ся поршень, отскакивают от него с меньшей, чем до удара, скоростью, отдавая часть своей кинетической энергии поршню. Этим и объясняется дополнительное поглощение теплоты при изобарном процессе.
При изучении графика обоих процессов I и II в координатах р, V (рис. 36) следует подчеркнуть, что при любом процессе, протекающем так, что начальное и конечное состояния газа лежат на данных изо-
термах, изменение внутренней энергии будет всегда одинаковым.
Задача 2
Азот, занимающий при давлении 1 атм объем V1 = 10 л, расширяется вдвое. Найти конечное давление и работу, совершенную газом при следующих процессах: а) изобарном, б) изотермическом, в) адиабатном.
АНАЛИЗ
Рассмотрим графики всех процессов в координатах р, V (рис. 37).
Из графиков сразу же видно, что работа будет тем больше, чем выше пройдет кривая, т. е. чем больше давление в течение процесса. С молекулярной точки зрения, давление определяется силой удара молекул о стенки и частотой ударов. Согласно основному уравнению кинетической теории
p = 23 n0 m20 v2 .
Однако это уравнение есть следствие положения, что импульс силы, испытывае-
мый стенкой сосуда, определяется (по абсолютной величине) произведением числа ударов, испытываемых стенкой за некоторое время, и силой этих ударов (см. задачи №№ 3, 4, 5 § 2).
При изобарном процессе расширение происходит при непрерывном увеличении температуры, что соответствует увеличению силы отдельных ударов, испытываемых стенками сосуда. Но частота ударов уменьшается вследствие увеличения объема, так что давление остается постоянным.
При изотермическом процессе кинетическая энергия молекул не меняется за счет притока теплоты извне, и давление уменьшается только в результате уменьшения числа ударов, испытываемых стенкой за единицу времени.
При адиабатном процессе кинетическая энергия молекул, отдаваемая движущемуся поршню, не пополняется извне. Поэтому адиабатное расширение происходит при более резком, чем при постоянной температуре, падении давления (уменьшается и частота ударов, и сила ударов).
РЕШЕНИЕ
1. Работа при изобарном процессе вычисляется следующим образом:
A1 = p1 (V2 −V1 )=1013 Дж .
2. При изотермическом процессе конечное давление может быть найдено из формулы
p2 = p1V1 = 0,5 атм .
V2
Работа газа |
||||||||
A |
2 |
= pV |
ln |
V2 |
= 708 Дж . |
|||
1 |
1 |
V1 |
||||||
3. Конечное давление p2' может быть найдено из уравнения адиабаты: |
||||||||
γ |
||||||||
′ |
V1 |
|||||||
p2 |
= p1 |
. |
||||||
V2 |
||||||||
Так как азот – двухатомный газ и, следовательно, коэффициент γ = 1,4, то p2′ = 0,38 атм .
Работа, совершаемая газом при адиабатном расширении, равна убыли внутренней энергии, т. е.
A3 = −∆U 3 = mµ 2i R(T1 −T2 ).
Из уравнения Клапейрона-Менделеева, написанного для начального и конечного состояний, получим
mµ T1 = pR1V1 ;
mµ T2 = p2RV2 .
Подставляя эти выражения в формулу для работы, находим
A3 = 2i (p1V1 − p2V2 )= 607 Дж .
Задача 3
Рассчитать, во сколько раз изменится число ударов, испытываемых 1 см2 стенки сосуда за 1 с при двукратном увеличении объема двухатомного газа в следующих случаях: а) изобарное расширение, б) изотермическое расширение, в) адиабатное расширение.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Число ударов, испытываемых 1 см2 стенки сосуда за 1 с, прямо пропорционально концентрации молекул и их средней скорости. Концентрация молекул обратно пропорциональна объему газа; скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, отношение числа ударов z2 испытываемых стенкой после расширения, к начальному числу ударов z1 может быть выражено следующим образом:
1 |
||||||||||||||||
z |
2 |
= |
n |
2 |
v |
2 |
= |
V |
1 |
T |
2 |
, |
||||
2 |
||||||||||||||||
z1 |
n1 |
v1 |
V2 |
1 |
||||||||||||
T1 |
2 |
|||||||||||||||
где n1, n2 – концентрации молекул; v1, v2 – средние скорости; V1, V2 – объемы газа; T1, T2
– абсолютные температуры в первом и втором состояниях.
