f = |
2σa |
h − |
aρgh2 |
. |
(5) |
|
d |
2 |
|||||
Из условия равновесия столба жидкости следует, что гидростатическое давление
этой жидкости равняется избыточному лапласову давлению, т. е. |
|||
2σ |
− ρg h = 0 . |
(6) |
|
d |
|||
Выразив отсюда высоту поднятия жидкости h и подставив в выражение (5), окончательно найдем
f= 2σ 2 a =10,6 Н . d 2 ρg
Задача 3
В стеклянный капилляр, внутренний радиус которого r2 = 1 мм, коаксиально вставлена стеклянная палочка, радиус которой r1 = 0,75 мм. Найти высоту капиллярного поднятия воды в образовавшемся канале (рис. 46). Коэффициент поверхностного натя-
жения σ = 0,072 Н/м.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Высота поднятия h может быть рассчитана из соотношения
ρgh = ∆p , |
(1) |
где ∆p – избыточное давление, определяемое по формуле Лапласа
1 |
1 |
||||||
+ |
(2) |
||||||
R |
|||||||
∆p =σ R |
2 |
. |
|||||
1 |
|||||||
Таким образом, задача по существу сводится к нахождению главных радиусов кривизны поверхности жидкости в капилляре.
Как видно из рис. 46, один из главных радиусов можно принять равным половине рас-
стояния между, внутренней стенкой капилляра и вставленной палочкой, т. е.
R1 = r2 − r1 . 2
Второй главный радиус приближенно равен
R2 = r1 + r2 . 2
Подставляя значения обоих радиусов в формулу (2) и затем находя h, находим
h = |
4σr2 |
= 0,067 м. |
|
(r2 |
− r2 )gρ |
||
2 |
1 |
||
Если для решения задачи приравнять силу поверхностного натяжения вдоль линий соприкосновения стекло-вода и силу тяжести столба воды (см. задачу № 1 этого параграфа), то получим
h = |
2σ |
||
. |
|||
(r |
− r )ρg |
||
2 |
1 |
||
Расхождение формул для расчета h объясняется тем, что каждый из этих методов является приближенным.
Задача 4
Поверхностное натяжение на границе вода-масло можно принять равным σ = 1,8·10-2 Н/м. Какую работу надо произвести, чтобы каплю масла массой т = 1 г раздробить внутри воды на капельки радиусом r = 10-4 см? Процесс дробления можно считать изотермическим. Плотность масла ρ = 0,9 г/см3.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
При изотермическом дроблении одной большой капли на множество мелких затрачивается энергия только на образование добавочной поверхности. Внутренняя энергия капель не меняется. Следовательно,
A = σ∆S , |
(1) |
где ∆S – добавочная поверхность, площадь которой можно вычислить по формуле |
|
∆S = 4π(Nr 2 − R2 ), |
(2) |
где R — радиус большой капли, N — число мелких капель.
Масса масла не меняется, следовательно, масса большой капли равна массе N капе-
лек, т. е. |
||||
4 |
πR3 ρ = N |
4 |
πr 3 ρ , |
(3) |
3 |
3 |
откуда
элемент пленки (рис. 47). Известно, что при переходе через сферическую поверхность жидкости давление меняется скачком на величину
∆p = 2rσ .
Следовательно,
pB − pA = 2rσ ,
pC − pB = 2rσ ,
где pA – внешнее давление воздуха на пузырь, pB – давление в толще пленки, pC – искомое давление воздуха внутри пузыря. Учитывая, что pA = p0, получим
p = p0 |
+ |
4σ |
. |
(1) |
r |
||||
Энергия, затрачиваемая на образование поверхности пузыря,
W = σS , |
(2) |
где S – сумма внутренней и внешней поверхностей пленки. Искомая работа вычисляется по формуле
A =W + Aсж = σS + pV ln |
p |
. |
p0 |
||
Выразив поверхность пленки S и объем V пузыря через радиус и используя формулу (1) для давления, получим
2 |
4σ |
4 |
3 |
4σ |
|||||||||||
+ |
+ |
(3) |
|||||||||||||
A = 8πr σ + p0 1 |
3 |
πr ln 1 |
rp0 |
. |
|||||||||||
rp0 |
|||||||||||||||
Если учесть, что |
4σ |
<<1, |
то, раскладывая натуральный логарифм в ряд и пренеб- |
||||||||||||
rp0 |
|||||||||||||||
регая величинами второго порядка, можно получить окончательный результат:
2 |
2 |
−3 |
|||||
A = 8πr |
σ 1 |
+ |
= 8,2 10 |
Дж . |
|||
3 |
|||||||
СБОРНИК ЗАДАЧ
под ред. Барто М. П.
МЕХАНИКА
1. Кинематика
При решении последующих задач следует использовать дифференциальную связь между перемещением, скоростью и ускорением, записывая соответствующие соотношения в проекциях на координатные оси (например, ux = dx/dt, ах = dvx/dt). Аналогично
записывается и закон движения, например, x = x 0 + v0x t + |
a |
0x |
t2 |
, причем величины x0, |
2 |
||||
v0x, а0x могут быть положительными или отрицательными в зависимости от ориентации векторов r0, v0, a по отношению к оси X.
1.1. Начертить графики зависимости от времени, скорости и перемещения некоторого тела, если график ускорения а(t) имеет вид, представленный на рис. 1.1 (начальная скорость равна нулю).
Рис. 1.1 |
Рис. 1.2 |
1.2.Начертить графики зависимости от времени перемещения и ускорения некоторого тела, если скорость этого тела как функция времени представлена графиком на рис. 1.2.
1.3.Человек ростом h2 проходит с постоянной скоростью v под фонарем, высота которого над землей h1. Найти, с какой скоростью движется по земле конец тени М человека (рис. 1.3).
1.4.Параллельные оси двух цилиндрических блоков находятся в горизонтальной плоскости на расстоянии 2d друг от друга. Через блоки перебрасывается нить, к концам