Материал: МЭИ(ТУ) Физика

которой подвешиваются два одинаковых груза. Среднюю точку нити между блоками тянут вертикально вниз с постоянной скоростью v, вследствие чего грузы поднимаются вверх. Выразить скорость грузов v1 в зависимости от времени и найти их скорость в тот момент, когда средняя точка от своего первоначального положения на горизонтальном направлении нити будет перемещена на расстояние d (считать, что радиусы блоков

R << d).

Указание. При решении следует учесть нерастяжимость нити. Полезно построить график v1(t) и объяснить полученную зависимость.

Рис. 1.3 Рис. 1.4

1.5. Две зажженные свечи (первоначально одинаковой высоты) поставлены на стол на расстоянии l = 5 см друг от друга. Одна свеча равномерно сгорела за время τ1 = 1 ч,

другая – за τ2 = 0,75 ч. Определить уравнение движения края М тени, бросаемой II свечой от I свечи, и скорость края тени в тот момент, когда I свеча сгорит наполовину

(рис. 1.4).

1.6. Фонарь, находящийся на расстоянии R0 = 3 м от вертикальной стены, бросает на нее «зайчик»; фонарь равномерно вращается около вертикальной оси. Число оборотов фонаря n = 0,5с-1. При вращении фонаря «зайчик» бежит по стене по горизонтальной прямой. Найти скорость «зайчика» v через промежуток времени t = 0,1 с после того, как луч света был перпендикулярен к стене.

Указание. Полезно построить и обсудить график зависимости v(t). He противоречит

найти скорость и ускорение через время t = 3 с после начала движения. Построить графики пути, скорости и ускорения в зависимости от времени.

1.8.Тело свободно падает с высоты H = 1000 м. Найти, какое расстояние пройдет тело в последнюю секунду своего падения.

1.9.Тело свободно падает с высоты H = 980 м. За какое время оно пройдет последние h = 98 м своего пути?

1.10. Брошенное вертикально вверх с некоторой скоростью тело было в точке, ле-

жащей на половине высоты своего подъема, два раза с промежутком времени τ = 2с. Найти, с какой скоростью было брошено тело.

1.11.Мячик брошей вертикально вверх со скоростью v0 = 9,8 м/с. Когда он достиг высшей точки своего подъема, вверх был брошен с той же начальной скоростью второй мячик. Найти, на какой высоте произойдет встреча мячей.

1.12.Два тела двигаются по одному и тому же прямолинейному пути с ускорениями: а1 = 1 м/с2 и a2 = 3 м/с2. Некоторую точку А тела проходят в одинаковом направле-

нии через время t0 = 14 с одно после другого; в точке А скорость первого тела v1 = 22 м/с и второго v2 = 10 м/с. Через какое времени после прохождения точки А пер-

вым телом второе тело догонит первое?

1.13. По шоссе со скоростью vl = 16 м/с движет-

ся автобус. Человек находится на расстоянии a = 60 м от шоссе и b = 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы выйти к какойлибо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше его? Человек может бежать со скоростью v2 ≤ 4 м/с (рис. 1.5). Направление определяется уг-

Рис. 1.5

лом α.

Указание. Координатные оси удобно направить так, как показано на рис. 1.5.

1.14. Из корзины равномерно опускающегося со скоростью va = 2,0 м/с аэростата был подброшен вертикально вверх камень со скоростью v0 = 11,8 м/с (относительно аэ-

ростата): а) найти расстояние H1 между корзиной аэростата и камнем в тот момент, когда камень достигнет высшей точки своего подъема (относительно Земли); б) каково наибольшее расстояние Н2 между корзиной аэростата и камнем?

Указание. Находя H2 в системе координат, связанной с Землей, и в системе, связанной с аэростатом, можно убедиться в идентичности различных инерциальных систем.

1.15.Удары колокола повторяются через интервалы времени t0 = 2,0 с. Через какой промежуток времени слышит два последовательных удара этого колокола человек, удаляющийся от него со скоростью v = 16 м/с? Скорость звука в воздухе с = 332 м/с.

