для полого цилиндра
a2 |
= |
2 g ; f тр2 = 0 . |
3 |
Полученные значения сил трения могут показаться странными и их необходимо пояснить. Сила fтр стремится воспрепятствовать скольжению цилиндра относительно стола и будет направлена в сторону, противоположную результирующей скорости точки N в отсутствие трения. Эта скорость будет складываться из скорости поступательного движения и вращательного, обусловленного моментом силы натяжения нити относительно центра масс цилиндра; так как цилиндр не имеет начальной скорости, то направление результирующей скорости любой его точки будет совпадать с направлением ее результирующего касательного ускорения. Касательное ускорение точки N без трения равно
aN = a0 −εr , |
(7) |
где a0 – ускорение центра масс, εr – касательное ускорение точек обода, обусловленное вращением цилиндра. Уравнения движения цилиндра в отсутствие силы трения примут вид;
ma0 = T ,
Iε =Tr .
Заменяя опять I через bmr2 и исключая силу натяжения при решении этих уравнений, получим
εr = |
a0 |
. |
(8) |
b |
|||
Подставив выражение (8) в равенство (7), найдем
a |
= a |
− |
1 |
|||||
N |
1 |
b |
. |
|||||
0 |
||||||||
1 |
||||||||
Для сплошного цилиндра b = |
2 |
|||||||
aN = −a0 ,
т. е. касательное ускорение, а значит и скорость точки N, в отсутствие трения направлены «налево», следовательно, сила трения, препятствующая скольжению цилиндра относительно стола, направлена «направо», т. е. так же, как и сила натяжения. Этим и
объясняется знак «минус» в полученном выражении для fтр1. Для полого цилиндра
(b = 1)
aN = 0 ,
т. е. касательное ускорение, а значит, и скорость точки N равны нулю и в отсутствие силы трения. Это значит, что в условиях данной задачи цилиндр будет катиться без скольжения и по идеально гладкому столу.
Задача 9
На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи l1 = 75 см. Скамья вращается, делая n1 =1 об/с. Как изменится скорость вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси вращения I0 = 2,5 кг·м2.
АНАЛИЗ
При перемещении гирь относительно оси вращения на систему человек-скамья- гири будут действовать внешние силы – силы реакции оси, линия действия которых проходит через ось. Момент этих сил равен нулю. Следовательно, для системы чело- век-гири-скамья будет выполняться закон сохранения момента импульса. Так как момент инерции гирь, а следовательно, всей системы будет уменьшаться, скорость вращения скамьи будет возрастать, возрастет и кинетическая энергия системы. Увеличение кинетической энергии происходит за счет работы человека12.
Момент силы тяжести относительно оси скамьи (ось вертикальна) равен нулю; работы сила тяжести не совершает (гири не смещаются по высоте).
РЕШЕНИЕ
До перемещения гирь момент импульса системы
L1 = (I 0 +2ml12 )ω1 ;
после перемещения
L2 = (I 0 +2ml22 )ω2 .
Но L1 = L2, следовательно,
(I 0 +2ml12 ) 2πn1 = (I 0 +2ml22 ) 2πn2 ,
откуда
n |
= n |
I |
0 |
+2ml 2 |
= 4,2 |
об |
. |
|
1 |
||||||||
+2ml22 |
||||||||
2 |
1 I |
0 |
с |
|||||
12 Анализ движения груза и характер внутренних сил дать невозможно, так как этот материал выходит за рамки курса.
Работа человека равна приросту кинетической энергии системы:
A = E к2 − E к1 .
Так как начальная кинетическая энергия системы
E к1 |
= (I 0 |
+2ml12 )ω12 |
, |
2 |
конечная кинетическая энергия системы
Eк2 |
= (I 0 |
+2ml22 )ω22 |
, |
2 |
то
A = 2π 2 [(I 0 +2ml22 )n22 −(I 0 +2ml12 )n12 ]= 870 Дж .
Задача 10
Тяжелая узкая доска длиной l = 50 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через один из ее концов. В другой конец попадает пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, перпендикулярной оси вращения (рис. 24). Пуля застревает в доске, масса которой M = 60 кг. Найти угловую скорость доски сразу после попадания нули. На каком расстоянии от оси вращения должна попасть пуля, чтобы горизонтальная составляющая силы реакции оси в момент удара равнялась нулю?
АНАЛИЗ
В момент удара на доску будет действовать сила реакции оси, представляющая собой внешнюю силу, момент которой относительно оси вращения будет равен нулю, так как линия ее действия проходит через ось. Момент силы тяжести относительно этой же оси при взаимодействии можно считать равным нулю. Это утверждение справедливо в том случае, если процесс торможения пули протекает за столь малый промежуток
времени ∆t, что доска за это время не успевает заметным образом отклониться от вертикального положения. Таким образом, для системы пуля-доска справедлив закон сохранения момента импульса относи-
Рис. 24
Очевидно, что и величина, и направление этой силы реакции будут зависеть при прочих равных условиях от расстояния x от оси вращения до точки попадания пулиНайдем. при каким значении расстояния х сила боковой реакции оси обратится в нуль, а следовательно, импульс системы доска-пуля будет неизменным, т. е. p1 = p2. Если пуля попадает в доску, в точку, расположенную на расстоянии x от оси, то угловая скорость доски на основании уравнения (1)
ω = |
mvx |
. |
(2) |
|
I + mx 2 |
||||
Импульс системы до попадания пули в доску равен
p1 = mv ;
импульс системы после попадания пули с учетом, что vC =ω 2l , равен
l |
||||
p2 |
= M vC + mωx =ω M |
+ mx . |
||
2 |
||||
Приравняем правые части последних выражений в силу закона сохранения импульса:
mvx |
l |
|||||
mv = |
M |
+ mx . |
||||
l2 |
2 |
|||||
M |
+ mx2 |
|||||
3 |
||||||
Если учесть, что m << M, то приближенно получим
x = 23 l .
Очевидно, что при x > 23 l
∆p = p2 − p1 > 0 ,
т. е. боковая составляющая силы реакции оси направлена по движению пули.
Задача 11
На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ω0 = 15 с-1. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью ω начнет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180°? Момент инерции человека и скамьи I = 3 кг·м2, момент инерции колеса относительно своей оси
I0 = 0,5 кг·м2.