Второй корень (t2 < τ) соответствует «столкновению» тел, когда второе тело движется к точке А навстречу первому телу.
Задача 4
Камень брошен с высоты h = 2,1 м под углом α = 45° к горизонту и падает на землю на расстоянии s = 42 м по горизонтали от места бросания (рис. 2). Найти начальную скорость v0 камня, время полета τ и максимальную высоту Н подъема над уровнем земли. Найти также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.
Рис. 2
АНАЛИЗ
Движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых движении: равномерное движение но горизонтали (по оси х) и равнопеременное по вертикали (по оси у). Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания. Ось у направим вертикально вверх.
РЕШЕНИЕ
Для движения камня по оси х имеем
vx = v0 cosα = const ; x = v0 cosα t ;
при t = τ x = s . |
|
Следовательно, |
|
s = v0 cosα τ . |
(1) |
Для движения камня по оси у |
vy |
= v0 sinα − gt , |
(2) |
|||||||
y = v0 sinα t − |
gt 2 |
. |
(3) |
||||||
2 |
|||||||||
При t = τ y = –h, поэтому |
|||||||||
− h = v0 sinα τ − |
gτ |
2 |
, |
(5) |
|||||
2 |
|||||||||
vyB |
= v0 sinα − gτ . |
(6) |
|||||||
Решая совместно уравнения (1) и (4), находим значения τ и v0: |
|||||||||
τ = 2(h + s tgα) |
= 3 с; |
||||||||
g |
|||||||||
v |
0 |
= |
s |
= 20 м . |
|||||
τ cosα |
|||||||||
с |
|||||||||
Высоту подъема камня над землей можно найти из условия
H = h + ymax .
При y = ymax имеем vy = 0, t = t1. Подставив в уравнение (2) vy = 0, находим время подъема t1:
t |
= |
v0 sinα |
. |
||||
1 |
g |
||||||
Подставив t1 в уравнение (4), получим |
|||||||
ymax |
= |
v2 sin2 |
α |
; |
|||
0 |
|||||||
2g |
|||||||
H = h + |
v2 |
sin2 α |
=12 м. |
||||
0 |
|||||||
2g |
|||||||
Найдём теперь направление векторов полного ускорения скорости и величины нормального и тангенциального ускорений в точках траектории, указанных в условии задачи. В верхней точке траектории vy = 0, v = vx; следовательно, векторы ускорения и скорости взаимно перпендикулярны. Это значит, что aτ = 0, an = g.
Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке по формуле
r = |
v2 |
= |
v2 cos2 |
α |
= 20 м . |
0 |
|||||
an |
g |
||||
В конечной точке траектории синус угла β между векторами скорости и ускорения может быть выражен следующим образом:
sin β = vvx .
Разложив вектор полного ускорения g на тангенциальное и нормальное, получим aτ = gcos β , an = gsin β ,
и радиус траектории в этой точке также находится из соотношения r = v2 , т. е. aB
n
r = |
v3 |
|
B |
. |
|
vx g |
||
Так как полное время τ движения и начальная скорость v0 уже найдены, скорость v
в точке падения на землю находится по формуле
v = v02 cos2 α + (v0 sinα − gτ )2 = 21 мс .
Тогда радиус кривизны траектории в этой точке r = 63 м.
Задача 5
С вершины горы под углом α = 36° к горизонту бросают камень с начальной скоростью v0 = 5 м/с (рис. 3). Угол наклона горы к горизонту также составляет 36°. На каком расстоянии l от точки бросания упадет камень?
Рис. 3
АНАЛИЗ
Так же, как и в предыдущей задаче, движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых прямолинейных движений. В данном случае в качестве составляющих движений удобно брать движения вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней. При таком рассмотрении оба составляющих движения прямолинейны и равнопеременны.
РЕШЕНИЕ
Поместим начало координат в точке бросания (точка А), ось х направим параллельно наклонной плоскости вниз, ось у – перпендикулярно к плоскости вверх. Как видно из рисунка,
ax = g sinα , v0x = v0 cos 2α ; |
(1) |
ay = −g cosα , v0 y = v0 sin 2α . |
(2) |
На основании выражений (1) и (2) закон движения камня в выбранной системе координат можно записать следующим образом:
x = v0 cos 2α t + |
g sinα t 2 |
; |
(3) |
|||
2 |
||||||
y = v0 sin 2α t − |
g cosα t 2 |
. |
(4) |
|||
2 |
||||||
В точке падения камня (точка В) при t = τ, x = l y = 0. Подставив значения y = 0 и
t = τ в уравнение (4), найдем |
|||||||||
τ = |
2v0 sin 2α |
= |
4v0 sinα |
. |
(5) |
||||
g |
|||||||||
gcosα |
|||||||||
Подставив в уравнение (3) значения t = τ, x = l и заменив τ выражением (5), получим |
|||||||||
l = |
4v2 sinα |
(cos 2α + 2sin2 |
α) . |
||||||
0 |
|||||||||
g
Преобразуем выражение в скобках
cos 2α + 2sin2 α = cos2 α − sin2 α + 2sin2 α =1;
окончательно получим
l = |
4v2 |
sinα |
= 6,1м . |
0 |
|||
g |
|||
Можно выбрать координатные оси как обычно – ось x' направить по горизонтали, ось y' вертикально вверх. Тогда получим следующую систему уравнений:
x ′ = v0 cosα t, |
|||
(6) |
|||
gt |
2 |
||
y′ = v0 sinα t − |
. |
||
2 |
|||
В точке В при t = τ1 xB' = l cos α, yB' = l sin α. Подставляя значения xB' и xB' в уравнение (6), найдем искомое значение l.