Материал: МЭИ(ТУ) Физика

где момент инерции диска

I = m0r2 . 2

Решая три последних уравнения совместно, находим

Задача 3

С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти ускорение диска и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту α = 36°, масса диска m = 500 г (рис. 20).

Рис. 20

АНАЛИЗ

При качении без скольжения тело перемещается, так как оно поворачивается вокруг оси, проходящей через центр масс. Следовательно, смещение s центра масс

где φ – угловое перемещение диска вокруг центра масс. Дважды дифференцируя это равенство, получим

ния.

где ω и ε – угловые скорость и ускорение вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.

Равенства (1), (2), (3) представляют собой математическую запись условий качения тела без скольжения (как по наклонной плоскости, так и по любой кривой поверхности).

В рассматриваемой задаче на диск действуют: сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения fтр. Так как скольжения диска относительно плоскости нет, указанная сила трения есть сила трения покоя, которая подчиняется условию

где µ – коэффициент трения между плоскостью и диском, N – сила нормальной реакции плоскости на диск. Ускорение центра масс а может быть найдено из II закона Ньютона

Вращение диска вокруг центра масс обусловливается только силой трения, так как моменты силы тяжести и силы нормальной реакции равны нулю. Следовательно,

РЕШЕНИЕ

Рассматривая проекции всех сил на ось х (направим ось x вниз параллельно наклонной плоскости), получим на основании уравнения (5)

При совместном решении уравнений (7) и (8) с учетом, что момент инерции диска

Из равенств (10) и (4) легко теперь найти условие при котором возможно качение без скольжения:

mg sinα 1+ mrI 2

или

1

1+ mrJ 2

Следовательно, при уменьшении коэффициента трения сила, требуемая для обеспечения качения без скольжения, может оказаться больше, чем максимальная сила трения покоя, тогда тело начнет скользить; такое же явление может иметь место при увеличении угла α.

Задача 4

С наклонной плоскости скатываются без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на легкие колеса. Массы цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз?

АНАЛИЗ

Движение центров масс обоих тел равноускоренное без начальной скорости. Следовательно, для обоих тел можно записать

где v – скорость тела в конце наклонной плоскости; l – ее длина. Искомое соотношение времен

t1 = v2 . t2 v1

Рассмотрим катящийся цилиндр. На цилиндр, как уже указываюсь в предыдущей задаче, действуют три силы: сила трения fтр, сила нормального давления N и сила тяжести Р. Первые две силы не совершают работы при качении цилиндра, так как сила трения возникает при отсутствии скольжения, сила нормального давления перпендикулярна перемещению. Следовательно, система цилиндр-Земля консервативна и можно применить к ней закон сохранения энергии:

∆E к + ∆Eп = 0 . (1)

Рассмотрим движение тележки. Аналогичный анализ характера действующих сил позволяет применить закон сохранения энергии и к системе тележка-колеса-Земля. Но по условиям задачи масса колес очень мала, поэтому энергией колес как кинетической, так и потенциальной, можно пренебречь.

Уравнение (1) будет справедливо и в этом случае, с той только разницей, что слагаемое Eк выражает кинетическую энергию только поступательного движения.

РЕШЕНИЕ

Для цилиндра

где h – высота наклонной плоскости, v1 – линейная скорость центра масс цилиндра, ω –

угловая скорость вращения вокруг центра масс в конце наклонной плоскости, I – момент инерции цилиндра. Известно, что

v1 =ωr ,

I = mr2 b ,

где b для тел разной формы принимает различные значения; для сплошного цилиндра b = 12 .

Найдём из этих формул ω и J и подставим в равенство (3), тогда

Подставляя выражения (5) и (6) в уравнение (1), получим, что скорость центра масс тележки

v2 = 2gh .

Искомое соотношение времен

Как видно из ответа, цилиндр скатывается медленнее, чем тележка. Объяснить это можно тем, что движение цилиндра (поступательное) тормозится силой трения покоя. Из равенства (10) задачи 3 следует, что сила трения растет с возрастанием момента инерции скатывающегося тела. Так как по условию задачи масса колес, а следовательно, и их момент инерции практически равны пулю, то сила трения покоя, действующая на колеса тележки, стремится к нулю.

Данная задача может быть решена на основании II закона Ньютона и основного уравнения динамики, при этом искомое соотношение времен будет равно корню из обратного отношения ускорений.

Задача 5

На полый тонкостенный цилиндр намотана нить, свободный конец которого прикреплён к потолку. Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса (рис. 21). Найти ускорение цилиндра и силу натяжения нити, если массой и толщиной