где Eк(1) – кинетическая энергия человека в момент отрыва от тележки, Eк(2 ) – кинетиче-
ская энергия тележки в этот же момент времени. По условию задачи тележка откатывается на расстояние s. На этом пути на тележку действуют сила тяжести, сила нормальной реакции земли и сила трения. Первые две взаимно уравновешиваются. Работа силы трения должна равняться изменению кинетической энергии тележки на пути s, т. е.
∆E к(2 ) = −E к(2 ) = Aтр . |
(2) |
Кинетическая энергия человека может быть найдена из соотношения скоростей человека и тележки, выведенного на основан закона сохранения импульса:
m1v1 − m2 v2 = 0 , |
(3) |
где v1 и v2 – скорости человека и тележки относительно Земли после прыжка.
Применение закона сохранения количества движения к системе человек-тележка возможно только в предположении, что сила трения между колесами тележки и рельсами мала по сравнению с силой взаимодействия человека и тележки, возникающей во время прыжка.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим значение работы в уравнении (2):
Aтр = − f тр s , f тр = µP2 .
Подставив эти соотношения в уравнение (2), получим
Eк(2 ) |
= µm2 gs . |
(4) |
|||||||||||||||
Из равенства (3) находим, что |
|||||||||||||||||
v1 |
= |
m2 |
, |
||||||||||||||
v2 |
m1 |
||||||||||||||||
следовательно, |
|||||||||||||||||
E (1) |
= |
m v2 |
= |
m |
2 |
, |
|||||||||||
к |
1 1 |
||||||||||||||||
Eк(2 ) |
m2 v22 |
m1 |
|||||||||||||||
откуда |
|||||||||||||||||
(1) |
(2 ) |
m2 |
|||||||||||||||
E |
к |
= E к |
. |
(5) |
|||||||||||||
m1 |
|||||||||||||||||
Подставим это выражение и выражение (4) в формулу (1) и произведем вычисления:
m2 |
|||||
= 88 Дж . |
|||||
+ m |
|||||
∆Eчел = µm2 gs 1 |
|||||
1 |
|||||
§ 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Методика решения задач по вращательному движению принципиально не отличается от методики решения задач поступательного движения. Для составления основного уравнения динамики вращательного движения следует рассматривать отдельно каждое из тел, входящих в систему. Анализ действующих сил должен иметь столь же большой удельный вес, как и при решении задач на поступательное движение.
В задачах этого раздела рассматривается вращение тел вокруг оси (двумерное вращение). В этом случае все векторы, входящие в задачи (угловые скорость и ускорение, моменты сил, моменты импульса), коллинеарны, поэтому для простоты уравнения движении большей частью записываются в скалярной форме.
При прохождении данного раздела на лекциях прочитан уже материал, достаточный по объему, поэтому можно с самого начала использовать как основное уравнение динамики вращательного движений, так и законы сохранения. Условия применимости закона сохранения энергии остаются теми же, что и при поступательном движении.
Закон сохранения моментов импульсов справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно рассматриваемой оси равна нулю.
Сложное плоское движение, например движение катящегося тела, следует рассматривать как сумму двух движении — вращательное вокруг оси, проходящей через центр масс, и поступательное движение со скоростью центра масс. Для решения задачи следует, писать основное уравнение динамики вращательного движения
∑Mi = Iε
и II закон Ньютона
∑Fi = ma ,
где Mi – моменты всех сил, действующих на тело, рассчитанные относительно оси, проходящей через центр масс; I – момент инерции тела относительно той же оси; ε – угловое ускорение; Fi – силы, действующие на тело; m – масса всего тела; а – ускорение центра масс, не зависящее от точек приложении действующих сил. Кинетическая энергия тела в этом случае равна сумме кинетических энергий вращательного и поступательного движений.
Задача 1
Маховик, массу которого m =5 кг можно считать распределенной по ободу радиуса r = 20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая п = 720 об/мин. При торможении маховик полностью останавливается через время ∆t = 20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
АНАЛИЗ
Если пренебречь зависимостью силы трения от скорости, движение маховика можно считать равнозамедленным и основное уравнение динамики может быть записано таким образом:
I∆ω = M∆t , |
(1) |
где ∆ω – изменение угловой скорости за время ∆t.
Полное число оборотов N может быть найдено как кинематически, так и из изменения кинетической энергии.
РЕШЕНИЕ
Из условий задачи следует, что
∆ω =ωк −ω0 |
= −ω0 = −2π n , |
(2) |
|
I = mr2 . |
(3) |
||
Подставив выражения (2) и (3) в равенство (1), получим |
|||
− mr2 2πn = M∆t , |
|||
откуда |
|||
M = |
−2π n mr2 |
||
∆t |
= −0,76 Н м . |
||
Знак «минус» показывает, что вектор момента направлен противоположно вектору угловой скорости.
Проверим размерность полученного выражения в СИ:
dim M = dim r dim F = L MLT 2 = ML2T −2 ,
2 |
1 |
2 |
1 |
2 −2 |
||||||
nmr |
||||||||||
dim |
= |
ML |
= ML T |
. |
||||||
∆t |
T |
T |
||||||||
Угловое перемещение, пройденное маховиком до остановки,
только после рассмотрения движения блока.
Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, моменты сил тяжести и реакции оси равны нулю. Предполагая, что нить не скользит относительно блока, можно утверждать, что вращение блока вызывается действием сил натяжения нити.
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения в применении к блоку записываем так:
Iε = M1 + M2 ,
где M1 и M2 – моменты обеих сил натяжения. Считая направление вращения блока по часовой стрелке положительным, т. е. принимая направление по оси вращения «к нам» за положительное, получим
′ |
′ ′ |
′ |
=T2 ), |
(3) |
Iε =T1r −T2 r (T1 =T1,T2 |
||||
ε = a |
, |
(4) |
||
r |
||||
где а – абсолютное значение линейного ускорения грузов. Последнее равенство справедливо в силу того, что нить нерастяжима и, следовательно, линейное ускорение грузов и всех точек нити одинаково и равно вследствие отсутствия проскальзывания нити касательному ускорению крайних точек блока. Из равенства (3) вытекает, что в случае невесомости блока
T2 = T1 11
РЕШЕНИЕ
Для определения закона движения грузов выбираем общую систему координат. Положительное направление оси принимаем вертикально вниз. Тогда уравнения (1) и
(2) запишем следующим образом:
m1a = P1 −T1 ; − m2a = P2 −T2 .
Уравнение (3) с учетом равенства (4) получим в виде
I ar =T1r −T2 r ,
11 Надо помнить, что здесь речь идет только об абсолютных величинах сил натяже-