∆E к = − |
(m +M )u2 |
, |
(3) |
|
2 |
||||
где u – общая скорость груза и сваи после удара.
При таком рассмотрении предполагаем, что удар настолько кратковременный, что смещением сваи в процессе удара можно пренебречь. Работа силы сопротивления
Aсопр = −F s |
(4) |
(знак «минус» объясняется направлением искомой силы F).
После подстановки выражений (2), (3), (4) в уравнение (1) видно, что нахождение силы сопротивления сводится к определению скорости u. Так как скорость и является следствием ударного взаимодействия двух тел, она может быть найдена только с помощью закона сохранения импульса. Но система груз-свая не является замкнутой системой потому, что на взаимодействующие тела действуют внешние силы – сила тяжести и сила сопротивления грунта. Эти силы, во-первых, коллинеарны со скоростями и, во-вторых, заведомо не уравновешивают друг друга, так как в процессе взаимодействия сила сопротивления изменяется по величине. Поэтому в данной задаче закон сохранения может быть использован только в предположении, что сила взаимодействия, развиваемая при ударе, велика по сравнению с указанными внешними силами.
РЕШЕНИЕ |
|||
Подставив в уравнение (1) выражения (2), (3), (4), получим |
|||
(m + M )gs + |
(m + M )u2 |
= Fs . |
(5) |
2 |
|||
Применяя к системе груз-свая закон сохранения количества движения, получим |
|||
M v = (M + m )u , |
(6) |
||
где v – скорость груза в конце падения с высоты h. Если не учитывать сопротивления воздуха и трения, то
v = |
2gh , |
||
откуда |
|||
u = |
M |
2gh . |
(7) |
M + m |
|||
Заменяя и через выражение (7), окончательно находим
F = |
M 2 g |
h |
+ (m +M )g =1 105 |
Н . |
(8) |
|
M + m |
||||||
s |
Проведем анализ размерностей полученной формулы в системе L, M, Т, т. е. в такой системе, в которой в качестве основных величин выбраны длина (L), масса (M), время (T). К таким системам в частности относятся системы СГС и СИ.
Размерность силы10
dim F = MLT −2 .
Размерность первого слагаемого правой части уравнения (8)
M 2 TL2 M1 LL = MLT −2 ;
размерность второго слагаемого
M TL2 ≡ MLT −2 .
Как видно, размерности всех членов равенства совпадают и равны размерности силы. Можно также проводить проверку формулы, пользуясь размерностями единиц из-
мерений в определенных системах. Например, в системе СИ будем иметь для первого слагаемого
M |
2 |
g |
h |
кг |
2 |
м2 |
м |
кг |
2 м |
|||||
= |
= |
= Н ; |
||||||||||||
м |
с |
|||||||||||||
M + m s |
кг с |
|||||||||||||
для второго слагаемого
[(M + m)g]= кг см2 = Н .
Следовательно, подставив в окончательную формулу значения величин, выраженные в СИ, получим силу в ньютонах.
Следует отметить, что числовые значения h и s первого слагаемого можно подставлять в окончательную формулу в любых, но одинаковых единицах (метрах, сантиметрах и т. п.).
Задача 9
10 В настоящее время в учебной литературе для обозначения размерности величины вместо квадратных скобок употребляется термин «dim», что означает размер, измерение.
Пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, попадает в мешок, набитый ватой, массой M = 4 кг, висящий на длинной нити (рис. 18). Найти высоту, на которую поднимается мешок, если пуля застрянет в нем, и долю ее кинетической энергии, которая будет израсходована на пробивание ваты.
