Материал: МЭИ(ТУ) Физика

говой частоты:

d 2 x = −ω2 x ; dt 2

2) величина скорости достигает максимального значения, когда смещение и ускорение равны нулю.

Задача 1

Какова частота, амплитуда и начальная фаза колебаний, заданных уравнением (в

СИ) s = sin(630t +1)? Каковы максимальные скорость и ускорение точки, колеблющей-

ся по заданному закону?

РЕШЕНИЕ

Простое сравнение общей формулы гармонического колебательного движения s = Asin(ωt +α0 )

с заданным законом движения

s = sin(630t +1)

позволяет сразу же ответить на поставленные вопросы:

A =1м; ω = 630 с-1 ;

v = 2ωπ = 20 Гц ; α =1 рад;

vmax =ωA = 630 мс ;

amax = ω2 A = 4 105 см2 .

Задача 2

За какую долю периода тело, совершающее гармонические колебания, пройдет пути, равные половине амплитуды и амплитуде, если в начальный момент тело проходило через положение равновесия?

АНАЛИЗ

Путь l, пройденный телом, в данном случае может быть выражен как разность смещений тела s в разных положениях. Тогда

l = s − s0 ,

где s и s0 – смещения колеблющегося тела от положения равновесия соответственно в

РЕШЕНИЕ

Тело совершает гармонические колебания по закону

s = Asin ωt ; (3)

Такая запись закона движения вытекает из условия, что начальная фаза равна нулю. При t = 0 имеем

s = s0 = 0 ; при t = t1 s = s1 = A2 .

Подставив эти условия в формулу (1), получим

ωt2 = π2 ; t2 = T4 .

Следует сопоставить оба полученных результата, обратив внимание учащихся на то обстоятельство, что путь в два раза больший пройден за время в три раза большее. Рекомендуется подсчитать: 1) время прохождения второй половины амплитуды; 2)

время, в течение которого тело пройдет путь, равный амплитуде, если s0 = A2 , в двух

случаях: когда тело движется от положения равновесия и когда к положению равновесия.

Задача 3

Плоская спиральная пружина совершает гармонические колебания; при этом мак-

Найти амплитуду φ0 и период колебаний.

АНАЛИЗ

Отличительным признаком гармонических колебании является однозначная связь между амплитудой и максимальными значениями скорости и ускорения:

РЕШЕНИЕ

Из формул (1) и (2) получаем

Подставляя числовые значения, находим

ω = 6,3 с-1 ;

откуда

T = 2ωπ =1с; ϕ0 = 0,1 рад.

Динамика

Так как ускорение при гармоническом колебательном движении прямо пропорционально смещению с обратным знаком, то, следовательно, результирующая сила (результирующий вращающий момент), вызывающая движение тела, тоже прямо пропорциональна смещению тела, взятому с обратным знаком. II закон Ньютона (основное уравнение вращательного движения) при этом условии будет иметь вид

m d 2 s = −ks , dt 2

Id 2ϕ = −Dϕ . dt 2

Решения написанных дифференциальных уравнений имеют вид s = s0 sin(ωt +α0 ) и ϕ =ϕ0 sin(ωt +α0 ).

Параметры системы m, и k (J и D) однозначно определяют значение круговой частоты:

ω2 = mk ,

или по аналогии

ω2 = DI .

Значения амплитуды начальной фазы определяются только начальными условиями. Для тела, совершающего гармоническое колебательное движение, имеет место за-

кон сохранения энергии;

Eк + Eп = const ,

где

или

E к = Iω2 2 ; Eп = D2ϕ 2 .

Задача 1

Найти период колебаний физического маятника, совершающего малые колебания, состоящего из однородного стержня длиной l = 30 см; точка подвеса укреплена на расстоянии x = 10 см от центра масс стержня. Начертить график зависимости периода от расстояния х.

АНАЛИЗ

При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с периодом

где I – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса, m

– масса стержня. x – расстояние центра масс от точки подвеса.

РЕШЕНИЕ

Момент инерции стержня согласно теореме Штейнера равен

I = ml 2 + mx 2 .

12

Тогда период колебаний

Для того чтобы выяснить характер графика зависимости периода Т от расстояния x, надо найти точки экстремума.

Дифференцируя, выражение для периода Т по х, найдем

При уменьшении расстояния период колебаний будет возрастать; при x = 0 T = ∞,