерции тонкой сферической оболочки массой т относительно оси, проходящей через ее центр. Радиус оболочки R.
Указание. Разбить сферическую оболочку на ряд тонких колец с общей осью вращения. Интегрирование удобно вести по углу между осью вращения и радиусом оболочки, проведенным к рассматриваемому кольцу.
5.3.Через блок, массу которого m = 0,5 кг можно считать сосредоточенной на ободе, перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1 = 0,5 кг и m2 = 0,1 кг. Предоставленные самим себе грузы приходят в движение. Принимая, что нить не скользит по колесу во время движения, найти ускорение грузов и силу давления, оказываемоего системой на ось колеса во время движения грузов.
5.4. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две невесомые нерастяжимые нити, к которым подвешены грузы m1 = 0,3 кг и m2 = 0,2 кг (см. рис. 5.1). Найти угловое ускорение блока и натяжение нитей, если мо-
мент инерции |
блока I = 0,01 кг·м2, а радиусы шкивов r1 = 0,2 м и r2 = 0,1 м. |
r1 |
Рис. 5.1 Рис. 5.2
5.5. Маховик В массой т = 1000 кг жестко связан со шкивом А (см. рис. 5.2). К окружности шкива, радиус которого r = 0,2 м, приложена постоянная сила F = 100 Н. Масса маховика распределена по его ободу на расстоянии R = 1 м от оси вращения. Через какой промежуток времени угловая скорость маховика достигнет значения
ω= 5 рад/с?
5.6.Груз массой m = 10 кг, падая, тянет нить, перекинутую через невесомый блок А и намотанную на шкив В радиуса r = 0,4 м, к которому прикреплены четыре спицы с
точечными грузами m1 = 1,0 кг каждый. Грузы закреплены на расстоянии R = 0,5 м от оси вращения (см. рис. 5.3). Момент инерции шкива В со спицами I0 = 1,0 кг·м2. Найти натяжение нити.
B
Рис. 5.3 |
Рис. 5.4 |
5.7.На диск массой m = 6 кг намотана нить, один конец которой прикреплен к потолку (см. рис. 5.4). Предоставленный самому себе диск падает вниз, разматывая нить. Найти ускорение центра масс диска при его падении и натяжение нити.
5.8.Маховик, представляющий собой однородный диск радиусом R = 8 см с массой m = 49 кг, вращается, делая n = 600 об/мин. Его останавливают, придавливая тормоз-
ную колодку к поверхности маховика с силой F=392 Н. Сколько оборотов сделает маховик за время торможения, если коэффициент трения колодки о поверхность диска
µ= 0,3?
5.9.По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30°, скатывается без скольжения под действием силы тяжести диск. С каким ускорением будет двигаться параллельно наклонной плоскости центр тяжести диска?
Указание. При качении тело участвует в двух движениях: поступательном вместе с центром масс и вращательном относительно центра масс.
Для поступательного движения скатывающегося с наклонной плоскости тела следует применить теорему о движении центра масс. Рассматривая вращательное движение скатывающегося тела, нужно обратить внимание на то, что центр тяжести движется ускоренно, и поэтому система отсчета, связанная с ним, не инерциальна. Законы динамики в такой системе можно применять, если кроме реально действующих сил ввести силу инерции, равную произведению массы тела на ускорение системы со знаком минус. Однако вращательного момента она не создает, так как сила инерции должна быть приложена к центру масс. Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения в неинерциальной системе, связанной с центром масс, оказывается таким же, как если бы система была инерциальной.
Основное уравнение для вращения можно записать еще относительно мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения катящегося тела с плоскостью (в каждый данный момент скорость этой точки равна нулю). В этом случае момент инерции катящегося тела следует рассчитывать по теореме Штейнера.
5.10.Колесо, скатившись по наклонной плоскости, получило скорость v = 20 м/с.
Найти угол, который наклонная плоскость составляет с горизонтом, если колесо скатилось с нее за время τ = 5 с. Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу.
5.11.Колесо вкатывается без скольжения на наклонную плоскость, составляющую
сгоризонтом угол α, под действием постоянной силы F, приложенной к оси колеса и направленной вдоль наклонной плоскости. Найти ускорение центра масс колеса. Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу.
5.12.Маховик А приводится во вращение так, как показано на рис. 5.5. Момент инерции маховика I, радиус r, масса груза B равна m, коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью µ (наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α). Найти угловую скорость маховика ω как функцию времени.