Рис. 18
АНАЛИЗ
В результате попадания пули в мешок последний получит некоторую скорость и начнет двигаться влево по дуге радиуса l, где l – длина нити. Вследствие действия силы тяжести скорость мешка будет непрерывно убывать до нуля. Зная начальную скорость мешка u, можно найти высоту его подъема h кинематически, однако ускорение мешка будет функцией угла отклонения α, поэтому решение будет связано с математическими трудностями. Для избежания этого применим к системе мешок-Земля закон сохранения энергии (на мешок, кроме силы тяжести – внутренней силы по отношению к рассматриваемой системе, действует сила натяжения нити, но работа этой силы равна нулю,
так как угол (T,s)= π2 ):
∆Eк + ∆Eп = 0 . |
(1) |
|||
Здесь |
||||
∆E к = − |
(M + m)u |
2 |
. |
(2) |
2 |
||||
Знак «минус» показывает, что при подъеме мешка его кинетическая энергия убыва-
ет до нуля; сумма масс берется потому, что пуля застревает в мешке и движется вместе
сним. Несмотря на то, что мешок движется по окружности, можно считать, что все точки его обладают одинаковой скоростью и, так как длина нити велика по сравнению
сразмерами самого мешка. Потенциальная энергия системы возрастает на величину
∆Eп = (m +M )gh . |
(3) |
|||
Подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим |
||||
h = |
u2 |
. |
(4) |
|
2g |
||||
Таким образом, задача сводится к нахождению скорости и. Скорость мешка легко может быть найдена из закона сохранения импульса, так как система мешок-пуля замкнута. Действительно, скорость пули и начальная скорость мешка после попадания пули строго горизонтальны. Следовательно, действующие на систему силы-сила тяжести и сила натяжения нити, внешние по отношению к системе силы, во время взаимодействия перпендикулярны скоростям тел и не меняют импульса системы. Это утверждение справедливо в предположении, что время ∆t взаимодействия мешка и нули мало, и поэтому перемещение мешка за время ∆t практически равно нулю.
РЕШЕНИЕ |
|
Применяя закон сохранения импульса, получим |
|
mv = (m +M )u |
(5) |
(коллинеарность скоростей позволяет записать этот, закон сразу в скалярном виде). Подставляя значение и, полученное из выражения (5), в формулу (4), находим
h = (m2 v2 ) = 5 см. 2g m +M 2
Прежде чем отвечать на второй вопрос задачи, следует рассмотреть кинетическую энергию системы до и сразу после взаимодействия. Учитывая сделанное предположение о кратковременности взаимодействия, изменение потенциальной энергии системы за это время следует считать равным нулю.
До взаимодействия Eк1 системы равнялась Eк пули (мешок неподвижен), значит
E к1 = |
mv2 |
; |
(6) |
|
2 |
||||
после взаимодействия
E к2 = |
(m +M )u2 |
. |
|||||||
2 |
|||||||||
Подставив в это выражение значение и из уравнения (5), получим |
|||||||||
E к2 = |
mv2 |
m |
. |
(7) |
|||||
2 |
m +M |
||||||||
Доля η кинетической энергии пули, израсходованной на пробивание ваты, может
быть определена на основании выражений (6) и (7) следующим образом: |
|||||
η = |
E к1 − E к2 |
=1− |
m |
. |
(8) |
Eк1 |
m +M |
||||
Подставив в выражение (8) значения масс, находим
η = 99,75% .
После решения этой задачи следует качественно разобрать случай, когда мешок с ватой заменяют абсолютно упругим телом той же массы М. Вследствие того, что масса груза очень велика по сравнению с массой пули, последняя отскочит со скоростью, близкой к начальной, но противоположного направления, т. е. изменение импульса пули при упругом ударе вдвое больше, чем при неупругом ударе. Поэтому груз М по окончании удара приобретет скорость, вдвое большую, чем скорость и, рассчитанную по выражению (5).
Задача 10
Человек массой m1 = 60 кг прыгает с неподвижной тележки, стоящей на рельсах, вдоль рельс; при этом тележка, масса которой m2 = 30 кг, откатывается в противоположном направлении на расстояние s = 2 м. Зная, что коэффициент трения тележки о рельсы µ = 0,1, найти энергию, затраченную человеком при прыжке.
АНАЛИЗ
Человек, отталкиваясь от тележки при прыжке, сообщает скорость себе самому и тележке; затраченная им энергия превращается в кинетическую энергию тележки и самого человека. При этом предполагаем, что время ∆t взаимодействия человека и тележки настолько мало, что смещением тележки и работой силы трения за время ∆t можно пренебречь. Тогда
∆Eчел = E к(1) + E к(2 ) , |
(1) |