1.16.Самолет, находясь на некоторой высоте над землей, летит с постоянной скоростью v = 400 м/с. Найти высоту полета самолета, если при наблюдении с него в зри-

тельную трубу неподвижного предмета на земле угол между направлением трубы и вертикалью в некоторый момент равен θ1 = 26,5°, а через время t = 0,1 с тот же угол становится равным θ2 = 25,0°.

1.17. В кабине лифта, поднимающегося со скоростью v = 0,75 м/с, падает неболь-

шой предмет с высоты h = 44 см над полом. Найти, через какое временя после начала своего падения предмет коснется пола кабины. Как изменится расстояние от предмета до земли за время его падения внутри кабины?

См. указание к задаче 1.14. Решить задачу в двух системах отсчета.

1.18.Над колодцем глубиной h = 19,6 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью v0 = 19,6 м/с. Найти, через какой промежуток времени камень будет находиться на следующих расстояниях от поверхности земли: h1 = 29,4 м, h2 = 19,6 м, h3 = 9,6 м. Через какой промежуток времени камень упадет на дно колодца?

1.19.Найти тангенциальное и нормальное ускорение тела, брошенного под некоторым углом к горизонту, когда оно, поднимаясь по своей траектории, имеет скорость, направленную под углом α = 30° к горизонту.

1.20.Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α1 = 60° к горизонту. Найти радиус кривизны траектории этого тела в тот момент, когда его скорость составляет с горизонтом угол α2 = 45°.

2. Динамика поступательного движения материальной точки

Второй закон Ньютона следует записывать для каждого тела в отдельности в про-

екциях на координатные оси, например, ∑Fyi = m1a1y . Наиболее простое решение получается, если одну из осей направить по ускорению тела, а вторую – перпендикулярно.

В задачах, где тела системы связаны при помощи нитей, предполагается, что нити нерастяжимы и невесомы. Нерастяжимость обеспечивает одинаковые скорости и ускорения всех точек нити в один и тот же момент времени, а невесомость – одно и то же натяжение в любом ее сечении. Если нить перекинута через блок, то натяжение ее по обе стороны от блока можно считать одинаковым лишь в случае, если масса блока в задаче пренебрежимо мала. Если в условии задачи нет никаких сведений о блоке, предполагается, что это условие выполняется.

2.1.Неподвижный груз, масса которого т = 1 кг, приводится в движение по горизонтальной плоскости без трения действием постоянной силы и в течение времени t = 1 с перемещается на расстояние s = 1 м. Найти величину действующей на тело силы.

2.2.Найти среднюю силу, с которой кувалда действует при ударе на кусок металла, лежащий на наковальне, если масса кувалды т = 8 кг, высота ее поднятия h = 1 м и продолжительность удара τ = 5,10-3 с. Считать, что кувалда падает только под действием силы тяжести, происходит неупругий удар, и масса куска металла и наковальни много больше массы кувалды.

2.3.Коэффициент трения при движении вагона по рельсам µ = 0,01. Какую долю от силы тяжести вагона должна составлять горизонтальная сила, способная сообщить ему ускорение а = 0,12 м/с2?

2.4.На тело, имеющее начальную скорость v0 = 15 м/с, действует в направлении его скорости в течение времени t = 10 с постоянная сила F = 99 Н; за это время тело переместилось на расстояние s = 300 м. Найти массу тела.

2.5.Пуля, обладающая скоростью v = 300 м/с, пробивает доску толщиной d = 3 см и уменьшает при этом свою скорость вдвое. Найти среднюю силу сопротивления движению пули внутри доски. Масса пули m = 8 г.

2.6.На железнодорожный паром, привязанный к берегу двумя канатами, въезжает поезд массой m = 200 т с начальной скоростью v = 18 км/ч; тормозами останавливают поезд на протяжении s = 25м. Найти натяжение Т канатов, пренебрегая вертикальным перемещением парома.

2.7.Горизонтальная струя воды поперечного сечения s = 4 см2 бьет со скоростью

v= 5 м/с в вертикальную стену и свободно стекает по ней вниз. Найти горизонтальную силу, с которой струя действует на стену.

