Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Задача 4

В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a = 2 м/с2, висит на шнуре груз массой m = 200 г (рис. 7). Найти силу натяжения шнура и угол α отклонения шнура от вертикали.

Рис. 7

АНАЛИЗ

Независимо от состояния вагона (покой или движение) на груз будут действовать только две силы: сила тяжести и сила натяжения шнура. В покоящемся вагоне (или при его движении с постоянной скоростью) обе силы будут коллинеарны и их векторная сумма будет равна нулю. При движении вагона с ускорением шнур отклонится от вертикали в сторону, противоположную движению, и обе действующие на груз силы должны сообщить грузу относительно Земли ускорение, равное ускорению вагона. Правильнее было бы говорить, что не груз будет отклоняться влево, а вагон; следовательно, и точки прикрепления шнура к вагону будут уходить «из-под» груза3. Так как вагон движется по отношению к Земле с ускорением, систему координат, относительно которой рассматривается движение груза, нельзя связывать с вагоном. В системе координат, жестко связанной с Землей, II закон Ньютона имеет вид

где а – ускорение груза относительно Земли.

3 В начале движения вагона с ускорением груз будет совершать колебания. Мы рассматриваем груз в тот момент, когда колебания затухнут, т. е. когда ускорение груза равно ускорению вагона. Нить при этом оказывается отклоненной от вертикали.

РЕШЕНИЕ

Заменяя уравнение (1) двумя скалярными равенствами, связывающими между собой проекции сил и ускорения на оси х и у, выбранные, как показано на рис. 7, получим

При совместном решении этих двух уравнений вычислим

α = arctg ag = arctg 0,204 =11,5°,

T = m a2 + g2 = 2 Н .

Задача 5

На тележке массой M = 20 кг, которая может свободно перемещаться вдоль рельс, лежит доска массой m = 4 кг. Коэффициент трения между доской и тележкой µ = 0,2. Доску тянут с силой F, направленной горизонтально (рис. 8). Найти ускорение доски и силу трения между доской и тележкой в двух случаях, если: 1) F = 5,9 Н; 2) F = 19,6 Н.

fтр′

Рис. 8

АНАЛИЗ

В этой задаче впервые в рассмотрение входит сила трения. Сила трения, действующая на доску, будет направлена в сторону, противоположную её относительной скорости, и равна произведению µN, где N – сила нормальной реакции, действующая со стороны доски на тележку. В данном случае N = mg.

Если относительная скорость доски (скорость доски относительно тележки) равна нулю, то сила трения (т. е. сила трения покоя) будет направлена в сторону, противоположную возможному движению доски, т. е. в сторону, противоположную той, куда двигалась бы доска, если бы не было силы трения покоя. При этом модуль силы трения

покоя может принимать любое значение от 0 до µN, т. е. f тр ≤ µN 4. В этом случае ус-

корения доски и тележки равны друг другу. Если приложенная к доске сила F будет больше некоторого определенного значения, доска начнет двигаться относительно тележки, сила трения примет максимальное значение

f тр = µmg .

Для того чтобы ответить на вопросы, поставленные в задаче, надо выяснить, как будет происходить движение системы – будет ли двигаться доска относительно тележки или нет. Так как начальные скорости обоих тел равны нулю, задача сводится к нахождению условий, при которых относительное ускорение а доски равно нулю. При этом надо помнить, что относительное ускорение может быть направлено только в сторону приложенной силы5 F.

РЕШЕНИЕ

Коллинеарность сил, приложенных к доске (сила тяжести уравновешивается силой нормальной реакции), позволяет писать II закон Ньютона для доски сразу в скалярной форме. Это относится и к тележке, так как последняя получает ускорение только под действием силы трения. Сила трения, приложенная к доске, направлена в сторону, противоположную силе F; сила трения, действующая на тележку со стороны доски, направлена в сторону возможного движения доски.

Выбрав за положительное направление направление действия силы F, будем иметь такую систему уравнений:

Здесь т – масса доски, a1 – ускорение доски относительно системы координат, жестко связанной с Землей, М – масса тележки, a2 – ускорение тележки.

Ускорение доски можно записать следующим образом:

1 Здесь, как и в дальнейшем, мы пренебрегаем зависимостью силы трения скольжения от скорости и считаем, что максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения.

5 Сила трения не может изменить направление движения тела на противоположное.

где a' – ускорение доски относительно тележки. Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

Относительное ускорение доски может принимать только положительное значение или обращаться в нуль:

Таким образом, приложенная сила F, при которой доска еще не будет двигаться относительно тележки, должна иметь предельное значение

1. По условию задачи F = 5,9 Н. Так как приложенная сила меньше предельного значения Fпред, при котором начинается скольжение доски относительно тележки, то a1 = a2 = a и возникающая сила трения есть сила трения покоя. Уравнения (1) можно переписать в виде

При решении уравнений (5) получим

f тр = MFM+ m = 5 Н ; a = M F+ m = 0,24 м с2 .

2. По условию задачи F = 19,6 Н. В этом случае F > Fпред, доска будет скользить относительно тележки, и сила трения, теперь уже сила трения скольжения, будет равна

f тр = µmg = 7,8 Н .

Уравнения (1) примут такой вид:

ma1 = F − µmg ,

ma2 = µmg .

Из первого уравнения находим

a1 = F − µmg = 3,0 м с2 .

m

Задача 6

На наклонной плоскости лежит груз массой m1 = 5 кг, связанным нитью, перекинутой через блок, с другим грузом m2 = 2 кг (рис. 9). Найти силу натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью µ = 0,1; угол α наклона плоскости к горизонту 36°.

Рис. 9

АНАЛИЗ

На первое тело действуют следующие силы: сила тяжести P1, сила нормальной реакции N (сила, с которой наклонная плоскость действует на груз), сила натяжения Т нити и сила трения fтр. Эта последняя сила всегда направлена в сторону, противоположную скорости тела; если же неизвестно направление движении системы, то нельзя указать направлении силы трения. Но так как сила трения скольжения не может изменить направление движения на обратное, то следует найти сначала направление движения в отсутствие трения, а затем уже решать задачу с учетом силы трения.

II закон Ньютона для первого тела без учета силы трения запишется так:

m1a = T + P1 + N .

Рассматривая проекции сил на ось х и предполагая, что ускорение первого тела направлено вниз параллельно наклонной плоскости, получим II закон Ньютона в таком виде:

Из условия нерастяжимости нити следует, что ускорение второго тела должно быть направлено вверх и по модулю равно ускорению первого тела. Так как обе силы (сила тяжести и сила натяжения нити), действующие на второе тело, коллинеарны, то II закон Ньютона для второго тела можно сразу писать в скалярном виде

Ускорение получилось положительным. Это значит, что первое тело будет двигаться вниз по наклонной плоскости, второе – вверх. Необходимо оговорить, что в данном случае направления ускорения и скорости обязательно совпадают, так как рассматриваемые тела не имели начальной скорости. Найдя направление движения, можно решать задачу уже с учетом сил трения. При этом II закон Ньютона и для первого тела можно теперь сразу писать в скалярном виде.

Как известно

f тр = µN ,

где k – коэффициент трения, N – сила нормальной реакции, действующая со стороны плоскости на первое тело, в данном случае

N = P1 cosα .

Таким образом, уравнения (3) и (2) составят систему уравнений

Решая совместно уравнения (4), находим

a = m1 sinα −m1µcosα −m2 g = 0,84 м с2 , m1 + m2