Материал: МЭИ(ТУ) Физика

АНАЛИЗ

При повороте оси колеса вокруг горизонтальной оси скорость вращения колеса вокруг своей оси по абсолютной величине не изменится, но момент импульса изменит свой знак на обратный. Возникающие при этом повороте силы для системы скамья Жуковского (с человеком)-колесо будут внутренними силами, поэтому момент импульса системы в целом не изменится (моменты силы тяжести и силы реакции оси равны нулю).

РЕШЕНИЕ

Момент импульса системы до поворота колеса равен только моменту импульса колеса, т. е.

L1 = I 0ω0 .

Считаем первоначальное направление вращения колеса положительным. После поворота момент импульса системы будет складываться из моментов импульса колеса и скамья с человеком:

L2 = −I 0ω0 + Iω .

Согласно закону сохранения момента импульса

L1 = L2 ,

следовательно,

I 0ω0 = −I 0ω0 + Iω ;

отсюда

ω = 2IJ0ω0 = 5 с-1 .

Скамья будет вращаться в ту сторону, в которую вращалось колесо до поворота. После решения этой задачи следует обсудить случай поворота оси колеса на угол

ϕ= π2 .

Врезультате такого поворота проекция момента импульса колеса на вертикальную ось станет равной нулю. Следовательно, возникший момент импульса скамьи и человека будет равен начальному моменту импульса колеса.

Задача 12

По гладкой горизонтальной поверхности скользят две одинаковые «гантельки», расположенные, как показано на рис. 25. Скорости их соответственно равны v1 и v2.

Каждая из гантелек представляет собой невесомый жесткий стержень длиной l, на концах которого укреплены одинаковые точечные массы. Определить характер движения каждой из гантелек после удара. Удар считать абсолютно упругим.

Рис. 25

АНАЛИЗ

Так как гантельки скользят по гладкой горизонтальной плоскости, рассматриваемая система тел замкнута (силы тяжести уравновешены силами нормальной реакции). Удар абсолютно упругий, следовательно, система будет подчиняться и закону сохранения импульса, и закону сохранения энергии. Однако линия силы взаимодействия, действующей на первую гантель, не проходит через ее центр масс, и поэтому первая гантель будет после удара совершать и поступательное движение, и вращательное – вокруг своего центра масс. Моменты внешних сил также равны нулю, следовательно, к данной системе применим не только закон сохранения импульса, но и закон сохранения моментов импульса относительно любой точки. Так как удар абсолютно упругий, то соударяющиеся тела являются идеально гладкими, поэтому векторы скоростей u1 и u2 поступательного движения гантелек и после удара должны быть параллельны (или антипараллельны) оси x, проведенной по направлению начальных скоростей.

Запишем закон сохранения импульса сразу в скалярном виде:

2mv1 +2mv2 = 2mu1 +2mu2 . (1)

Закон сохранения момента импульса напишем относительно точки С. До удара мо-

мент импульса системы был равен моменту импульса только второй гантельки, т. е.

r1 sinα1 = r2 sinα2 = 2l

и вектор L1 момента импульса направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас»

(по определению момент импульса материальной точки Li = [ri mi vi ]). После удара момент импульса системы будет складываться из моментов импульса обеих гантелек:

Такая запись соответствует предположению, что после удара вторая гантель сохранит свое направление движения, а первая будет вращаться вокруг своего центра по часовой стрелке. Учитывая, что после удара первая гантель будет совершать и поступательное, и вращательное движение, закон сохранения энергии для первой гантели за-

РЕШЕНИЕ

Приравнивая правые части выражений (2) и (3) в силу закона сохранения момента импульса, найдем

Подставляя выражение ω 2l в уравнение (4), после элементарных преобразований по-

u1 = 13 (v1 +2v2 ); u2 = 13 (2v1 + v2 );

ω = 34l (v2 − v1 ).

При заданном направлении начальных скоростей скорости u1 , u2 поступательного движения обязательно положительны; столкновение произойдет только при условии, если v1 > v2, следовательно, ω < 0, т. е. первая гантель будет вращаться против часовой стрелки.

Если v2 < 0, то гантели движутся навстречу друг другу, и при v1 = 2 v2 первая ган-

тель будет только вращаться с угловой скоростью ω = − 4 vl 2 . Знак «минус» по-

прежнему указывает, что вращение будет происходить против часовой стрелки. При v1 = 21 v2 после удара остановится вторая гантель.

§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Кинематика

Механические колебания отличаются от рассмотренных выше видов движения тем, что ускорение при колебательном движении есть переменная величина. В силу этого необходимо тщательно рассмотреть на упражнениях соотношения между кинематическими параметрами колебательного движения.

Изучение колебаний следует начинать с гармонических колебаний. Гармоническим колебательным движением называется такое движение, при котором смещение точки или тела меняется со временем по гармоническому (синусоидальному) закону.

В зависимости от характера движения его можно описывать при помощи либо линейной, либо угловой координаты. И в том, и в другом случаях закон гармонического движения имеет следующий вид:

где х – значение координаты (угловой φ или линейной s) в момент времени t; x0 – ам-

плитуда колебаний (угловая или линейная); ω – круговая частота; ωt +α0 – фаза коле-

корению.

Следует обратить внимание учащихся на то, что:

1) ускорение при гармоническим колебании прямо пропорционально смещению, взятому с обратным знаком, а коэффициент пропорциональности равен квадрату кру-