РЕШЕНИЕ
Рассматривая заданный закон движения, находим
A0 =10 м;
T= 0,25 с;
Θ= βT = 0,05 .
Искомая амплитуда
AN = A0e−ΘN = 6 м.
Задача 9
Найти логарифмический декремент математического маятника длиной l = 50 см, если за время τ = 8 мин он теряет 99% своей энергии.
АНАЛИЗ
Полная энергия тела, совершающего колебания, пропорциональна квадрату амплитуды. Амплитуда затухающего колебания
A(t)= A e−βt . |
(1) |
0 |
Из отношения конечной (по истечении τ = 8 мин) и начальной энергии можно найти величину коэффициента затухания. Для определения логарифмического декремента надо знать период колебаний маятника. Считая затухание малым, период можно рассчитать по обычной формуле математического маятника13.
РЕШЕНИЕ
Используя соотношение (1), можно написать следующую систему уравнений:
E1 |
2 |
−2βt1 |
, |
|||
≈ A0 e |
(2) |
|||||
2 |
−2β (t |
+τ ) |
||||
E2 |
≈ A0 e |
1 |
||||
. |
||||||
Здесь τ – заданный промежуток времени, E1 и E2 – значения энергий маятника в момен-
ты времени, разделенные промежутком τ. Из условий задачи E2 = 0,01 . Подставив в
E1
это условие выражения (2), получим
13 Правильность этого предположения необходимо подвергнуть последующей проверке.
e−2βτ = 0,01,
откуда
− 2βτ = ln 0,01 = −4,6 ; β = 4,8 10−3 с-1 .
Период колебаний математического маятника
T = 2π gl =1,4 с,
собственная частота ω0 = 4,5 с-1. Следовательно, логарифмический декремент
Θ = βT = 6,7 10−3 .
Найдя коэффициент затухания β и собственную14 частоту, можно убедиться в правильности сделанного выше допущения. Период затухающих колебаний
T1 |
= |
2π |
. |
(3) |
||
ω2 |
− β 2 |
|||||
0 |
||||||
Рассчитывая период по формуле
T |
= |
2π |
, |
(4) |
|
ω |
|||||
0 |
|||||
0 |
мы допускаем относительную ошибку
δT = |
T1 −T0 |
. |
(5) |
T |
|||
0 |
|||
Подставляя выражения (3) и (4) в формулу (5), и учитывая, что в данном случае
β<<1, получим
ω0
δT = |
β 2 |
= 0,6 10−6 . |
|
2ω02 |
|||
Задача 10
Груз массой m=0,5 кг, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой k = 50 Н/м, помещен в масло. Коэффициент трения в масле r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, меняющаяся по закону F =1 sin ωt (Н).
14 Следует указать, что собственной частотой называется частота колебаний, которые имели бы место при отсутствии затухания.
При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? Чему равна максимальная амплитуда? Какова амплитуда вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое больше (меньше) резонансной?
АНАЛИЗ
Вынужденные колебания совершаются с частотой вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний определяется формулой
A = |
f0 |
, |
(1) |
(ω02 −ω2 )2 + 4β 2ω2 |
где ω – частота вынужденных колебаний, ω0 – собственная частота маятника, f0 – амплитудное значение силы, деленное на массу колеблющегося тела, β – коэффициент затухания.
Резонанс наступает тогда, когда
ω2 = ω02 − 2β 2 . |
(2) |
Если β << ω0 , то можно считать, что резонанс наступает при |
|
ω = ω0 . |
(3) |
Прежде всего следует по данным задачи рассчитать значения ω0 и β. Все остальные искомые величины могут быть получены непосредственно с помощью формул (1) и (2)
или (3).
РЕШЕНИЕ
Расчет показывает, что
ω0 = |
k |
≈10 с-1 , |
m |
β = 2rm = 0,5 с-1 .
Следовательно, ошибка, совершенная при расчете резонансной частоты по формуле (3),
∆ω2 |
2β 2 |
∆ω |
2 |
2∆ω |
|||||
будет составлять всего лишь 0.25% ( |
= |
= 0,005 ; |
= |
). Поэтому можно |
|||||
ω2 |
ω2 |
ω2 |
ω |
||||||
0 |
считать, что амплитуда вынужденных колебаний примет максимальное значение при ω
= ω0 = 10 с-1.
Максимальное значение амплитуды при этом
A |
= |
f0 |
= |
F0 |
= 20 см. |
max |
2βω |
m 2βω |
|||
Здесь F0 – амплитуда вынуждающей силы. По условию F0 = 1 Н.
При проведении всех указанных расчетов следует, тщательно следить за размерностями единиц измерений.
Если ω = ω20 , то
A1 |
= |
F0 |
. |
|||
9 |
||||||
2 |
m |
ω04 |
+ β 2ω02 |
|||
16 |
||||||
Вынося ω0 из-под знака радикала и учитывая, что β 2 << ω02 , получим
A1 |
= |
F0 |
= 2,7см; |
|||||||
m |
3 |
2 |
||||||||
2 |
4 |
ω0 |
||||||||
для частоты ω = 2ω0 |
||||||||||
A2 |
= |
F0 |
= 0,7 см. |
|||||||
m 3 |
ω02 |
|||||||||
§ 5. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Настоящий параграф преследует цель показать на нескольких примерах метод решения задач в неинерциальных системах, т. е. в системах, где законы Ньютона, а следовательно, и все законы классической механики, которыми мы пользовались до сих пор, справедливы только в предположении, что кроме сил, обусловленных взаимодействием с другими конкретными телами, действуют так называемые силы инерции. Силы инерции зависят, прежде всего, от характера движения неинерциальной системы, это значит, что для расчета их необходимо знать, как движется неинерциальная система относительно любой инерциальной системы, т. е. знать характер движения,, его кинематические параметры.
Силы инерции прямо пропорциональны массе рассматриваемого тела, следовательно, приложены они, как правило, в центре масс тела.
Мы рассмотрим только два типа неинерциальных систем: 1) системы, движущиеся поступательно прямолинейно и ускоренно; 2) системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью ω относительно какой-либо инерциальной системы (например, относительно Земли). В первом случае на любое тело массой m будет действовать сила инерции Fин = −ma0 , где a0 – ускорение неинерциальной системы. Во втором случае действуют центробежная сила инерции Fцб = miω2ri , направленная так же, как радиус-
вектор ri рассматриваемой материальной точки, проведенной от оси вращения к точке mi, и сила инерции Кориолиса Fк = 2m[V′ω], где V' – скорость материальной точки от-
носительно вращающейся неинерциальной системы.
Задача 1
По гладким горизонтальным рельсам движется платформа массой М со скоростью v. На передний край платформы кладут аккуратно (т. е. без толчка) груз массой m. Ко-
эффициент трения между этим грузом и платформой равен µ. При какой минимальной длине l платформы груз не упадет с нее?
АНАЛИЗ
В начальный момент платформа как бы выскальзывает из-под груза, но в результате действия силы трения скорость платформы относительно земли будет уменьшаться, скорость груза возрастать. Груз не упадет с платформы, если за то время, которое необ-