A = (V2 −V1 )(p1 − p4 ). |
(1) |
Количество теплоты, полученное телом от всех нагревателей при переходах из состояния 1 в состояние 2 и из состояния 4 в состояние 1, равно
Q1 = C p (T2 −T1 )+CV (T1 −T4 ), |
(2) |
|||
где Cp и CV – молярные теплоемкости воздуха при постоянных давлении и объеме. |
||||
Выражение работы можно преобразовать следующим образом: |
||||
V2 |
||||
V2 −V1 = V1 V |
−1 |
, |
||
1 |
||||
p4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p1 − p4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p1 1 − |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как процесс 4-1 изохорный, можно записать, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p4 |
= |
T4 |
= |
T3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
T |
T |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T3 |
T3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V2 |
= |
V2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
− T |
(3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A = p1V1 V |
−1 1 − T |
RT1 V −1 1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
В выражении (2) для Q1 следует вынести температуру T1 за скобки в обоих слагае- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мых, тогда искомый коэффициент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
−1 1− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
η = |
V1 |
T2 |
. |
(4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
T2 |
T4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C p |
−1 +CV 1− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T1 |
T1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Молярные теплоемкости воздуха соответственно равны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CV |
= |
i |
R = 20,8 |
кДж |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
кмоль К |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C p = i +2 R = 29,0 |
кДж |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
кмоль |
К |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При расчете формулы (4) с учетом, что T4 = T3 , получим
T1 T2
η = 2,7% .
Из графика на рис. 41 видно, что максимальной температурой газ будет обладать в состоянии 2, минимальной – в состоянии 4. Следовательно, коэффициент полезного действия цикла Карно, проведенного между максимальной и минимальной температурами цикла, равен
ηК |
= |
T2 |
−T4 |
. |
||||||||
T2 |
||||||||||||
Температура T4 может быть легко найдена из соотношений: |
||||||||||||
T4 |
= |
T3 |
; |
T2 |
= |
V2 |
= 2 ; |
|||||
T |
T |
T |
V |
|||||||||
1 |
2 |
1 |
1 |
|||||||||
отсюда
T4 = T23 = 486 К .
Коэффициент рассматриваемого цикла Карно
ηК = 45% .
Задача 4
Найти максимальное количество теплоты, которое получает вода в калориферах при динамическом отоплении19 на 1 кг сожженного топлива, если температура в котле паровой машины t1 = 217°C; температура воды в отопительной системе t2 = 67°C; температура грунтовых вод, которые служат вторым резервуаром тепла для холодильной машины, t2' = 17°C. Удельная теплота сгорания топлива q = 2,08·104 кДж/кг.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Вода в калорифере получает теплоту от рабочего тела теплового двигателя, как его холодильник, и одновременно от рабочего тела холодильной машины Q1', как его нагреватель. Следовательно, искомое количество теплоты, получаемое водой,
Qx = Q2 + Q1′. (1)
Так как рассматриваются наиболее выгодные условия работы, предположим, что и
19Динамическим отоплением называется такая система, в которой за счет энергии, выделяющееся при сжигании топлива, работает тепловой двигатель, его холодильником является вода в отопительной системе. Одновременно вода в отопительной системе является нагревателем в холодильной машине, ведомой тепловым двигателем.
Q1′ |
= |
A |
T1′ |
. |
(7) |
|||||
T1′−T2′ |
||||||||||
Работу А найдем по формуле |
||||||||||
A = Q |
T1 −T2 |
. |
||||||||
1 |
T1 |
|||||||||
Отсюда окончательно получим |
||||||||||
Q1′ = Q1 |
T1′ |
T1 −T2 |
. |
(8) |
||||||
T1′−T2′ |
T1 |
|||||||||
(здесь по-прежнему считаем Q1 = q).
Холодильником тепловой машины и нагревателем холодильной служит один и тот же резервуар – вода в калорифере, поэтому T1′=T2 . Подставив выражения (8) и (3) в
равенство (1), получим
T2 |
T1 |
3 |
||||||||
Qx = q |
+ |
−T2 |
= 58 10 |
кДж . |
||||||
1 |
||||||||||
T1 |
T2 |
|||||||||
−T2′ |
||||||||||
Задача 5
Кислород массой 0,2 кг нагревают от температуры t1 = 27°C до температуры t2 = 127°C. Найти изменение энтропии, если известно, что начальное и конечное давления газа одинаковы.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Изменение энтропии газа при переходе из одного состояния в другое определяется только параметрами этих состояний и не зависит от характера процесса, при котором был осуществлен этот переход. В случае обратимого процесса конечное изменение энтропии будет определяться соотношением
∆S = ∫2 |
dQ . |
(1) |
1 |
T |
Поэтому независимо от процессов, происходящих в действительности, искомое изменение энтропии может быть найдено при рассмотрении обратимого процесса, в результате которого газ будет переведен из первого состояния во второе.
Рис. 43
В данном случае переход из состояния 1 в состояние 2 может быть осуществлен, например, изобарным процессом или изотермическим расширением до промежуточного состояния 3 с последующим изохорным нагреванием 3-2 (рис. 43).
Проведем расчет для изобарного процесса. В этом случае
dQ = m C |
p |
dT . |
(2) |
||||
µ |
|||||||
Подставив это выражение в равенство (1), получим |
|||||||
∆S = m C p |
ln |
T2 |
= 51 |
Дж . |
|||
T1 |
|||||||
µ |
К |
||||||
Задача 6
Два баллона емкостью V1 = 2 л и V2 = 3 л каждый соединены трубкой с краном. Первый наполнен азотом под давлением p1 = 1 атм, второй – окисью углерода под давлением p2 = 5 атм. Найти изменение энтропии системы, которое произойдет в результате открывания крана, если вся система заключена в теплоизолирующую оболочку. Начальные температуры в обоих баллонах одинаковы и равны 27°С.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Так как вся система в теплообмене не участвует и не совершает работы против внешних сил, то суммарная внутренняя энергия обоих газов будет оставаться неизменной. Так как до смешения средние кинетические энергии, приходящиеся на одну степень свободы в обоих газах, были одинаковы, то и после смешения, при установлении термодинамического равновесия, средняя кинетическая энергия любой молекулы смеси останется прежней. Отсюда вытекает, что температура смеси будет равна начальной тем-
пературе газов. Смешение газов будет протекать необратимым образом, следовательно, энтропия системы возрастет. Изменение энтропии системы будет равно сумме изменений энтропии каждого газа.
Для того чтобы подсчитать изменение энтропии, надо рассмотреть такой процесс, при котором смешение газов произойдет обратимым образом. Представим себе цилиндрический сосуд, разделенный на две части, объемы которых соответственно равны 2 и 3 л (рис. 44). В левой части сосуда находится азот, в правой – окись углерода. Газы от-