r
Рис. 5.5 |
Рис. 5.6 |
5.13.Через невесомый блок перекинута нить; к одному концу нити прикреплен груз массой m = 0,5 кг, другой конец нити намотан на цилиндрический шкив той же массы и радиуса r = 0,1 м (см. рис. 5.6). Груз и шкив предоставляются самим себе. Найти натяжение нити во время движения груза и шкива и угловое ускорение шкива. При решении задачи принять, что центр шкива движется по вертикальной прямой.
5.14.Две нити намотаны на ступенчатый блок и к их свободным концам прикреплены грузы, как показано на рис. 5.7. Найти ускорения грузов в системе при следую-
щих данных: момент инерции блока относительно оси вращения I = 0,01 кг·м2, m1 = 5 кг, m2 = 2 кг, α = 30°, r1 = 0,08 м, r2 = 0,04 м. Трение не учитывать.
Рис. 5.7 |
Рис. 5.8 |
5.15.На горизонтальной плоскости лежит цилиндр массой m1 = 10,0 кг. На цилиндр намотана нить, к свободному концу которой прикреплен груз массой m2 = 5,0 кг. Нить перекидывается через невесомый блок и система предоставляется самой себе (рис. 5.8). Предполагая, что цилиндр катится по плоскости без скольжения и нить не провисает, найти ускорения груза и центра масс цилиндра, а также силу натяжения нити.
5.16.На цилиндр массой m1 = 1,0 кг намотана нить, перекинутая через невесомый блок, вращающийся без трения (см. рис. 5.8), к концу нити привязан груз массой m2 = 1,0 кг. Трение между поверхностью цилиндра и плоскостью отсутствует. Найти ускорение цилиндра, груза и натяжение нити.
5.17.К тележке, стоящей на горизонтальной плоскости, привязана нить, перекинутая через укрепленный у края стола невесомый блок; к концу нити прикреплен груз
массой m1 = 500 г. Найти ускорение тележки, если масса платформы тележки m2 = 1,40 кг, масса каждого колеса m3 = 400 г. Колеса представляют собой сплошные диски и катятся по поверхности стола без скольжения (тележка имеет четыре колеса) (см. рис. 2.1, б).
5.18.На двух цилиндрических катках радиусом R и массой т каждый, лежащих на горизонтальной плоскости, находится доска массой т1, к которой приложена горизонтальная сила, Найти величину этой силы, если угловое ускорение катков ε. Считать, что скольжение отсутствует.
5.19.На горизонтальном столе лежит катушка с намотанной на нее ниткой. Нитка перекинута через невесомый блок и к концу ее подвешен груз т1. Принимая, что катушка катится без проскальзывания, найти ускорения центра масс катушки и груза. Масса катушки т, момент инерции I, характерные размеры R и r (см. рис. 5.9).
1 |
|
Рис. 5.9 |
Рис. 5.10 |
5.20.По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α, катится вверх без проскальзывания катушка с намотанной на нее ниткой. Нитка перекинута через невесомый блок и к ней привязан груз массой т1 (см. рис. 5.10). Найти ускорение груза и центра тяжести катушки, считая момент инерции катушки равным I, массу катушки т2. Радиусы катушки R и r.
5.21.Найти кинетическую энергию цилиндрического снаряда радиусом r, вылетающего из орудия со скоростью v. Шаг винтовой нарезки ствола h, масса снаряда т.
5.22.Тупоконечная пуля за время равноускоренного движения в стволе ружья по его нарезкам сделала n = 20 оборотов. Время движения пули в стволе t = 0,004 с. Длина ствола ружья l = 0,5 м. Какой кинетической энергией обладает пуля при вылете из ствола? Пуля представляет собой цилиндр, масса которого m = 0,02 кг, радиус пули r = 0,005 м.
5.23.При n = 5 об/с кинетическая энергия маховика Wк, вращающегося вокруг оси, равна 1000 Дж. Какую силу надо приложить по касательной к его ободу, чтобы за вре-
мя τ = 30 с уменьшить число оборотов в k (k = 2) раз? Маховик представляет собой сплошной диск радиуса R = 20 см.