Для всех трех случаев отношение V1 = 1 .
V2 2
1. При изобарном процессе объем прямо пропорционален абсолютной температуре, следовательно,
1
T221 = 2
T12
и искомое отношение числа ударов
z2 |
= |
2 |
= 0,7 . |
z |
2 |
||
1 |
Число ударов, испытываемых стенкой сосуда, убывает меньше, чем вдвое, вследствие увеличения скоростей молекул.
2. При изотермическом процессе T2 = 1, следовательно,
T1
z2 = 1 . z1 2
3. При адиабатном процессе объем и абсолютная температура связаны соотношением
T V γ −1 |
= T V γ −1 . |
||||||||||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
||||||||||||||
Для двухатомного газа γ = 1,4 и отношение |
|||||||||||||||||
1 |
γ −1 |
0,2 |
|||||||||||||||
2 |
2 |
1 |
|||||||||||||||
T2 |
V1 |
||||||||||||||||
= |
. |
||||||||||||||||
= |
|||||||||||||||||
T1 |
V2 |
2 |
|||||||||||||||
Отношение чисел ударов |
|||||||||||||||||
z2 |
= |
1 |
1 |
= 0,43 . |
|||||||||||||
1,15 |
|||||||||||||||||
z |
2 |
||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||
Число ударов уменьшается сильнее, чем при изотермическом процессе, так как одновременно увеличивается объем и уменьшается скорость движения молекул.
Задача 4
В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находится воздух. Какую работу надо произвести, чтобы поднять поршень на высоту h1 = 10 см, если начальная высота столба воздуха h0 = 15 см, атмосферное давление p0 = 1 атм, площадь поршня S1 = 10 см2? Весом поршня пренебречь. Температура во все время процесса постоянна.
с массой молекулы, что скорость поршня от удара молекулы не меняется.
Рассчитав силу, испытываемую поршнем со стороны молекул, и зная величину смещения поршня, можно найти работу, совершаемую газом при расширении:
x2 |
|||||
A = ∫ |
(2) |
||||
fdx , |
|||||
x1 |
|||||
где x1, x2 – координаты поршня, отсчитываемые, от противоположной стенки; |
– |
||||
f |
|||||
средняя сила, испытываемая поршнем. |
|||||
Для расчета силы, действующей на поршень, предположим, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной среднеквадратичной, и между поршнем и противоположной стенкой движется одна треть всех молекул. Изменение количества дви-
жения одной молекулы в результате ударов о движущийся поршень |
|
δP0 = −2m0 (v − u) . |
(3) |
Если обозначить через х расстояние от поршня до противоположной стенки в момент времени t, каждая молекула за время dt ударится о поршень dz раз, причем
dz = |
dt |
, |
(4) |
|
τ |
||||
где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы о поршень. Учитывая, что v >> и, можно приближенно считать, что
τ = |
2x |
, |
|||||||||||||
v |
|||||||||||||||
откуда |
|||||||||||||||
dz = |
vdt |
. |
(5) |
||||||||||||
2x |
|||||||||||||||
Тогда общее число ударов, испытываемое поршнем за время dt, |
|||||||||||||||
dN = |
vdt |
N . |
(6) |
||||||||||||
2x |
3 |
||||||||||||||
Импульс средней силы, действующей на поршень со стороны молекул, |
|||||||||||||||
fdt = −δP0 dN . |
|||||||||||||||
Подставив сюда выражения (3) и (6) и сократив на dt, получим |
|||||||||||||||
= N m0 v(v − u) |
1 |
. |
(7) |
||||||||||||
f |
|||||||||||||||
3 |
x |
||||||||||||||