2.8.Груз массой m = 100 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности, приложив силу, направленную под углом α = 30° к горизонту. Найти величину этой силы, если коэффициент трения µ при движении груза по плоскости равен 0,3.

2.9.Тележка массой m = 10 кг может без трения двигаться по горизонтальным рельсам. Найти ускорение тележки в двух случаях: а) если тянуть ее горизонтальной силой F = 10 Н; б) если приводить ее в движение гирей т0 = 1 кг, как показано на рис. 2.1,а, б.

2.10.На горизонтальном столе лежит брусок, к которому привязана перекинутая через блок нить. К другому концу нити подвешен груз массой m2 = 1,0 кг, под действием которого брусок начал двигаться равноускоренно и за время t = 2,5 с прошел расстояние s = 100 см. Найти коэффициент трения µ между поверхностями бруска и стола и натяжение нити. Масса бруска m1 = 4,0 кг.

2.11.На гладкой горизонтальной плоскости лежат три последовательно связанных друг с другом равных груза массой m = 4 кг каждый. К крайнему грузу с помощью нити, перекинутой через блок А, прикреплен такой же четвертый груз, который висит на конце вертикально спущенной части нити. Найти натяжение нитей, связывающих гру-

зы (рис. 2.2).

2.12.На гладкую горизонтальную плоскость положена однородная палочка с одинаковым поперечным сечением по всей длине. К концам палочки вдоль ее длины приложены силы F1 = 10 Н и F2 = 25 Н, направленные в противоположные стороны. Найти натяжение во время движения палочки в том ее сечении, которое отстоит от точки при-

ложения большей силы на 1/3 всей длины палочки. Как изменится решение задачи, если силы будут направлены навстречу друг другу?

2.13.Два груза с массами m1 = 5,0 кг и m2 = 3,0 кг лежат на горизонтальной гладкой плоскости. Грузы соединены горизонтально расположенным шнуром. К грузам приложены направленные вдоль шнура в противоположные стороны силы F1 = 50 Н и F2 = 30 Н. Найти натяжение шнура. Изменится ли натяжение шнура, если большая сила будет приложена не к телу с большей массой, а к телу с меньшей массой?

2.14.Два тела (массами т1 = 10,0 кг и m2 = 6,0 кг) связаны нитью и лежат на гладком горизонтальном столе так, что нить располагается параллельно плоскости стола. Нить может выдержать нагрузку не более Т = 20 Н. На сколько будут отличаться наименьшие силы, которые нужно приложить, чтобы нить оборвалась, если в одном случае сила прикладывается к телу с массой m1, а в другом к телу с массой m2?

2.15.На горизонтальном гладком столе лежат три груза с массами т1 = 5 кг, m2 = 3 кг и m3 = 1 кг, соединенных одинаковыми тонкими нитями. Каждая нить выдерживает нагрузку не более Т = 80 Н. С какой силой надо потянуть горизонтально груз m3, чтобы одна нить оборвалась? Какая именно нить оборвется?

2.16.Человек массой т = 70 кг находится в лифте. Найти силу, с которой человек давит на пол кабины лифта, когда лифт при подъеме движется замедленно с ускорением а = 20 см/с2 и когда опускается замедленно с таким же ускорением.

2.17.Платформа опускается вниз по вертикали с ускорением а = 4 м/с2, на платформе помещен цилиндр массой т = 10 кг. С какой силой цилиндр давит на платформу во время движения?

2.18.Какой наибольший груз можно поднять равноускоренно в течение времени t = 10 с на высоту h = 10 м при помощи веревки, способной выдержать натяжение

T = 1000 Н?

2.19.Веревка выдерживает груз массой т1 = 90 кг при вертикальном подъеме с некоторым ускорением и груз массой m2 = 110 кг при опускании с таким же ускорением. Какой груз можно поднимать этой веревкой равномерно?

2.20.Ящик с горизонтальными верхним и нижним основаниями поднимается вертикально вверх равнозамедленно. Внутри ящика находится шарик. Найти, при каком ускорении шарик будет давить: а) на нижнее основание ящика с силой, равной половине своего веса; б) на верхнее основание с силой, равной половине своего веса. При каком ускорении шарик не будет давить на основание ящика?