5.24.Маховик с моментом инерции I = 0,5 кг·м2 соединен со шкивом радиуса r = 4 см. На шкив навернута нить, к концу которой привязан груз массой m = 500 г. Груз устанавливают на высоте h = 1 м от поверхности пола. С каким числом оборотов в секунду будет вращаться маховик, когда груз достигнет пола?
5.25.Под действием вращающего момента, равного М, маховик стал вращаться равноускоренно. Найти кинетическую энергию маховика через время τ после начала движения. Момент инерции маховика I.
5.26.Нить намотана на цилиндрический блок массой т1 = 2,40 кг. К свободному концу нити привязан груз массой m2 = 400 г. Найти ускорение груза и его кинетическую энергию после того, как груз пройдет расстояние h = 80 см.
5.27.Однородный стержень длиной l = 4,0 м может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. Какую горизонтальную скорость необходимо сообщить нижнему концу стержня, чтобы последний достиг горизонтального положения?
Указание. Движение стержня удобно рассматривать как чисто вращательное относительно неподвижной оси. Не забудьте, что изменение потенциальной энергии определяется по изменению положения центра тяжести тела.
5.28.Однородный стержень длиной l = 1 м может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его длине, отстоящей от одного из концов стержня на расстояние h = 0,3 м. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Найти линейную скорость центра масс при прохождении стержня через вертикальное положение.
5.29.Обруч скатывается без скольжения по наклонной плоскости, высота которой h = 0,2 м. Найти скорость обруча в нижней точке наклонной плоскости.
Указание. При качении без скольжения имеется сила трения, которая создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс катящегося тела. Так как проскальзывание отсутствует, работа этой силы трения равна нулю.
5.30.Обруч и диск одинаковых масс и диаметров скатывают с одной и той же наклонной плоскости. Диск скатывается быстрее, чем обруч, на τ = 0,155 с и приобретает
вконце наклонной плоскости скорость v1 = 4 м/с. Найти длину наклонной плоскости.
5.31. По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30°, катятся без скольжения сплошной и полый цилиндры одинакового радиуса и одинаковой массы m = 1,0 кг, скрепленные стержнем, как показано на рис. 5.11. Найти ускорение
центра тяжести системы и натяжение в стержне. Стержень счи- Рис. 5.11 тать невесомым.
5.32.Тонкий невесомый стержень длиной l = 0,80 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину и перпендикулярной его длине. К концам стержня прикреплены небольшие тела массами m1 = 0,80 кг и m2 = 0,20 кг. Стержень приводят в горизонтальное положение и предоставляют самому себе. Найти угловую скорость и угловое ускорение стержня в зависимости от угла поворота. Тела m1 и т2 считать точечными.
5.33.В условиях предыдущей задачи найти силу давления стержня на ось в горизонтальном и вертикальном положении.
5.34.На скамье Жуковского стоит человек, держа в вытянутых в стороны руках по гире массой m = 10 кг каждая. Расстояние между осью вращения и каждой гирей при этом r1 = 0,75 м. Скамью приводят во вращение со скоростью п1 = 0,50 об/с и предоставляют систему самой себе. Какую работу должен произвести человек, чтобы во время
вращения системы приблизить гири к оси вращения до расстояния r2 = 25 см? Момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения I0 = 0,60 кг·м2 считать постоянным. Трением пренебречь.
5.35.На неподвижной скамье Жуковского стоит человек, держа в руках ось мас-
сивного колеса, вращающегося в горизонтальной плоскости с числом оборотов n = 10 об/с. Ось колеса совпадает с осью вращения скамьи Жуковского. Найти угловую скорость системы после того, как человек повернет колесо на угол π вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс колеса. Моменты инерции относительно оси вращения: человека I1 = 1,8 кг·м2, скамьи I2 = 0,4 кг·м2 и колеса I3 = 1,0 кг·м2.
5.36. Человек стоит на скамье Жуковского, держа в руках ось неподвижного колеса, направление оси которого совпадает с осью вращения скамьи. Найти угловую скорость, которую получит система, если человек усилием рук приведет колесо во вращение со скоростью n = 1 об/с. Моменты инерции относительно оси вращения: человека I1 = 1,2 кг·м2; скамьи I2 = 0,4 кг·м2; колеса I3 = 0,8 кг·м2.