Учитывая, как и при расчете времени τ, что v >> и, находим |
|||||||
N m0 v2 |
1 |
. |
(8) |
||||
f |
= |
||||||
3 |
x |
||||||
Общее число молекул N можно выразить через массу газа, молекулярный вес и число Авогадро:
N = mµ N A ,
произведение m0 v2 – через абсолютную температуру:
m0v2 = 3kT .
Тогда выражение для средней силы примет вид
= m RT |
1 |
. |
(9) |
|||
f |
||||||
µ |
x |
|||||
Подставляя выражение (9) в формулу (2), вычисляем работу, совершаемую газом:
A = |
m |
RT ln |
x2 |
= |
m |
RT ln |
V2 |
. |
x |
||||||||
µ |
µ |
V |
||||||
1 |
1 |
|||||||
Очевидно, что, ударяясь о движущийся поршень, молекулы непрерывно отдают ему часть своей кинетической энергии. Полная энергия, потерянная молекулами за время расширения, равна работе, совершенной поршнем. По условию задачи температура газа, следовательно, и полная кинетическая энергия всех молекул постоянна. Это значит, что кинетическая энергия непрерывно пополняется за счет теплоты, получаемой извне, от остальных (кроме поршня) стенок. Следовательно, количество теплоты, полученной газом при изотермическом расширении,
Q = A = m RT ln V2 .
µ V1
Задача 6
В цилиндрическом сосуде объемом V1 находится одноатомный газ под давлением p1. Поршень, закрывающий сосуд, движется так, что объем газа уменьшается от V1 до V2. Найти изменение внутренней энергии газа, если все стенки сосуда, включая поршень, «зеркальные». Скорость движения и поршня постоянна и мала по сравнению со
средней квадратичной скоростью молекул. Расчет произвести на основе молекулярнокинетической теории.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Вследствие того, что стенки «зеркальные», изменение кинетической энергии молекул будет происходить только при ударе о движущийся поршень. Если молекула подлетает к поршню со скоростью v, то после удара скорость молекулы будет
v′ = −(v +2u) |
(1) |
(знак «минус» определяется выбором направления к поршню за положительное). Изменение кинетической энергии одной молекулы в результате удара о поршень
равно |
|
δW0 = 2m0 vu |
(2) |
(членом, содержащим u2 пренебрегаем). Существенно, что здесь v – функция времени.
За некоторое время dt поршень испытает количество ударов |
||||
dN = |
dt |
N . |
(3) |
|
τ |
3 |
|||
где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы о поршень. Очевидно, как и в предыдущей задаче,
τ = |
2x |
. |
||
v |
||||
Подставляя это значение в выражение (3), находим |
||||
dN = N |
vdt . |
(4) |
||
3 |
2x |
|||
Следовательно, за время dt молекулы, ударяющиеся о поршень, приобретут кинетическую энергию
dW = δW dN = |
N |
m0 v2 udt . |
(5) |
3 |
x |
Но u·dt есть смещение поршня за время dt, т. е. udt = −dx .
Подставляя это выражение в уравнение (5) и учитывая, что m0v2 = 3kT ,
окончательно получаем |
||
dW = −NkT |
dx . |
(6) |
x |
||
Несмотря на то, что v есть функция времени, замена m0 v2 |
через 3kT правомерна, |
|
так как поршень движется медленно и весь процесс протекает как квазистатический, следовательно, в каждый момент времени газ можно характеризовать температурой Т.
Изменению кинетической энергии молекул при ударе о поршень соответствует изменение внутренней энергии всего газа, равное
dU = m |
i |
RdT . |
(7) |
µ 2 |
|||
Очевидно, что
dU = dW .
Поэтому приравниваем правые части выражений (6) и (7). Но учитывая, что
N = m N |
A |
и N |
A |
k = R , |
||||||
µ |
||||||||||
получим |
||||||||||
− |
dx |
= |
i dT |
. |
(8) |
|||||
2 T |
||||||||||
x |
||||||||||
При изменении х от x1 до x2 температура газа меняется от T1 до T2. Интегрируя ра-
венство (8), найдем |
||||||||||||||||
ln |
x1 |
= |
i |
ln |
T2 |
. |
(9) |
|||||||||
x |
2 |
2 |
T |
|||||||||||||
1 |
||||||||||||||||
Отношение |
x1 |
можно заменить отношением начального объема V1 |
к конечному V2. |
|||||||||||||
x2 |
||||||||||||||||
Потенцируя равенство (9), получаем |
||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
T2 |
||||||||||||||||
i |
||||||||||||||||
V1 |
, |
|||||||||||||||
T1 |
= |
|||||||||||||||
V2 |
||||||||||||||||
откуда разность конечных температур, определяющая искомое изменение ∆U внутренней энергии газа, равна
2 |
|||||||
V1 |
i |
||||||
T2 |
−T1 |
=T1 |
−1 |
||||
V2 |
|||||||
и |
||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
m |
i |
i |
||||||||||||||||
V1 |
||||||||||||||||||
∆U = |
RT 1 |
−1 . |
||||||||||||||||
µ |
2 |
|||||||||||||||||
V2 |
||||||||||||||||||
Учитывая, что |
||||||||||||||||||
m RT = p V и |
2 |
= γ −1, |
||||||||||||||||
µ |
1 |
1 |
1 |
i |
||||||||||||||
окончательно получим |
||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
pV |
V |
1 |
i |
|||||||||||||||
∆U = |
1 |
1 |
||||||||||||||||
−1 . |
||||||||||||||||||
γ −1 |
||||||||||||||||||
V2 |
||||||||||||||||||
Задача 7 |
||||||||||||||||||
Нагревается или охлаждается идеальный |
газ, |
если он расширяется по закону |
||||||||||||||||
p = Vb2 ? Какова его молярная теплоемкость при этом процессе?
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Качественный анализ происходящего процесса удобнее всего провести, рассмотрев график этого процесса в координатах р, V и сравнив его с изотермой и адиабатой, изображающими расширение газа из одного и того же начального состояния до одинакового конечного объема (рис. 38).
Рис. 38
График рассматриваемого процесса лежит ниже изотермы; следовательно, расширение, происходящее по указанному закону, сопровождается понижением температуры. Он лежит также ниже адиабаты. Это значит, что конечная температура при данном расширении меньше, чем конечная температура, которая установилась бы при адиабатном расширении, и убыль внутренней энергии больше, чем при отсутствии теплообмена.
Работа, совершенная газом, меньше, чем при адиабатном процессе. Следовательно, работа газа при его расширении по указанному закону меньше, чем убыль внутренней энергии газа. Это может быть только в том случае, если расширение сопровождается отдачей теплоты.
Найдем теперь аналитическую связь между объемом газа и его температурой и молярную теплоемкость газа при данном процессе.
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева (для m = µ)
p = |
RT |
. |
(1) |
V |
|||
Из сравнения заданного по условию закона расширения газа с уравнением (1) получим
b |
= RT . |
(2) |
|
V |
|||
Действительно, увеличение объема сопровождается уменьшением температуры. Для нахождения молярной теплоемкости применим к рассматриваемому процессу первое начало термодинамики
dQ = dU + dA
или с учетом, что m = µ, |
|||
Cx dT = CV dT + pdV . |
(3) |
||
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева получим |
|||
pdV = RdT −Vdp . |
(4) |
||
Величину dp находим из уравнения, заданного в условии задачи: |
|||
dp = − |
2bdV |
. |
(5) |
V 3 |
|||
Умножаем правую и левую части последнего равенства на V: