что соответствует положению безразличного равновесия. При x >> l, что соответствует качанию маятника подвешенного на длинной нити,
l 2 |
2 |
||||
+ x |
x |
||||
lim |
12 |
= |
; |
||
x→∞ |
xg |
g |
|||
период этого маятника будет равен периоду математического маятника
T = 2π ag .
Задача 2
Найти период колебаний столбика ртути в U-образной трубке при выведении его из положения равновесия (рис. 26). Площадь сечения трубки S = 0,3 см2, масса ртути m = 120 г.
АНАЛИЗ
Если ртуть, налитую в U-образную трубку, вывести из положения равновесия, то вся масса ртути будет совершать колебательное движение.
Очевидно, что колебания каждого уровня будут совершаться относительно положения равновесия, соответствующего равным высотам уровней ртути в обоих коленах. Поэтому разность уровней удобно обозначить через 2x. Вся масса ртути будет находиться под действием избыточного давления столба ртути высотой 2х, поэтому
mx = −2xSDg , |
(1) |
&&
где D – плотность ртути. |
Рис. 26 |
|
Знак «минус» в данном случае говорит о том, что сила давления, |
||
оказываемая первым столбиком высотой 2x, направлена вниз, и правый уровень относительно положения равновесия смещен вверх.
РЕШЕНИЕ |
|||
Считаем, что трение между ртутью и стенками сосуда отсутствует. |
|||
Из уравнения (1) находим |
|||
ω2 = |
2SDg |
; |
(2) |
m |
|||
тогда период колебаний
T = |
2π |
= 2π |
m |
= 0,75 c . |
ω |
2SDg |
Проверим полученную формулу, пользуясь размерностями единиц измерения в
СИ:
1 |
||||||||||||
1 |
м |
3 |
с |
2 |
||||||||
2 |
||||||||||||
кг |
= с. |
|||||||||||
2 |
||||||||||||
[T ]= |
м |
кг |
м |
|||||||||
Задача 3
Однородный стержень подвешен на двух параллельных нитях длиной l каждая (рис. 27). Найти период колебаний стержня, возникающих при повороте его на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Нити прикреплены к концам стержня.
Рис. 27
АНАЛИЗ
Для того чтобы найти период колебаний, надо найти соотношение между ускорением и смещением стержня. Колебательный характер движения стержня становится очевидным из качественного анализа: при повороте стержня центр масс поднимается, оставаясь на одной и той же вертикали, но нити отклонятся от вертикального положения: следовательно, возникнет момент сил натяжения относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс. При прохождении через начальное положение, когда нити займут вертикальное положение и момент действующих на стержень сил будет равен нулю, стержень будет обладать некотором кинетической энергией, причем угловая
скорость стержня будет направлена в сторону, противоположную начальному смещению. По инерции стержень повернется дальше на некоторый угол, и весь процесс начинается сначала.
Момент силы тяжести относительно вертикальной оси будет равен нулю, так как эта сила параллельна оси. При отклонении нитей от вертикального положения момент силы натяжения нити не равен нулю. Очевидно, что вращающий момент будет созда-
ваться • горизонтальной составляющей силы натяжения, так что момент |
|
M н = fн sinα x , |
(1) |
где fн – сила натяжения нити; α – угол отклонения нити от вертикали; x – расстояние от конца стержня (от точки приложения силы fн) до оси.
Вертикальные составляющие обоих сил натяжения должны уравновешивать силу
тяжести стержня, т. е. должно выполняться условие |
|
2 fн cosα = mg . |
(2) |
РЕШЕНИЕ
Движение стержня рассматривается как вращение вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Очевидно, угол φ отклонения стержня от начального положения будет связан с углом α отклонения нити от вертикали соотношением
αl = ϕ d |
, |
(3) |
2 |
||
где d – длина стержня. Расстояние |
||
x = d . |
(4) |
|
2 |
По условию угол φ мал, а следовательно, мал и угол α. Поэтому можно положить,
что |
||||||||
sinα = α ; |
(5) |
|||||||
cosα =1. |
(6) |
|||||||
Подставляя последовательно выражения (5), (3) и (4) в равенство (1), получим |
||||||||
M |
н |
= − f |
н |
d 2 |
ϕ . |
(7) |
||
4l |
||||||||
(знак «минус» означает, что момент силы натяжения стремится уменьшить угол φ). Из выражений (2) и (6) следует
fн = mg . |
(8) |
2 |
С учётом того, что обе нити действуют на стержень относительно выбранной оси одинаково, основное уравнение динамики для стержня может быть записано следующим образом:
Id 2ϕ2 = −2M н , dt
где I – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину. Подставляя сюда выражения (7) и (8), получаем
I |
d |
2ϕ |
= −mg |
d |
2 |
ϕ . |
|||||||
dt 2 |
4l |
||||||||||||
Учитывая, что I = |
md |
2 |
, будем иметь |
||||||||||
12 |
|||||||||||||
d 2ϕ |
= − |
3g |
ϕ . |
||||||||||
dt 2 |
l |
||||||||||||
Последнее уравнение однозначно определяет, что стержень будет совершать гар-
монические колебания с периодом T = 2π |
l . |
3g |
Задача 4
К горизонтальной стойке прикреплена пружина, ко второму концу которой подвешен груз. Определить характер движения груза при колебаниях пружины и период колебаний, если статическое растяжение пружины x0 = 20 см (рис. 28). Массой пружины пренебречь.
АНАЛИЗ
В процессе движения на груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости пружины. Сила упругости пружины однозначно определяется величиной растяжения пружины или величиной смещения ее конца.
Если х – смещение конца пружины от прямой AA' – уровня, на котором находился конец пружины при отсутствии груза, то сила натяжения записывается следующим образом:
fн = −kx . |
(1) |
Примем направление вниз за положительное. Тогда II закон Ньютона для подвешенного груза запишем в скалярной форме
mx = mg − kx , |
(2) |
|
&& |
||
где x |
– ускорение груза, k – коэффициент упругости пружины. |
|
&& |
Рис. 28
Если перенести начало координат в положение равновесия груза, т. е в положение, при котором сила тяжести уравновешивается силой упругости, то уравнение примет иной вид. Обозначим текущее смещение тела от положения равновесия через ξ, а расстояние положения равновесия от прямой AA' (т. е. статическое растяжение) через x0, тогда
x = ξ + x0 , |
(3) |
|
&& |
&& |
(4) |
x |
= ξ . |
|
Растяжение x0 удовлетворяет условию |
||
mg − kx0 = 0 . |
(5) |
|
Подставляя равенства (3), (4) в уравнение (2), получим |
||
mξ&&= mg − k(ξ + x0 ), |
||
но с учетом соотношения (5) окончательный результат будет |
||
mξ&&= −kξ . |
(6) |
|
РЕШЕНИЕ
Полученное уравнение (6) показывает, что груз будет совершать гармоническое